Геометрія

[Python]

Тут будуть мої любительські викладки на тему геометричних побудов.

Почнімо з найпростішого: квадратура круга. Як відомо, з допомогою циркуля й лінійки побудувати квадрат, площа якого точно дорівнює площі заданого круга, математично неможливо, а винайденням способів приблизної побудови можна займатись нескінченно. Саме це й спробую зробити: побудувати квадрат, площа якого приблизно дорівнює площі круга з радіусом r.

Оскільки площа круга дорівнює πr², сторона квадрата має бути r√π. Можна спробувати наближено передати √π як звичайний дріб — бажано підібрати такий, щоб при відносно невеликих значеннях чисельника й знаменника передавав потрібне нам ірраціональне число з високою точністю. Таким значенням може бути 296/167 — наступним більш точним значенням буде 4401/2483, що досить непогано:
(296/167)² ≈ 3.141597045430098
(4401/2483)²≈3.1415884965003267
         π ≈ 3.141592653589793

Щоб оперувати не такими великими числами, 296/167 можна записати як 37/20⅞ або 37/(21-1/8). Знаючи це, можна побудувати трикутник чи паралелограм зі співвідношенням сторін 37:20⅞ і масштабувати його так, щоб менша сторона дорівнювала r — тоді більша дорівнюватиме стороні шуканого квадрата.

Візьмімо за основу коло з радіусом r  і продовжмо лінію радіусу, відклавши на ній точки A, B, C, де OA=AB=BC=r, OC=3r.
Розділімо AB навпіл точкою D (AD=BD=½r, OD=1½r).
Побудуймо ромб BEDF зі стороною BE=OD=3r/2, відкладімо на сторонах ED та EF відрізки EG=FH=AD=r/2.
На перетині з BD ліній EF та GH поставмо точки K та L. (KL=⅙BD=r/12, OK=21r/12, OL=20r/12).
Побудуймо ромб KMLN зі стороною KM=OB=2r, відкладімо на сторонах KM та KN відрізки KP=KQ=AD=r/2.
На перетині KL з PQ поставмо точку R. (KR=⅛KL, OR=20⅞r/12).
Продовжмо OC відрізком CS=KL=r/12. (OS=3r+r/12=37r/12).
Побудуймо рівнобедрений трикутник ORT, де OT=OR, RT=OS. (Бічна сторона та основа трикутника відноситимуться як 20⅞:37).
На перетині OT з колом поставмо точку U. Трикутник OAU матиме ті ж пропорції, що й трикутник ORT — таким чином, AU=(37/20⅞)r≈r√π, тому квадрат зі стороною AU матиме майже ту ж площу, що й круг.

Існують і більш точні способи побудови квадратури круга циркулем і лінійкою, ніж наведений вище — зокрема, деякі такі приклади є у вікіпедії — проте, в цих випадках так само йдеться про приблизну побудову з обмеженою точністю, хай і з дещо вищою (чи навіть дещо нижчою).