Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

О дифференциальной геометрии

Автор Bhudh, июня 21, 2011, 00:19

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

Ответить Печать
Вниз Страницы1
Действия пользователя

Bhudh

июня 21, 2011, 00:19
Офтопами сообщения были в теме Задача о платоновых костях, из которой и вырезано. — Квас.

Offtop
А почему есть только дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей? В высшие размерности она уже не лезет?
И как глубоко тензорное исчисление со всем этим соотносится?
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Квас

#1
июня 21, 2011, 00:35
Цитата: Bhudh от июня 21, 2011, 00:19
Offtop
А почему есть только дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей? В высшие размерности она уже не лезет?
И как глубоко тензорное исчисление со всем этим соотносится?

Лезет. Кривые и поверхности в университетском курсе — дань традиции, плюс маломерный случай позволяет, наверно, избежать некоторых технических сложностей при сохранении идеологии. (Есть элементарный учебник дифференциальной геометрии Торпа, в котором как раз сразу рассматривается многомерный случай.)

Другое дело, что естественно эту науку рассматривать не на поверхностях, а на многообразиях. (Кто не знает: многообразие — это поверхность, «вынутая» из пространства.) Размерность же многообразий нет смысла ограничивать, что ясно из самых первых приложений (многообразие как конфигурационное пространство механической системы, размерность многообразия — число степеней свободы).

С тензорным исчислением связано очень и очень тесно. Тензоры — основное население многообразий. Уже самые фундаментальные понятия дифференциальной геометрии выражаются на языке тензоров: векторные поля, риманова метрика.

Практическая работа на многообразиях осуществляется через координаты в картах (карта — это область на многообразии, на которой заданы координаты.) Одна и та же точка может принадлежать разным картам и иметь, соответственно, разные координаты; и другие объекты, связанные с этой точкой, могут по-разному задаваться в координатах. Простейший пример — вектор скорости кривой, который в координатах [tex]q^1,\ldots, q^n[/tex] задаётся набором чисел [tex]\frac{d}{dt}\Big|_{t=t_0}(q^1(t),\ldots,q^n(t))[/tex] (здесь [tex](q^1(t),\ldots,q^n(t))[/tex] — параметрическое задание кривой, проходящей через заданную точку при t = t0). Понятно, что при изменении координат изменяется параметрическое представление кривой и координаты вектора скорости.

Многие объекты на многообразиях задаются большими или меньшими наборами чисел, преобразующихся при заменах координат по тензорным законом. Отсюда и тензоры. Они допускают инвариантное (не зависящее от координат) определение, принятое в линейной алгебре: тензор есть полилинейное отображение произведений нескольких экземпляров касательного пространства и сопряжённого к нему в ℝ.
Пишите письма! :)

Bhudh

#2
июня 21, 2011, 00:41
Offtop
Offtop
% 10 понял по примерам, остальное по интуиции...

Спасибо за развёрнутый ответ!
А то Википедия такая Википедия...
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Квас

#3
июня 21, 2011, 00:46
Offtop
You are welcome! :)

Цитата: Bhudh от июня 21, 2011, 00:41
% 10 понял по примерам, остальное по интуиции...

Если хочется что-то выяснить, можно задать вопрос. ;) Я прекрасно понимаю, что разные части моих «популярных изложений» имеют разную доходчивость. Надежда как раз на примеры и интуицию. :)
Пишите письма! :)

Bhudh

#4
июня 21, 2011, 00:49
Offtop
Тут-то 100% надо базу иметь, а не только интуицию...
Просто читал как-то (полу)популярное изложение римановых метрик в какой-то статье.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Квас

#5
июня 21, 2011, 01:06
Если вдруг надо будет заняться дифференциальной геометрией, можно создать тему «Читаем Дубровина—Новикова—Фоменко вместе». Заодно можно будет познакомиться с другой стороной всеми любимого академика. :)
Пишите письма! :)

Bhudh

#6
июня 21, 2011, 01:42
А кстати, одна научно-популярная книжка этого академика у меня есть.
(Зарывшись в файлы) «Наглядная геометрия».
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Bhudh

#7
июня 21, 2011, 01:43
Offtop
:o Обнаружил «Набор и вёрстка в системе LATEX»!
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Ömer

#8
июня 21, 2011, 01:46
Цитата: Bhudh от июня 21, 2011, 00:19
Offtop
А почему есть только дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей? В высшие размерности она уже не лезет?
И как глубоко тензорное исчисление со всем этим соотносится?

Дифф гем кривых и поверхностей - это теория дифференцируемых многообразий размерностей 1 и 2, изложенная классическим аппаратом 19 века - многообразие задаётся формулой , вкладывающей его в R^2/R^3,  и весь анализ проводится классическим дифференцированием/интегрированием. Достоинство - простота, недостаток - сложность обобщения на высшие размерности.

Тензор (точнее, тензорное поле) - это обобщение понятия производной/первообразной для многообразия (Т.е. представьте, что функция, которую мы хотим дифференцировать, имеет своим доменом не R^2, а тор, к примеру). Точно так же, как внутренние свойства кривых и поверхностей выражаются через производные/интегралы от их параметризаций, свойства многообразий выражаются через заданные на них тензоры.

Очень интересно в этой теории - то, что чисто топологические свойства многообразий удаётся вычислять через их дифференциальную структуру. Упрощённо говоря, представьте формулу, в которой в левой части стоит количество "дырок" в многообразии (так у тора - одна дырка), а справа -  дифференциальное выражение. Примеры таких формул:
(wiki/en) Generalized_Gauss–Bonnet_theorem
(wiki/ru) Когомологии_де_Рама#Теорема_де_Рама
ya herro, ya merro

Bhudh

#9
июня 21, 2011, 01:52
Цитата: svarog от Тензор (точнее, тензорное поле) - это обобщение понятия производной/первообразной для многообразия
Оп-па на...
Матрица преобразований это куда ни шло, а так выходит матрица производных/первообразных по разным переменным?
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Ömer

#10
июня 21, 2011, 01:59
Цитата: Bhudh от июня 21, 2011, 01:52
Цитата: svarog от Тензор (точнее, тензорное поле) - это обобщение понятия производной/первообразной для многообразия
Оп-па на...
Матрица преобразований это куда ни шло, а так выходит матрица производных/первообразных по разным переменным?
Так и есть  :yes: Только эта матрица меняется от точки к точке.
ya herro, ya merro

Bhudh

#11
июня 21, 2011, 02:08
Цитата: svarog от Только эта матрица меняется от точки к точке.
Ну это естественно, если значения в разных системах координат вычисляются.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Bhudh

#13
июня 24, 2011, 22:19
Цитата: Nekto от Надо будет посмотреть.


Вы об этом:
Цитата: Консультант:   Фоменко А. Т. (доктор физико-математических наук)


?
Кстати, посмотрел. Интересно, но без особых формульных задвигов.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Nekto

#14
июня 25, 2011, 15:30
Не, я вообще.  :) Хотя на фамилию Фоменко обратил внимание.
Клип вообще вау-мозги-выносящий!  ;up:
Даже захотелось изучить тензорное исчисление!
Эх, был бы смысл.  :(

Bhudh

#15
июня 25, 2011, 16:26
Только что-то фраза 36-компонентный тензор вообще не нагугливается...
Чё за фня⁈
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Квас

#17
июня 25, 2011, 20:52
Цитата: Bhudh от июня 25, 2011, 16:26
Только что-то фраза 36-компонентный тензор вообще не нагугливается...
Чё за фня⁈

Действительно фня, учитывая, что «матрица 6 порядка» вполне себе гуглится.
Пишите письма! :)

Bhudh

#18
июня 25, 2011, 20:54
Цитата: Nekto от июня 25, 2011, 19:30Зато нагугливается 256-компонентный тензор римановой кривизны в пятимерном пространстве  ;D
Ɣоботы зохавовывавоют мир. Уже и тензоры в двоичную систему перевели!
Цитата: Квас от Действительно фня, учитывая, что «матрица 6 порядка» вполне себе гуглится.
(Google) "матрица 6 порядка"
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Квас

#19
июня 25, 2011, 20:58
Цитата: Bhudh от июня 25, 2011, 20:54
Цитата: Квас от Действительно фня, учитывая, что «матрица 6 порядка» вполне себе гуглится.
(Google) "матрица 6 порядка"

А, прошу прощения, «шестого» у меня было словом. :)
Пишите письма! :)

Bhudh

#20
июня 25, 2011, 21:01
"Тридцатишести" я как только не выворачивал.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо
Ответить Печать
Вверх Страницы1
Действия пользователя

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр