Числовая ось бесконечна. На оси вообще всех числе бесконечно даже расстояние между любыми двумя числами. Но может ли быть ТПК, что все-таки самое большое и самое маленькое числа существуют?
Если Вселенная "конечна", то такие числа должны существовать, потому что ресурсы для записи их ограничены.
Если Вселенная бесконечна. то любой вариант ответа на этот вопрос равновероятен.
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 07:08
Если Вселенная "конечна", то такие числа должны существовать, потому что ресурсы для записи их ограничены.
Тут вопрос: в этом случае конечны числа или количества?
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 04:00
Числовая ось бесконечна. На оси вообще всех числе бесконечно даже расстояние между любыми двумя числами. Но может ли быть ТПК, что все-таки самое большое и самое маленькое числа существуют?
ТПК?
1) Допустим самое большое целое число существует и назовем его х.
2) Из определения целых чисел следует, что существует и число х+1.
3) из пункта 1 следует, что х+1<х.
4) попереносим: х-х < -1
5) 0 < -1
Противоречие, значит допущение в п. 1 неверно.
Цитата: RawonaM от июня 10, 2020, 09:48
ТПК?
А что это? Не нашёл подходящей расшифровки :)
Цитата: RawonaM от июня 10, 2020, 09:48
1) Допустим самое большое целое число существует и назовем его х.
2) Из определения целых чисел следует, что существует и число х+1.
3) из пункта 1 следует, что х+1<х.
4) попереносим: х-х < -1
5) 0 < -1
Противоречие, значит допущение в п. 1 неверно.
Интересно :)
Вообще, конечно, да. Мой вопрос трудно сформулировать. Это нечто вроде "может ли так быть, что в принятой нами системе, где вроде бы числа уходят в обе стороны в бесконечность, у них есть предел?". Хотя в такой формулировке это звучит абсурдно, потому что мы сами задаем такое свойство используемой системе...
Если область определения - натуральные числа, то самое маленькое существует, это 0. Самого большого не существует, потому что всегда к числу N можно прибавить 1 и получить большее число.
Если область определения - действительные числа, то с самыми маленькими та же петрушка, что и с самыми большими; указать самое маленькое число нельзя.
Lodur, да, я о действительных числах.
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 09:53
Цитата: RawonaM от июня 10, 2020, 09:48
ТПК?
А что это? Не нашёл подходящей расшифровки :)
:o :o :o
Ваша же собственная аббревиатура, а вы спрашиваете е1ё значение у собеседника? :wall:
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 04:00Но может ли быть ТПК
Ой! :E: :E: :E: :E: :E:
Прошу прощения. Это автозамена сделала, когда я хотел написать "так", а я не заметил. Извините :)
Вроде есть в природе минимальные масса, расстояние и время?
Цитата: Karakurt от июня 10, 2020, 10:08
Вроде есть в природе минимальные масса, расстояние и время?
Но это, наверное, минимальные количества чего-либо, а не сами числа. Хотя да, тут модно спросить меня, так о чем вопрос.
Цитата: RawonaM от июня 10, 2020, 09:48
Допустим самое большое целое число существует и назовем его х.
Уточнение: существуют самые большие целые числа, имеющие смысл в неких физических теориях (и это, конечно, не конкретные числа, а приблизительные с точностью нескольких порядков "верхние пределы"). Но математика сделана "на вырост", и охватывает и другие возможные теории: частицы взаимодействий, спонтанное образование частиц в полях, скрытые измерения, множественность вселенных и так далее.
Можно рассматривать "расширенную числовую прямую" с объектами "плюс/минус бесконечность", которые больше/меньше любого числа, но сами не являются числами.
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 10:09
Цитата: Karakurt от июня 10, 2020, 10:08
Вроде есть в природе минимальные масса, расстояние и время?
Но это, наверное, минимальные количества чего-либо, а не сами числа. Хотя да, тут модно спросить меня, так о чем вопрос.
Смысл высказывание Каракурта, очевидно, заключается в его надежде в том, что числа сами по себе, без количества чего либо, не представляют собой ничего.
Я про квантование и СИ.
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 09:42
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 07:08
Если Вселенная "конечна", то такие числа должны существовать, потому что ресурсы для записи их ограничены.
Тут вопрос: в этом случае конечны числа или количества?
Если невозможно будет записать или произнести число большее чем ....., то значит большего числа и нет.
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 11:58
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 09:42
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 07:08
Если Вселенная "конечна", то такие числа должны существовать, потому что ресурсы для записи их ограничены.
Тут вопрос: в этом случае конечны числа или количества?
Если невозможно будет записать или произнести число большее чем ....., то значит большего числа и нет.
Записывать числа можно по-разному.
Например, можно написать 10^(10^10). Запись короткая, но во Вселенной нет такого количества объектов.
Цитата: Andrey Lukyanov от июня 10, 2020, 12:09
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 11:58
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 09:42
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 07:08
Если Вселенная "конечна", то такие числа должны существовать, потому что ресурсы для записи их ограничены.
Тут вопрос: в этом случае конечны числа или количества?
Если невозможно будет записать или произнести число большее чем ....., то значит большего числа и нет.
Записывать числа можно по-разному.
Например, можно написать 10^(10^10). Запись короткая, но во Вселенной нет такого количества объектов.
Но в ограниченной Вселенной оборвётся и подобная запись, даже если пренебречь тем, что кто-то в этой Вселенной должен её написать, и кто-то должен её прочитать.
Можно пойти таким путём.
Пусть A — множество всех объектов во вселенной.
Тогда 2^A — множество всех подмножеств A.
2^A будет более мощным, чем A (то есть в нём будет больше элементов).
2^(2^A) будет ещё мощнее. И так далее.
Таком образом даже во вселенной с конечным числом объектов можно сконструировать сколь угодно мощные множества, просто перебирая множества подмножеств.
:green: Как верёвочке не виться ......
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 13:28
:green: Как верёвочке не виться ......
Можно ещё хитрее.
Пусть X — максимальное число, которое можно записать в нашей Вселенной.
Тогда 10^X всё равно будет больше.
Цитата: Andrey Lukyanov от июня 10, 2020, 13:32
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 13:28
:green: Как верёвочке не виться ......
Можно ещё хитрее.
Пусть X — максимальное число, которое можно записать в нашей Вселенной.
Тогда 10^X всё равно будет больше.
Не будет.
У Вас не будет ресурсов чтобы записать (10^)X, всю "бумагу" и "чернила" Вы потратили на Х (по определению).
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 13:38
Не будет.
У Вас не будет ресурсов чтобы записать (10^)X, всю "бумагу" и "чернила" Вы потратили на Х (по определению).
А зачем нам записывать X?
:green: А как Вы предлагаете написать число, написав его только наполовину?
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 13:55
:green: А как Вы предлагаете написать число, написав его только наполовину?
Нам и половину его писать не надо. Достаточно знать, что оно есть.
Вы ведёте речь о числах, которые невозможно записать, которые невозможно выговорить, которые невозможно прочитать или услышать?
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 14:01
Вы ведёте речь о числах, которые невозможно записать, которые невозможно выговорить, которые невозможно прочитать или услышать?
Нет, о числах, которые можно записать.
Пусть утверждается, что существует некое максимальное число из тех, которые теоретически можно записать в нашей вселенной. Назовём его X.
Тогда 10^X будет ещё больше.
Числа ведь не обязательно расписывать по всем разрядам, достаточно дать способ их нахождения.
Ну так напишите способ нахождения самого большого числа во Вселенной, а потом когда закончатся "бумага" и "чернила" .......
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 14:50
Ну так напишите способ нахождения самого большого числа во Вселенной, а потом когда закончатся "бумага" и "чернила" .......
Зачем?
Ага! Опять!
Самые большие числа это те, способ нахождения которых не написан.
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 04:00
На оси вообще всех числе бесконечно даже расстояние между любыми двумя числами.
С чего бы это вдруг?
Берём любые два числа, 3 и 2. Расстояние между ними равно 3-2=1 деление. Это конечное число. Значит ваше утверждение ложно.
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 14:50Ну так напишите способ нахождения самого большого числа во Вселенной
Ну вот Бауэрс (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F) попробовал:
(https://cdn.jpg.wtf/futurico/c6/39/1437411665-c6398c694f4e7b3b06eef2ee355ba344.JPG?w=700) (https://science.d3.ru/beskonechnoskrioby-dzhonatana-bauersa-787594)
Цитата: basta от июня 10, 2020, 15:03Берём любые два числа, 3 и 2. Расстояние между ними равно 3-2=1 деление.
А если посчитать "расстояние" как количество действительных чисел?
Цитата: Bhudh от июня 10, 2020, 15:37
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 14:50Ну так напишите способ нахождения самого большого числа во Вселенной
Ну вот Бауэрс (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F) попробовал:
(https://cdn.jpg.wtf/futurico/c6/39/1437411665-c6398c694f4e7b3b06eef2ee355ba344.JPG?w=700) (https://science.d3.ru/beskonechnoskrioby-dzhonatana-bauersa-787594)
Написание рецептов для получения рецептов для получения рецептов ......
тоже требует бумаги и чернил.
Да к тому же бумага и чернила потребуются для написания инструкции по составлению рецептов.
И к этому ещё потребуется голова размером со Вселенную, что бы разобраться в этой инструкции.
Цитата: basta от июня 10, 2020, 15:03
С чего бы это вдруг?
Берём любые два числа, 3 и 2. Расстояние между ними равно 3-2=1 деление. Это конечное число. Значит ваше утверждение ложно.
Под расстоянием я имел в виду количество чисел. Между 3 и 2 на оси действительных чисел бесконечное количество других чисел.
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 15:48И к этому ещё потребуется голова размером со Вселенную, что бы разобраться в этой инструкции.
Для начала нормальную бы обрести, чтобы не писать «что бы разобраться».
Цитата: Волод от июня 10, 2020, 15:01
Самые большие числа это те, способ нахождения которых не написан.
В общем-то для большинства действительных чисел (совсем не обязательно больших) способ нахождения не только не написан, но его и в принципе написать нельзя.
Если «способом нахождения» считать некий конечный текст, записанный с помощью конечного алфавита, то количество таких способов не более чем счётное. А количество действительных чисел — несчётное.
Цитата: Бенни от июня 10, 2020, 10:20
Можно рассматривать "расширенную числовую прямую" с объектами "плюс/минус бесконечность", которые больше/меньше любого числа, но сами не являются числами.
Что значит не являются числами? Вполне себе числа, не хуже других. Такая терминология только запутывает людей. При использовании обычного множества действительных чисел бесконечность не является числом, при использовании расширенного - является, и можно спокойно писать lim_(x to 0) 1/x = inf, не добавляя, что знак равенства здесь это историческая условность / ненастоящее равенство / конвенция.
Называть можно как угодно, но определить над этими "числами" арифметические операции с сохранением их привычных свойств, насколько я понимаю, не удастся.
То, что самого большого числа не существует, это «правильная» с точки зрения математики теория. Насколько я понимаю, фактически неправильная.
Цитата: Vlad26t от июня 10, 2020, 18:27Насколько я понимаю, фактически неправильная.
И что же это за факт такой?
Любому наперёд заданному числу
x можно противопоставить большее число
x + 1. Или
x ⋅ Graham's. Или
xGraham's.
Цитата: Бенни от июня 10, 2020, 17:52
Называть можно как угодно, но определить над этими "числами" арифметические операции с сохранением их привычных свойств, насколько я понимаю, не удастся.
Зависит от того, что лично вам кажется привычным. Так можно и 0 не считать числом.
Цитата: Vlad26t от июня 10, 2020, 18:27
То, что самого большого числа не существует, это «правильная» с точки зрения математики теория. Насколько я понимаю, фактически неправильная.
Что значит фактически, и как фактическая точка зрения противопоставлена математической?
Цитата: kemerover от июня 10, 2020, 18:35
Цитата: Vlad26t от июня 10, 2020, 18:27
То, что самого большого числа не существует, это «правильная» с точки зрения математики теория. Насколько я понимаю, фактически неправильная.
Что значит фактически, и как фактическая точка зрения противопоставлена математической?
Чувстувую, что есть какая-то подходящая теория :negozhe:
kemerover, а что такое число в Вашем понимании?
Цитата: Бенни от июня 11, 2020, 10:59
kemerover, а что такое число в Вашем понимании?
В принципе числами можно считать всё, что угодно, но с условием —
натуральные числа должны быть туда как-то встроены.
Определите термин «встроены», пожалуйста.
Цитата: Bhudh от июня 11, 2020, 12:41
Определите термин «встроены», пожалуйста.
То есть всякие операции типа сложения, умножения и прочего должны быть определены так, чтобы при их применении к натуральным числам (как составной части наших новых чисел) получалось то, к чему мы привыкли.
Ничего не понял. На каком множестве Вы собрались определять операции?
На множестве страусов или множестве кенгуру? И так, чтобы 5_кенгуру + 7_страусов + 2 было равно 14?
Цитата: Bhudh от июня 11, 2020, 12:52
Ничего не понял. На каком множестве Вы собрались определять операции?
На множестве страусов или множестве кенгуру? И так, чтобы 5_кенгуру + 7_страусов + 2 было равно 14?
Разве множество страусов или множество кенгуру содержат натуральные числа?
Возьмите множество натуральных чисел, добавьте к нему ещё что-нибудь и доопределите операции.
Цитата: Andrey Lukyanov от июня 11, 2020, 12:56Разве множество страусов или множество кенгуру содержат натуральные числа?
А Вы пробовали считать их чем-то другим?
Цитата: Andrey Lukyanov от июня 11, 2020, 12:56Возьмите множество натуральных чисел, добавьте к нему ещё что-нибудь и доопределите операции.
Тысячи раз так делали. С векторами, действительными числами, комплексными числами, многочленами...
Цитата: Bhudh от июня 11, 2020, 13:02
Цитата: Andrey Lukyanov от июня 11, 2020, 12:56Разве множество страусов или множество кенгуру содержат натуральные числа?
А Вы пробовали считать их чем-то другим?
Ну, если хочется, то можно количество страусов считать натуральными числами, а количество кенгуру — ненатуральными.
Тогда (7_страусов + 5_кенгуру) будет отдельным числом.
Цитата: Бенни от июня 11, 2020, 10:59
kemerover, а что такое число в Вашем понимании?
Математический объект, используемый для счёта и меры. Все уточнения - уже вопрос истории и прагматики.
Обычно число воспринимается как что-то достаточно атомичное (например, матрицу числом не посчитают), но решение считать ли (гипер-)комплексные числа числами достаточно произвольно. Теория чисел в математике вообще занимается не действительными, а целыми числами и производными от них объектами.
Цитата: kemerover от июня 11, 2020, 18:09
матрицу числом не посчитают
Множество квадратных матриц некоторого фиксированного размера вполне можно считать числами. Их же можно складывать и умножать. А те из них, которые образованы из единичной матрицы её умножением на натуральное или действительное число в обычном понимании, обладают всеми свойствами натуральных или действительных числе соответственно — и они образуют подмножество в нашем множестве матриц.
И кстати, комплексные числа тоже можно представить в виде матриц 2×2 специального вида, и тогда их можно складывать и умножать по обычным правилам сложения и умножения матриц.
Одно дело, что можно; другое дело, попробуйте найти человека, который назовёт матрицу числом.
Цитата: From_Odessa от июня 10, 2020, 04:00
Числовая ось бесконечна. На оси вообще всех числе бесконечно даже расстояние между любыми двумя числами. Но может ли быть ТПК, что все-таки самое большое и самое маленькое числа существуют?
Конечно, существует.
Нет никаких "чисел". Есть элементы различных алгебраических структур.
То, что люди обычно подразумевают под словом числа - это поле вещественных чисел.
Что такое поле.
Это множество, на котором определены операции сложения и умножения, (обратные к ним - вычитания и деления), эти операции подчиняются аксиомам поля.
(wiki/ru) Поле_(алгебра) (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0))
Поля чисел бывают разные, например, конечные.
Вот поле Галуа, состоящее из конечного числа элементов, это число элементов - обязательно (натуральная) степень простого числа
(wiki/ru) Конечное_поле (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5)
Самое простое во всех смыслах поле состоит из двух элементов 0 и 1.
Сложение задаётся такой таблицей:
0+0 = 0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0.
Легко видеть, что максимальный элемент этого поля равен 1.
Цитата: kemerover от июня 11, 2020, 19:03
Одно дело, что можно; другое дело, попробуйте найти человека, который назовёт матрицу числом.
Это потому что в математике редко имеют дело только с квадратными матрицами. А если это ограничение не соблюдается, то и вложенность обычных чисел в матрицы пропадает.
Цитата: _Swetlana от июня 11, 2020, 19:45
Конечно, существует.
Нет никаких "чисел". Есть элементы различных алгебраических структур.
То, что люди обычно подразумевают под словом числа - это поле вещественных чисел.
Что такое поле.
Это множество, на котором определены операции сложения и умножения, (обратные к ним - вычитания и деления), эти операции подчиняются аксиомам поля.
(wiki/ru) Поле_(алгебра)
Поля чисел бывают разные, например, конечные.
Вот поле Галуа, состоящее из конечного числа элементов, это число элементов - обязательно (натуральная) степень простого числа
(wiki/ru) Конечное_поле
Самое простое во всех смыслах поле состоит из двух элементов 0 и 1.
Сложение задаётся такой таблицей:
0+0 = 0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0.
Легко видеть, что максимальный элемент этого поля равен 1.
Пл сути, я задавал вопрос о поле вещественных чисел, конечно. Хотя, в принципе, его можно задать даже о поле целых чисел. Вот среди них мы можем говорить о максимально большом и максимально маленьком? Не потенциально, обозначив их, как БМВ и ББВ, а о конкретных числах?
Цитата: From_Odessa от октября 6, 2020, 20:54
Хотя, в принципе, его можно задать даже о поле целых чисел.
Целые числа образуют кольцо, но не поле. Поле — это кольцо с коммутативным умножением, в котором для любого A, отличного от нуля, и любого B уравнение Ax = B имеет единственное решение.
Цитата: From_Odessa от октября 6, 2020, 20:54
Вот среди них мы можем говорить о максимально большом и максимально маленьком?
Нет, не можем.
Самое большое число должно быть некоей сущностью, средней между самой большой и самой малой цифрой. Это как двойка, которая кроет туза. Посередине — что-то. Верю в цикличность цифроряда. (Хочется верить.)
Цитата: urandibak от октября 6, 2020, 21:13
Нет, не можем.
Для любого целого числа n верно, что целые числа n+1, n+2 и так далее больше, чем n.
Для любого целого числа n верно, что целые числа n-1, n-2 и так далее меньше, чем n.
Цитата: urandibak от октября 6, 2020, 21:16
Для любого целого числа n верно, что целые числа n+1, n+2 и так далее больше, чем n.
Для любого целого числа n верно, что целые числа n-1, n-2 и так далее меньше, чем n.
Ну да, это-то очевидно, если рассматривать ситуацию привычным образом. Я в самом начале подразумевал, можем ли мы как-то иначе на это посмотреть.
Цитата: From_Odessa от октября 6, 2020, 21:19
Я в самом начале подразумевал, можем ли мы как-то иначе на это посмотреть.
Не можем.
А если переопределить отношения "больше/меньше"? По теореме Цермело (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A6%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B5%D0%BB%D0%BE), если принять аксиому выбора (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0), любое множество, в том числе и множество действительных чисел, можно вполне упорядочить (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B5_%D1%83%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE).
Или еще проще: взаимно однозначно отобразить отрезок на действительную ось с порядком, унаследованным от отрезка, - и вот вам и максимум, и минимум.
Цитата: Бенни от октября 6, 2020, 22:52
А если переопределить отношения "больше/меньше"? По теореме Цермело (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A6%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B5%D0%BB%D0%BE), если принять аксиому выбора (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0), любое множество, в том числе и множество действительных чисел, можно вполне упорядочить (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B5_%D1%83%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE).
В математике часто бывает, что можно доказать существование какого-либо объекта, но «предъявить» этот объект нельзя.
Ну мы же не конструктивисты.
Цитата: Бенни от октября 7, 2020, 12:43
Ну мы же не конструктивисты.
Это хорошо или плохо?
По мне так нормально. Не вижу необходимости в конструктивизме.
Cамое маленькое число - ноль. Меньше его ничего быть не может.
И не надо про отрицательные числа.
Неважно, гора или яма, она всё равно больше чем отсутсвие чего бы то ни было.
Цитата: Andrew от октября 7, 2020, 17:31
Cамое маленькое число - ноль. Меньше его ничего быть не может.
И не надо про отрицательные числа.
Неважно, гора или яма, она всё равно больше чем отсутсвие чего бы то ни было.
Самое маленькое число - I. Одна штука. И не надо втирать про ноль, всё это выдумки ;D
Ноль - то, чего нет, а не то, что есть, как робот говорил о дыре в корпусе корабля у Шефнера в "Лачуге должника" (кстати, только что узнал, что по ней снят мини-сериал).
Говорящие о том, что «полный порядок» на множестве вещественных чисел существует, конечно, не могут его предъявить (потому что никто не может). Но я зарёкся спорить о конструктивизме, поэтому не буду.