Существуют ли максимально большое и самое маленькое числа?

[Bhudh]

Разве множество страусов или множество кенгуру содержат натуральные числа?

А Вы пробовали считать их чем-то другим?

Возьмите множество натуральных чисел, добавьте к нему ещё что-нибудь и доопределите операции.

Тысячи раз так делали. С векторами, действительными числами, комплексными числами, многочленами...

[Andrey Lukyanov]

Разве множество страусов или множество кенгуру содержат натуральные числа?

А Вы пробовали считать их чем-то другим?

Ну, если хочется, то можно количество страусов считать натуральными числами, а количество кенгуру — ненатуральными.

Тогда  (7_страусов + 5_кенгуру) будет отдельным числом.

[kemerover]

kemerover, а что такое число в Вашем понимании?

Математический объект, используемый для счёта и меры. Все уточнения - уже вопрос истории и прагматики.

Обычно число воспринимается как что-то достаточно атомичное (например, матрицу числом не посчитают), но решение считать ли (гипер-)комплексные числа числами достаточно произвольно. Теория чисел в математике вообще занимается не действительными, а целыми числами и производными от них объектами.

[Andrey Lukyanov]

матрицу числом не посчитают

Множество квадратных матриц некоторого фиксированного размера вполне можно считать числами. Их же можно складывать и умножать. А те из них, которые образованы из единичной матрицы её умножением на натуральное или действительное число в обычном понимании, обладают всеми свойствами натуральных или действительных числе соответственно — и они образуют подмножество в нашем множестве матриц.

И кстати, комплексные числа тоже можно представить в виде матриц 2×2 специального вида, и тогда их можно складывать и умножать по обычным правилам сложения и умножения матриц.

[kemerover]

Одно дело, что можно; другое дело, попробуйте найти человека, который назовёт матрицу числом.

[_Swetlana]

Числовая ось бесконечна. На оси вообще всех числе бесконечно даже расстояние между любыми двумя числами. Но может ли быть ТПК, что все-таки самое большое и самое маленькое числа существуют?

Конечно, существует.

Нет никаких "чисел". Есть элементы различных алгебраических структур.
То, что люди обычно подразумевают под словом числа - это поле вещественных чисел.
Что такое поле.
Это множество, на котором определены операции сложения и умножения, (обратные к ним - вычитания и деления), эти операции подчиняются аксиомам поля.
(wiki/ru) Поле_(алгебра)
Поля чисел бывают разные, например, конечные.
Вот поле Галуа, состоящее из конечного числа элементов, это число элементов - обязательно (натуральная) степень простого числа
  (wiki/ru) Конечное_поле
Самое простое во всех смыслах поле состоит из двух элементов 0 и 1.
Сложение задаётся такой таблицей:
0+0 = 0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0.
Легко видеть, что максимальный элемент этого поля равен 1.

[Andrey Lukyanov]

Одно дело, что можно; другое дело, попробуйте найти человека, который назовёт матрицу числом.

Это потому что в математике редко имеют дело только с квадратными матрицами. А если это ограничение не соблюдается, то и вложенность обычных чисел в матрицы пропадает.

[From_Odessa]

Конечно, существует.

Нет никаких "чисел". Есть элементы различных алгебраических структур.
То, что люди обычно подразумевают под словом числа - это поле вещественных чисел.
Что такое поле.
Это множество, на котором определены операции сложения и умножения, (обратные к ним - вычитания и деления), эти операции подчиняются аксиомам поля.
(wiki/ru) Поле_(алгебра)
Поля чисел бывают разные, например, конечные.
Вот поле Галуа, состоящее из конечного числа элементов, это число элементов - обязательно (натуральная) степень простого числа
  (wiki/ru) Конечное_поле
Самое простое во всех смыслах поле состоит из двух элементов 0 и 1.
Сложение задаётся такой таблицей:
0+0 = 0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0.
Легко видеть, что максимальный элемент этого поля равен 1.

Пл сути, я задавал вопрос о поле вещественных чисел, конечно. Хотя, в принципе, его можно задать даже о поле целых чисел. Вот среди них мы можем говорить о максимально большом и максимально маленьком? Не потенциально, обозначив их, как БМВ и ББВ, а о конкретных числах?

[Киноварь]

Хотя, в принципе, его можно задать даже о поле целых чисел.

Целые числа образуют кольцо, но не поле. Поле — это кольцо с коммутативным умножением, в котором для любого A, отличного от нуля, и любого B уравнение Ax = B имеет единственное решение.

Вот среди них мы можем говорить о максимально большом и максимально маленьком?

Нет, не можем.

[ta‍criqt]

Самое большое число должно быть некоей сущностью, средней между самой большой и самой малой цифрой. Это как двойка, которая кроет туза. Посередине — что-то. Верю в цикличность цифроряда. (Хочется верить.)

[Киноварь]

Нет, не можем.

Для любого целого числа n верно, что целые числа n+1, n+2 и так далее больше, чем n.
Для любого целого числа n верно, что целые числа n-1, n-2 и так далее меньше, чем n.

[From_Odessa]

Для любого целого числа n верно, что целые числа n+1, n+2 и так далее больше, чем n.
Для любого целого числа n верно, что целые числа n-1, n-2 и так далее меньше, чем n.

Ну да, это-то очевидно, если рассматривать ситуацию привычным образом. Я в самом начале подразумевал, можем ли мы как-то иначе на это посмотреть.

[Киноварь]

Я в самом начале подразумевал, можем ли мы как-то иначе на это посмотреть.

Не можем.

[Бенни]

А если переопределить отношения "больше/меньше"? По теореме Цермело, если принять аксиому выбора, любое множество, в том числе и множество действительных чисел, можно вполне упорядочить.

[Бенни]

Или еще проще: взаимно однозначно отобразить отрезок на действительную ось с порядком, унаследованным от отрезка, - и вот вам и максимум, и минимум.

[Andrey Lukyanov]

А если переопределить отношения "больше/меньше"? По теореме Цермело, если принять аксиому выбора, любое множество, в том числе и множество действительных чисел, можно вполне упорядочить.

В математике часто бывает, что можно доказать существование какого-либо объекта, но «предъявить» этот объект нельзя.

[Бенни]

Ну мы же не конструктивисты.

[Andrey Lukyanov]

Ну мы же не конструктивисты.

Это хорошо или плохо?

[Бенни]

По мне так нормально. Не вижу необходимости в конструктивизме.

[Andrew]

Cамое маленькое число - ноль. Меньше его ничего быть не может.
И не надо про отрицательные числа.
Неважно, гора или яма, она всё равно больше чем отсутсвие чего бы то ни было.

[_Swetlana]

Cамое маленькое число - ноль. Меньше его ничего быть не может.
И не надо про отрицательные числа.
Неважно, гора или яма, она всё равно больше чем отсутсвие чего бы то ни было.

Самое маленькое число - I. Одна штука. И не надо втирать про ноль, всё это выдумки 

[Бенни]

Ноль - то, чего нет, а не то, что есть, как робот говорил о дыре в корпусе корабля у Шефнера в "Лачуге должника" (кстати, только что узнал, что по ней снят мини-сериал).

[Киноварь]

Говорящие о том, что «полный порядок»‎ на множестве вещественных чисел существует, конечно, не могут его предъявить (потому что никто не может). Но я зарёкся спорить о конструктивизме, поэтому не буду.