Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 20, 2011, 22:49
Отправлено: Bhudh от мая 20, 2011, 22:49
Набрёл на интересную задачку.
Цитата: http://diofant.ru/problem/1786Оля и Дима играют в кости.
У Оли шесть костей в форме октаэдра, и грани каждой из них занумерованы числами от 1 до 8.
У Димы четыре кости в форме додекаэдра, и грани каждой из них занумерованы числами от 1 до 12.
В каждом туре игроки бросают все свои кости по одному разу. Побеждает тот, у кого сумма выпавших очков больше. При равенстве фиксируется ничья.
Каково математическое ожидание количества побед Оли после миллиона туров?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 20, 2011, 23:21
Отправлено: RawonaM от мая 20, 2011, 23:21
Задача прикольная :) Все сводится к тому, чтобы посчитать вероятность выигрыша Оли, что выносит мозг, но в принципе решаемо.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Лукас от мая 20, 2011, 23:24
Отправлено: Лукас от мая 20, 2011, 23:24
Жуткое название темы.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 00:15
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 00:15
Точно посчитать вероятность выигрыша Оли — затрудняюсь, но по-моему достаточно близкий к реальности ответ: 44/86.
У нас биномная переменная X~В(10^6, 44/86), отсюда E[X]=10^6*44/86~511627.9.
У нас биномная переменная X~В(10^6, 44/86), отсюда E[X]=10^6*44/86~511627.9.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 01:08
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 01:08
Стой, стой, откуда 10⁈ У октаэдра ж 8 граней!
Тут фишка в том, что вариантов сумм у Оли в разы больше, чем вариантов сумм у Димы. А размах меньше на 2.
Тут фишка в том, что вариантов сумм у Оли в разы больше, чем вариантов сумм у Димы. А размах меньше на 2.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 09:00
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 09:00
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 01:08Там нет 10, 10^6 — это миллион.
Стой, стой, откуда 10⁈ У октаэдра ж 8 граней!
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 01:08Вариантов сумм у Оли всего лишь на два больше, и это как раз и делает размах на капельку больше. Т.е. варианты у Димы: 4 по 48 (4х12=48), а у Оли 6 по 48 (6х8=48). Т.е. колокол смещен совсем на чуть-чуть, и его пик находится у Димы на 26, а у Оли на 27. Вероятность выигрыша Оли чуть более 50%, а количество выигрышей на миллион — нужно помножить миллион на вероятность выигрыша Оли.
Тут фишка в том, что вариантов сумм у Оли в разы больше, чем вариантов сумм у Димы. А размах меньше на 2.
Я правда беру слова назад насчет приблизительного подсчета, с потолка это. Скорее всего вероятность всего на десятые доли процента выше чем 50%.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 09:02
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 09:02
Хотя непонятно как влияет количество граней на форму колокола. Но имхо сильно это ничего не изменит. Реквестирую Кваса в тему, а то я буду еще долго думать об этой задаче, когда тут своих хватает.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 16:09
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 16:09
Я тут в Максиме посчитал, и выходит, что ляпнул про разы забыв о комбинаторике.
Неповторяющихся результатов у Оли где-то на четверть больше, чем у Димы:
![[tex]$$\sum_{g=1}^{8}\sum_{h=g}^{8}\sum_{i=h}^{8}\sum_{j=i}^{8}\sum_{k=j}^{8}\sum_{l=k}^{8}1=1716$$[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?$$\sum_{g=1}^{8}\sum_{h=g}^{8}\sum_{i=h}^{8}\sum_{j=i}^{8}\sum_{k=j}^{8}\sum_{l=k}^{8}1=1716$$ "$$\sum_{g=1}^{8}\sum_{h=g}^{8}\sum_{i=h}^{8}\sum_{j=i}^{8}\sum_{k=j}^{8}\sum_{l=k}^{8}1=1716$$")
![[tex]$$\sum_{i=1}^{12}\sum_{j=i}^{12}\sum_{k=j}^{12}\sum_{l=k}^{12}1=1365$$[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?$$\sum_{i=1}^{12}\sum_{j=i}^{12}\sum_{k=j}^{12}\sum_{l=k}^{12}1=1365$$ "$$\sum_{i=1}^{12}\sum_{j=i}^{12}\sum_{k=j}^{12}\sum_{l=k}^{12}1=1365$$")
То есть![[tex]$$\frac{44}{35}$$[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?$$\frac{44}{35}$$ "$$\frac{44}{35}$$")
.
Но ленно разбираться, как соорудить колокол...
Неповторяющихся результатов у Оли где-то на четверть больше, чем у Димы:
То есть
Но ленно разбираться, как соорудить колокол...
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:11
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:11
Чё это? Какие 35? Нахрена сигмы??
6 костей по 8 сторон дают результаты от 6 до 48.
4 кости по 12 сторон дают результаты от 4 до 48.
6 костей по 8 сторон дают результаты от 6 до 48.
4 кости по 12 сторон дают результаты от 4 до 48.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 17:12
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 17:12
И сколько результатов?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:18
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:18
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 17:12От 6 до 48 есть 43 натуральных числа.
И сколько результатов?
От 4 до 48 это 45.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 17:22
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 17:22
Блин, сколькими способами их можно выкинуть?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:24
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:24
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 17:22Сколько всего исходов, размер пространства? Так это 6^8 и 4^12 соответственно.
Блин, сколькими способами их можно выкинуть?
Что это тебе дает?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 17:26
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 17:26
Цитата: RawonaMТак это 6^8 и 4^12 соответственно.Ты тоже о комбинаторике забыл?
Там же куча одинаковых результатов будет.
А неповторяющиеся — у меня в TEΧʼе.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:32
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:32
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 17:26Какое это имеет вообще значение? Мы же общую сумму считаем, а не кубики по отдельности. Для нас неповторяющихся 43 и 45. 7 и 1 для нас то же самое, что 2 и 6.ЦитироватьТак это 6^8 и 4^12 соответственно.Ты тоже о комбинаторике забыл?
Там же куча одинаковых результатов будет.
А неповторяющиеся — у меня в TEΧʼе.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Karakurt от мая 21, 2011, 17:43
Отправлено: Karakurt от мая 21, 2011, 17:43
Вероятность макс. суммы у них разная?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:49
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 17:49
Цитата: Karakurt от мая 21, 2011, 17:43У одного 1/6^8, у другого 1/4^12. Что это дает?
Вероятность макс. суммы у них разная?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Karakurt от мая 21, 2011, 18:02
Отправлено: Karakurt от мая 21, 2011, 18:02
Ничего, это просто так. По-моему там 1/8^6 и 1/12^4 будет.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 18:08
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 18:08
Цитата: Karakurt от мая 21, 2011, 18:02Да, естественно. Это я перепутал.
По-моему там 1/8^6 и 1/12^4 будет.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Валентин Н от мая 21, 2011, 18:45
Отправлено: Валентин Н от мая 21, 2011, 18:45
Может сначала решить чтот-то попроще, чтоб понять принцип?
Оля бросает 2 кости - 3и3, а дима 1 - 6.
Оля бросает 2 кости - 3и3, а дима 1 - 6.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:00
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:00
Цитата: Валентин Н от мая 21, 2011, 18:45Принцип как раз предельно ясен. Простенькую задачу просто распивываем по вероятностям и все.
Может сначала решить чтот-то попроще, чтоб понять принцип?
А вот 43 и еще 45 исходов по вероятностям задолбаешься расписывать.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Валентин Н от мая 21, 2011, 19:06
Отправлено: Валентин Н от мая 21, 2011, 19:06
Цитата: RawonaM от мая 21, 2011, 19:00Тогда в чём трудность?
Принцип как раз предельно ясен. Простенькую задачу просто распивываем по вероятностям и все.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:10
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:10
Цитата: RawonaMКакое это имеет вообще значение? Мы же общую сумму считаем, а не кубики по отдельности.Вероятность выпадения суммы, допустим, 10, меньше вероятности выпадения суммы, допустим, 20.
На то он и колокол.
И у каждого игрока эти вероятности разные за счёт сдвига.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:15
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:15
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 19:10КО одобряет. Дальше что? :)
Вероятность выпадения суммы, допустим, 10, меньше вероятности выпадения суммы, допустим, 20.
На то он и колокол.
И у каждого игрока эти вероятности разные за счёт сдвига.
Цитата: Валентин Н от мая 21, 2011, 19:06:ЦитироватьПринцип как раз предельно ясен. Простенькую задачу просто распивываем по вероятностям и все.Тогда в чём трудность?
Цитата: RawonaM от мая 21, 2011, 19:00
А вот 43 и еще 45 исходов по вероятностям задолбаешься расписывать.
Вероятно есть какой-то трюк, который мы не знаем. На сайте написано, что задача для школы. :)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Валентин Н от мая 21, 2011, 19:18
Отправлено: Валентин Н от мая 21, 2011, 19:18
Ну вот я и грю - решить что-нибудь попроще для начала, чтоб фокус с трюком стал очевиднее! :)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:22
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:22
Цитата: RawonaMКО одобряет. Дальше что?Что-что. Условие задачи. Которое складывается из вероятностей выпадения отдельных сумм.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:35
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:35
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 19:22В чем собственно проблема? :)ЦитироватьКО одобряет. Дальше что?Что-что. Условие задачи. Которое складывается из вероятностей выпадения отдельных сумм.
Допустим рассмотрим вероятности результатов четырех костей по 8 сторон.
и т.п.
Вроде так.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:42
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:42
Теперь на каждую такую вероятность нужно нацепить вероятность выигрыша. Это будет "дискретный интеграл" от этой точки до инфинити, т.е. сумма всех вероятностей что у Оли выпадет больше, чем этот исход.
Напр., при условии что выпало 4 или 5 вероятность 1, т.е. в этом случае Оля всегда выиграет.
При условии что выпало 7, вероятность того, что Оля выиграет, это сумма вероятностей, что у нее выпадет 8 по 48.
Перемножаем эти вероятности (1/8^4*1 и т.п.) и сплюсовываем, так получаем вероятность выигрыша Оли в одном раунде.
Остальное уже сказали.
Напр., при условии что выпало 4 или 5 вероятность 1, т.е. в этом случае Оля всегда выиграет.
При условии что выпало 7, вероятность того, что Оля выиграет, это сумма вероятностей, что у нее выпадет 8 по 48.
Перемножаем эти вероятности (1/8^4*1 и т.п.) и сплюсовываем, так получаем вероятность выигрыша Оли в одном раунде.
Остальное уже сказали.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:47
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:47
Цитата: RawonaM:what:
<...>
Вроде так.
Вообще-то у них вероятность выпадения одинаковая... :-\
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:52
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:52
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 19:47Как это? В таком случае у любой суммы вероятность выпадения одинаковая!
Вообще-то у них вероятность выпадения одинаковая... :-\
Тут дело такое: кубики пронумерованы, т.е. 1-2-1-1 это не то же самое, что 2-1-1-1. Поэтому вероятность получить 5 в четыре раза больше. Колокол же.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:54
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:54
Цитата: RawonaMТут дело такое: кубики пронумерованыЭто что ещё за новое условие задачи⁈
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:55
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 19:55
Цитата: RawonaMВ таком случае у любой суммы вероятность выпадения одинаковая!А вот ни фига!
P(6) может включать и 1113 и 1122.
Из этих разных сумм и составляется колокол.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:58
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 19:58
Тут есть два варианта рассматривать задачу, либо с пронумерованными кубиками, либо с непронумерованными, но последнее сложнее, условие ни при чем.
Ты меня озадачил насчет вероятности, дай подумать.
Ты меня озадачил насчет вероятности, дай подумать.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 20:02
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 20:02
Нет, таки я прав, все правильно: вероятность получить 5 в четыре раза больше, чем получить 4.
Не вижу смысла рассматривать непронумерованные кубики, это усложнит задачу вплоть до невозможности решения, т.к. у тебя получится неравномерное пространство (т.е. вероятность каждого исхода будет неравна). Чтобы его построить все равно надо равномерное рассматривать.
Не вижу смысла рассматривать непронумерованные кубики, это усложнит задачу вплоть до невозможности решения, т.к. у тебя получится неравномерное пространство (т.е. вероятность каждого исхода будет неравна). Чтобы его построить все равно надо равномерное рассматривать.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 20:21
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 20:21
Цитата: RawonaMНе вижу смысла рассматривать непронумерованные кубики, это усложнит задачу вплоть до невозможности решения, т.к. у тебя получится неравномерное пространство (т.е. вероятность каждого исхода будет неравна).Кубики вообще в принципе всегда рассматриваются одинаковые. Иначе бы не делили P(2,3)+P(3,2) напополам. Но мы-то рассматриваем не просто вероятности выпадения каких-то граней, а их группы, по суммам.
У Оли 1716 способов распределяются по 43-м группам, а у Димы 1365 способов — по 45-и.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 20:44
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 20:44
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 20:21Одинаковые, но упорядоченные.
Кубики вообще в принципе всегда рассматриваются одинаковые.
По-твоему получается, что в обычных двух кубиках 1-6 вероятность выпадения суммы 3 равна выпадению суммы 2. Это ж не так.
(wiki/en) Dice#Probability (http://en.wikipedia.org/wiki/Dice#Probability)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 20:46
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 20:46
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 20:21Этот путь тупиковый. Вероятность 1716 вариантов не равна, поэтому ничего с ними сделать нельзя.
У Оли 1716 способов распределяются по 43-м группам, а у Димы 1365 способов — по 45-и.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 20:53
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 20:53
Цитата: RawonaMПо-твоему получается, что в обычных двух кубиках 1-6 вероятность выпадения суммы 3 равна выпадению суммы 2. Это ж не так.А как?
Вероятность того, что выпадут грани 1:1 равна вероятности того, что выпадут грани 1:2. Они ж равновероятны.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 20:54
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 20:54
Цитата: RawonaMВероятность 1716 вариантов не равна, поэтому ничего с ними сделать нельзя.А можно пояснить такую логику? :???
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Karakurt от мая 21, 2011, 20:59
Отправлено: Karakurt от мая 21, 2011, 20:59
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 20:53Нет же, у суммы 3 вероятность в 2 раза выше.
Вероятность того, что выпадут грани 1:1 равна вероятности того, что выпадут грани 1:2.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:03
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:03
Кубики одинаковые. Потому вероятности 1₁:2₂ и 1₂:2₁ не суммируются.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Karakurt от мая 21, 2011, 21:11
Отправлено: Karakurt от мая 21, 2011, 21:11
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/Dice_Distribution_%28bar%29.svg)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:23
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:23
Это диаграмма для упорядоченных кубиков.
Для равнозначных: сумма 2 может выпасть единственным способом; сумма 3 тоже может выпасть единственным способом — грани 1 и 2.
Безразлично к тому, на каких кубах находятся эти грани.
Для равнозначных: сумма 2 может выпасть единственным способом; сумма 3 тоже может выпасть единственным способом — грани 1 и 2.
Безразлично к тому, на каких кубах находятся эти грани.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: arseniiv от мая 21, 2011, 21:28
Отправлено: arseniiv от мая 21, 2011, 21:28
Но вероятность выпадения этих сумм разная! Покидай кубики или скриптик напиши.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:31
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:31
Цитата: arseniivНо вероятность выпадения этих сумм разная!Почему?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Alone Coder от мая 21, 2011, 21:35
Отправлено: Alone Coder от мая 21, 2011, 21:35
Цитата: Bhudh от мая 21, 2011, 21:03Омг. Вы мне напоминаете одного моего приятеля, который считал, что вероятности выпадения изменятся, если раскрасить кубики в разные цвета.
Кубики одинаковые. Потому вероятности 1₁:2₂ и 1₂:2₁ не суммируются.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 21:38
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 21:38
Не гоните на Бхудха. Щас у него жетончик упадет и все нормально будет, с кем не бывает. :)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Alone Coder от мая 21, 2011, 21:44
Отправлено: Alone Coder от мая 21, 2011, 21:44
Искал в гугле, что значит "упадёт жетончик", и нашёл вот что:
Цитата: http://forum.ixbt.com/topic.cgi?id=15:41969#9Я в казино работал
Крупье через три месяца, попадает в сектор
Через год - в три цифры
Самые крутые, с чужого закрута (когда идет диллер-чандже и уходящий крупье закручивает рулетку, а новоприбывший спинит уже на крутящуюся) попадает в три номера
Чтоб диллер не играл за своих, существует уйма способом. Пит-боссы просто так не лазеют по залам, кроме диллера за столом сидит еще и инспектор, он не просто так сидит, опять же, над каждым столом по 3 камеры минимум, тоже не дураки сидят, да еще ж и стучат все друг на друга.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:45
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:45
Какой жетончик⁈ :o
Вы это все о P(1∨2)+P(1|2)⁈
Вы это все о P(1∨2)+P(1|2)⁈
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 21:49
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 21:49
«нафаль асимон» (упал жетон) — это значит, на израильском сленге «дошло». :)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:50
Отправлено: Bhudh от мая 21, 2011, 21:50
Зпт лшн.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 21:52
Отправлено: RawonaM от мая 21, 2011, 21:52
Не, там еще одной не хватает.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Квас от мая 29, 2011, 01:20
Отправлено: Квас от мая 29, 2011, 01:20
Сразу вот не подписался и такую тему пропустил. Условие, конечно, потрясающее: Оля с Димой играют миллион партий платоновыми телами... Озадачилсо. Ещё ничьи считать...
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от мая 29, 2011, 09:31
Отправлено: RawonaM от мая 29, 2011, 09:31
Цитата: Квас от мая 29, 2011, 01:20мощами.
Оля с Димой играют миллион партий платоновыми телами...
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Валентин Н от мая 29, 2011, 11:11
Отправлено: Валентин Н от мая 29, 2011, 11:11
Ну ответ буит?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Марбол от мая 29, 2011, 11:31
Отправлено: Марбол от мая 29, 2011, 11:31
Здравствуйте!
Насколько я понял, для расчёта математического ожидания олиных побед надо вычислить члены полиномиального разложения для полной группы равновероятных событий (восьми для Оли и двенадцати для Димы), сгруппировать их, в том и другом разложении, по результату одного тура бросков (чтобы суммировать вероятности, отвечающие одному и тому же результату N) и по олиному разложению рассчитать математическое ожидание всех результатов, вероятность которых у неё больше, чем у Димы. Правда, я не знаю, как аналитически выразить число способов, которыми набирается заданное счётное число из энного количества счётных слагаемых.
Насколько я понял, для расчёта математического ожидания олиных побед надо вычислить члены полиномиального разложения для полной группы равновероятных событий (восьми для Оли и двенадцати для Димы), сгруппировать их, в том и другом разложении, по результату одного тура бросков (чтобы суммировать вероятности, отвечающие одному и тому же результату N) и по олиному разложению рассчитать математическое ожидание всех результатов, вероятность которых у неё больше, чем у Димы. Правда, я не знаю, как аналитически выразить число способов, которыми набирается заданное счётное число из энного количества счётных слагаемых.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Марбол от июня 1, 2011, 18:38
Отправлено: Марбол от июня 1, 2011, 18:38
Здравствуйте!
То есть, с помощью коэффициентов олиного полиномиального распределения вычисляем для каждого диминого результата вероятность P олиных побед, соответствующее число её побед на миллион N = 1000000*P, умножаем на соответствующий вес: M = N*P, и по сумме всех Ni*Pi вычисляем искомое математическое ожидание... Так правильно?
То есть, с помощью коэффициентов олиного полиномиального распределения вычисляем для каждого диминого результата вероятность P олиных побед, соответствующее число её побед на миллион N = 1000000*P, умножаем на соответствующий вес: M = N*P, и по сумме всех Ni*Pi вычисляем искомое математическое ожидание... Так правильно?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Ömer от июня 19, 2011, 15:27
Отправлено: Ömer от июня 19, 2011, 15:27
Имхо это не математическая, а программистская задачка для школы. С компьютером решается в лоб.
Итого $OlyaWins = 0.522008753117221
Сорри за уродский powershell, сижу на нетбуке безо всякой среды.
Код Выделить
$Olya = @(0)*49
foreach ($i in 1..8)
{
foreach ($j in 1..8)
{
foreach ($k in 1..8)
{
foreach ($l in 1..8)
{
foreach ($m in 1..8)
{
foreach ($n in 1..8)
{
$Olya[$i+$j+$k+$l+$m+$n]++
}
}
}
}
}
}
$Dima = @(0)*49;
foreach ($i in 1..12)
{
foreach ($j in 1..12)
{
foreach ($k in 1..12)
{
foreach ($l in 1..12)
{
$Dima[$i+$j+$k+$l]++
}
}
}
}
$OlyaWins = 0;
foreach ($i in 1..48)
{
foreach ($j in 1..($i-1))
{
$OlyaWins += $Olya[$i] / [math]::pow(8,6) * $Dima[$j] / [math]::pow(12,4);
}
}
$OlyaWins
Итого $OlyaWins = 0.522008753117221
Сорри за уродский powershell, сижу на нетбуке безо всякой среды.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от июня 19, 2011, 16:23
Отправлено: RawonaM от июня 19, 2011, 16:23
Цитата: svarog от июня 19, 2011, 15:27Задача очень даже математическая. Когда я скоро буду готовиться к экзамену по теорверу, решу. Щас времени нет.
Имхо это не математическая, а программистская задачка для школы.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: arseniiv от июня 19, 2011, 16:46
Отправлено: arseniiv от июня 19, 2011, 16:46
Offtop
Цитата: Марбол от июня 1, 2011, 18:38Удивился, и хотел даже вверх прокрутить, посмотреть, неужели Драгана здесь появилась и стала решать математическую задачу. ;D
То есть, с помощью коэффициентов олиного полиномиального распределения...
Цитата: svarog от июня 19, 2011, 15:27Ага-ага, теорему о четырёх красках тоже вот примерно так доказали, только не всем нравится.
С компьютером решается в лоб.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Валентин Н от июня 19, 2011, 17:05
Отправлено: Валентин Н от июня 19, 2011, 17:05
Ааа это - конечно можно, очевидос же.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Ömer от июня 19, 2011, 17:13
Отправлено: Ömer от июня 19, 2011, 17:13
Вы, наверное, думаете на Гептатоде Б (http://download.industrialmusic.ru/ss/lit/Ted_Chiang-Story_of_Your_Life.htm#story4) :)
http://download.industrialmusic.ru/ss/lit/Ted_Chiang-Story_of_Your_Life.htm#story4
http://download.industrialmusic.ru/ss/lit/Ted_Chiang-Story_of_Your_Life.htm#story4
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Марбол от июня 19, 2011, 17:42
Отправлено: Марбол от июня 19, 2011, 17:42
Здравствуйте!
Так у меня верная логика решения?
Так у меня верная логика решения?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от июня 19, 2011, 17:46
Отправлено: RawonaM от июня 19, 2011, 17:46
Цитата: Марбол от июня 19, 2011, 17:42Может быть и верно, но как по мне так слишком запутанно. Щас я попробую подумать.
Так у меня верная логика решения?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Ömer от июня 19, 2011, 18:01
Отправлено: Ömer от июня 19, 2011, 18:01
Цитата: Марбол от июня 19, 2011, 17:42Что такое "полиномиальное распределение"?
Здравствуйте!
Так у меня верная логика решения?
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от июня 19, 2011, 18:05
Отправлено: RawonaM от июня 19, 2011, 18:05
Напомните мне, как решить такую задачу:
![[tex]x_1+ x_2+...+x_5 = 15[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?x_1+ x_2+...+x_5 = 15 "x_1+ x_2+...+x_5 = 15")
![[tex]x_i \le 8[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?x_i \le 8 "x_i \le 8")
Нужно найти количество вариантов решений.
У меня экзамен по дискретке через неделю, а я это забыл...
Нужно найти количество вариантов решений.
У меня экзамен по дискретке через неделю, а я это забыл...
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Марбол от июня 19, 2011, 22:22
Отправлено: Марбол от июня 19, 2011, 22:22
Здравствуйте!
Сварог, здесь можно вкратце прочесть о полиномиальном распределении: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/122065/Полиномиальное (http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/122065/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5).
Но у меня ошибка в расуждении: упущено, что Оля и Дима бросают сразу по нескольку костей, что важно для сравнения их очков в каждом туре. Поэтому в полиномиальном распределении, например, для Оли надо взять не восемь равновероятных исходов, а исходы - сумму очков в одном туре - 8...48, каждый со своей вероятностью. Но что-то слишком муторно.
Сварог, здесь можно вкратце прочесть о полиномиальном распределении: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/122065/Полиномиальное (http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/122065/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5).
Но у меня ошибка в расуждении: упущено, что Оля и Дима бросают сразу по нескольку костей, что важно для сравнения их очков в каждом туре. Поэтому в полиномиальном распределении, например, для Оли надо взять не восемь равновероятных исходов, а исходы - сумму очков в одном туре - 8...48, каждый со своей вероятностью. Но что-то слишком муторно.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Квас от июня 20, 2011, 14:05
Отправлено: Квас от июня 20, 2011, 14:05
Цитата: svarog от июня 20, 2011, 10:09
в магистратуре - дифференциальная геометрия и топология
Ух ты! :up: Завидую. ::)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от июня 20, 2011, 14:42
Отправлено: RawonaM от июня 20, 2011, 14:42
Цитата: Квас от июня 20, 2011, 14:05:+1: :)Цитата: svarog от июня 20, 2011, 10:09в магистратуре - дифференциальная геометрия и топологияУх ты! :up: Завидую. ::)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Квас от июня 20, 2011, 14:50
Отправлено: Квас от июня 20, 2011, 14:50
Offtop
У нас на кафедре есть один крупный специалист по дифференциальной геометрии. Занимается такими вещами, как стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях. Но на его спецкурсах непонятно было н и ч е г о.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Квас от июня 21, 2011, 01:56
Отправлено: Квас от июня 21, 2011, 01:56
О дифференциальной геометрии (http://lingvoforum.net/index.php/topic,35563.0.html)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: LookIn от июня 25, 2011, 14:49
Отправлено: LookIn от июня 25, 2011, 14:49
Цитата: Квас от июня 24, 2011, 20:48Пожалуй Ваш аргумент можно принять по отношению к арифмометру. А что касается компьютера илидаже бухгалтерских счет, не вижу разницы, чем и как мы ставим пометки, карандашем ли на бумаге, косточками на проволоках или электронами на магнитном слое.Я тоже довел решение до числа с помощью компьютераУвидел при этом принципиальную возможность написания формулы подсчета количества способов получения суммы M используя n слагаемых не превосходящих k. Формулу я не получил :( :wall: . Мне удалось создать некий итерационный процесс. Попробую его вкратце описать.
Нет! Не в алгоритме дело. Я же выше писал про «железо»: суть в том, что мы выходим из мира идеального и пользуясь закономерностями мира материального, чтобы получить ответ. А математика полностью идеальна.
Берем полоску бумаги и пишем на ней числа 1...8 вертикально. Берем вторую полоску и пишем на ней те же числа по в обратном порядке.Совмещаем единицы, и видим , что сумму 2 на 2х костях можно получить только адним способом. Смещаем 2ю полоску на клетку вниз, и видим 2 способа получения суммы 3 на 2х костях.Продолжая этот процесс до 8-8 получим количество способов представления каждой суммы 2-16.Оформим это в виде новой 1й полоски( с указанием кол-ва способов получения сумм)Начнем вдоль нее двигать 2ю полоску. Увидим , что сумму 3 можно получить одним способом. Сумму 4 тремя способами. Это 2+2 и 2 способа 3+1. Сумму 5 можно получить 6ю способами. Это 1->1+2, 2->3+2, 3->4+1 Проделав это для обоих наборов костей получим необходимые данные. Далее как у Сварога в той части программы которую он не привел :)
Я все это проделал в екселе Таблицу прилагою . К сожалению нет времени ее оформить , но надеюсь там и так все понятно
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 16:56
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 16:56
Вспомнил про эту задачу. Попробуем с новыми силами и знаниями.
Обозначим случайную величину X — сумма костей Оли.
Обозначим случайную величину Y — сумма костей Димы.
Оля выигрывает, если X-Y>0. Т.к. у нас миллион раундов, то можно считать, что распределение нормальное (по центральной предельной теореме).
Найдем матожидание и дисперсию X-Y.
E[X]=6·4.5=26
E[Y]=4·6.5=27
E[X-Y]=E[X]-E[Y]=1
Дисперсия одного кубика:
![[tex]Var(X_i)=\sum_{i=1}^8\frac18(i-4.5)^2=5.25[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?Var(X_i)=\sum_{i=1}^8\frac18(i-4.5)^2=5.25 "Var(X_i)=\sum_{i=1}^8\frac18(i-4.5)^2=5.25")
![[tex]Var(Y_i)=\sum_{i=1}^{12}\frac1{12}(i-6.5)^2=\frac{143}{12}[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?Var(Y_i)=\sum_{i=1}^{12}\frac1{12}(i-6.5)^2=\frac{143}{12} "Var(Y_i)=\sum_{i=1}^{12}\frac1{12}(i-6.5)^2=\frac{143}{12}")
Дисперсия суммы (кубики независимы):
Var(X)=6·5.25=31.5
Var(Y)=4·143/12=143/3
Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)=31.5+143/3=475/6~79.16666
Выходит X-Y ~ W = N(1,475/6).
Нам нужно найти P{X-Y>0}, но т.к. мы приближаем дискретную целую величину непрерывной, то сделаем поправку и посчитаем P{W≥0.5}.
По таблице нормального распределения высчитываем:
P{W≥0.5}~1-0.47759~0.52241
Что дает примерно тот же результат, полученный выше в лоб:
Вопрос кто из нас больше округлял, компьютер или приближение к нормальной величине :)
Чтобы узнать ожидаемое количество выигрышев просто умножаем вероятность на миллион, т.е. это 522 тысячи с чем-то.
Цитата: Bhudh от мая 20, 2011, 22:49Цитата: http://diofant.ru/problem/1786Оля и Дима играют в кости.
У Оли шесть костей в форме октаэдра, и грани каждой из них занумерованы числами от 1 до 8.
У Димы четыре кости в форме додекаэдра, и грани каждой из них занумерованы числами от 1 до 12.
В каждом туре игроки бросают все свои кости по одному разу. Побеждает тот, у кого сумма выпавших очков больше. При равенстве фиксируется ничья.
Каково математическое ожидание количества побед Оли после миллиона туров?
Обозначим случайную величину X — сумма костей Оли.
Обозначим случайную величину Y — сумма костей Димы.
Оля выигрывает, если X-Y>0. Т.к. у нас миллион раундов, то можно считать, что распределение нормальное (по центральной предельной теореме).
Найдем матожидание и дисперсию X-Y.
E[X]=6·4.5=26
E[Y]=4·6.5=27
E[X-Y]=E[X]-E[Y]=1
Дисперсия одного кубика:
Дисперсия суммы (кубики независимы):
Var(X)=6·5.25=31.5
Var(Y)=4·143/12=143/3
Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)=31.5+143/3=475/6~79.16666
Выходит X-Y ~ W = N(1,475/6).
Нам нужно найти P{X-Y>0}, но т.к. мы приближаем дискретную целую величину непрерывной, то сделаем поправку и посчитаем P{W≥0.5}.
По таблице нормального распределения высчитываем:
P{W≥0.5}~1-0.47759~0.52241
Что дает примерно тот же результат, полученный выше в лоб:
Цитата: svarog от июня 19, 2011, 15:27
Итого $OlyaWins = 0.522008753117221
Вопрос кто из нас больше округлял, компьютер или приближение к нормальной величине :)
Чтобы узнать ожидаемое количество выигрышев просто умножаем вероятность на миллион, т.е. это 522 тысячи с чем-то.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 22:45
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 22:45
Значит, выше была аппроксимация, а теперь попробуем посчитать точно.
По формуле отсюда: (wiki/en) Dice#Probability (http://en.wikipedia.org/wiki/Dice#Probability)
Вероятность выпадения суммы k на n костях с s гранями:
![[tex]F_{s,n}(k)=\frac{1}{s^n}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-n}{s} \right \rfloor} (-1)^i {n \choose i} {k-si-1 \choose n-1}[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?F_{s,n}(k)=\frac{1}{s^n}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-n}{s} \right \rfloor} (-1)^i {n \choose i} {k-si-1 \choose n-1} "F_{s,n}(k)=\frac{1}{s^n}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-n}{s} \right \rfloor} (-1)^i {n \choose i} {k-si-1 \choose n-1}")
А поэтому, для олиных костей:
![[tex]F_{8,6}(k)=\frac{1}{8^6}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-8}{6} \right \rfloor} (-1)^i {6 \choose i} {k-8i-1 \choose 6-1}[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?F_{8,6}(k)=\frac{1}{8^6}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-8}{6} \right \rfloor} (-1)^i {6 \choose i} {k-8i-1 \choose 6-1} "F_{8,6}(k)=\frac{1}{8^6}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-8}{6} \right \rfloor} (-1)^i {6 \choose i} {k-8i-1 \choose 6-1}")
А для диминых костей:
![[tex]F_{12,4}(k)=\frac{1}{12^4}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-4}{12} \right \rfloor} (-1)^i {4 \choose i} {k-12i-1 \choose 4-1}[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?F_{12,4}(k)=\frac{1}{12^4}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-4}{12} \right \rfloor} (-1)^i {4 \choose i} {k-12i-1 \choose 4-1} "F_{12,4}(k)=\frac{1}{12^4}\sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{k-4}{12} \right \rfloor} (-1)^i {4 \choose i} {k-12i-1 \choose 4-1}")
И вероятность выигрыша:
![[tex]\sum_{i=6}^{48}\sum_{j=4}^{i-1}F_{8,6}(i) F_{12,4}(j)[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?\sum_{i=6}^{48}\sum_{j=4}^{i-1}F_{8,6}(i) F_{12,4}(j) "\sum_{i=6}^{48}\sum_{j=4}^{i-1}F_{8,6}(i) F_{12,4}(j)")
что в принципе одно и то же, что и ![[tex]\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{i-1}F_{8,6}(i) F_{12,4}(j)[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{i-1}F_{8,6}(i) F_{12,4}(j) "\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{i-1}F_{8,6}(i) F_{12,4}(j)")
Достаточно подставить все и посчитать. Можно воспользоваться Максимой.
По формуле отсюда: (wiki/en) Dice#Probability (http://en.wikipedia.org/wiki/Dice#Probability)
Вероятность выпадения суммы k на n костях с s гранями:
А поэтому, для олиных костей:
А для диминых костей:
И вероятность выигрыша:
Достаточно подставить все и посчитать. Можно воспользоваться Максимой.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 23:03
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 23:03
Voilá!
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от августа 14, 2011, 23:03
Отправлено: Bhudh от августа 14, 2011, 23:03
У svarogʼа на один digit точнее.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 23:07
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 23:07
Цитата: Bhudh от августа 14, 2011, 23:03Я тот же скрипт на питоне гонял, там еще три-четыре цифры.
У svarogʼа на один digit точнее.
А они лишнее, ибо нам нужно матожидание выигрышей, для этого достаточно шесть цифр.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Квас от августа 14, 2011, 23:14
Отправлено: Квас от августа 14, 2011, 23:14
Ну вы, блин, даёте. (Чешет репу.)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 23:17
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 23:17
Цитата: Квас от августа 14, 2011, 23:14Чего это? :-\ У вас есть более простое решение?
Ну вы, блин, даёте. (Чешет репу.)
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Квас от августа 14, 2011, 23:18
Отправлено: Квас от августа 14, 2011, 23:18
Издеваетесь? Высшая математика какая-то.
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: Bhudh от августа 14, 2011, 23:21
Отправлено: Bhudh от августа 14, 2011, 23:21
[Цитата: Квас]
Высшая математика какая-то.
[/Цитата]
:o :o :o :o :o
Высшая математика какая-то.
[/Цитата]
:o :o :o :o :o
Название: Задача о платоновых костях
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 23:23
Отправлено: RawonaM от августа 14, 2011, 23:23
Цитата: Квас от августа 14, 2011, 23:18Это не я издеваюсь. Это диофант издевается, откуда Бод взял задачу. Там написано «Вес: 1 сложность: 1 класс: 8-10». WTF???
Издеваетесь? Высшая математика какая-то.
Более того, там же написано, что взято из http://projecteuler.net/ .
Что является:
ЦитироватьProject Euler is a series of challenging mathematical/computer programming problems that will require more than just mathematical insights to solve.
Инсайты нужны, оказывается. Надо бы найти там эту задачу и посмотреть ее рейтинг. Хотя конечно если ее классифицировать как задачу по программированию, то это действительно для первого класса.