Застрять

[Grantum]

Глагол застрять - выразительное русское слово, вроде бы очень даже старинное, но в пушкинском словаре отсутствует напрочь. Начинает употребляться в литературе с конца 30-х годов 19 века (1 пример), а более широко - со второй его половины. 
Даль :

ЗАСТРЕВАТЬ, застреть, также застрять или застрянуть зап. южн. застрягнуть (см. застромлять) где или в чем, южн. тамб. симб. твер. засесть, захрять, завьять, завязнуть; запропаститься. Пошел, да и застрял где-то. Мяч застрял на дереве. Свинья застрягла у плоте, в заборе, плетне. Овца хотела пролезть в плетень, да и застряла.

Нацкорпус : 

Н. И. Голицына. Воспоминания о польском восстании 1830-1831 (1837) 
Я ехала, хотя и с трудом, благодаря ловкости моего кучера, тогда как карета княгини застряла в затянутой льдом луже, и ее смогли вытащить, лишь расколов лед штыками, что доставило нам новые опасения, потому что все ружья были заряжены.
А. Д. Салтыков. Письма из Индии (1845)
... но вот я на третьей станции застрял со вчерашнего вечера, в месте, истинно ужасном; а
уже полдень.
И. С. Тургенев. Бежин луг (1851) 
Староста наш в канаву залез; старостиха в подворотне застряла, благим матом кричит, свою же дворную собаку так запужала, что та с цепи долой, да через плетень, да в лес; а Кузькин отец, Дорофеич, вскочил в овес, присел, да и давай кричать перепелом: «Авось, мол, хоть птицу-то враг, душегубец, пожалеет».
А. Н. Островский. Письма (1853) 
Уведомьте меня об участи моей пьесы, она что-то застряла у Вас.

Возникает вопрос : как раньше образованные люди обходились без такого нужного слова, чем они его заменяли? Происхождение тоже прояснить бы не мешало.
В САР следов сабжа обнаружить не удалось, видимо, слишком просторечным показалось академикам...

[Bhudh]

У Фасмера есть примеры синонимов из летописей.

[Grantum]

Есть известнейшая фамилия Устрялов, однако узнать ее происхождение проблематично - сетевая "фамильная мафия" перекрыла все ходы-выходы. Но у кого-то есть сведения.

[Wolliger Mensch]

... вроде бы очень даже старинное

Не вроде, а в самом деле праславянское.

У Фасмера есть примеры синонимов из летописей.

При этом у него совсем странное отделение от польского слова, хотя там и значение такое же, и фонетически соответствует и словообразовательно нет проблем: польск. strząc < праслав. *stręťi, *stręgǫ, др.-русск. стряну < праслав. *stręgnǫ, а инфинитив образован заново по типу стать, стану, ср. аналогичное развитие в типе стыть, стыну ← стынуть, стыну.

[ameshavkin]

Встрять - встрянуть - встревать.

[Grantum]

Имеется связь с глаголом "стряпати", см.
Можно предположить, что смысл стряпать - медлить возник из следующих известных ситуаций : что вы там стряпаете? (делаете, медлите, тянете, дурака валяете, мозги себе и людям компостируете?)

[Tys Pats]

Имеется связь с глаголом "стряпати"...

Страх и страсть тоже, наверно, сюда.

[Alone Coder]

"Застрячь" и "застрясть" оба зафиксированы, поэтому обе этимологии могут быть верными (двойная мотивация).

[Драгана]

Имеется связь с глаголом "стряпати"...

Страх и страсть тоже, наверно, сюда.

Неа, страсть - от страдать. "Страдсть", видимо, было.
А страх - хз, но похоже на "струхнуть", "трусить", "трухануть", есть и такие народные формы.

[Tys Pats]

И страх, и застрять сравнивают с strē̆gti, «оцепенеть, превратиться в лёд»+застревать

Происходит от праслав. *straxъ, от кот. в числе прочего произошли: ст.-слав. страхъ (др.-греч. φόβος), др.-русск. страхъ, откуда русск. страх, укр. страх (род. п. -у), болг. страх, сербохорв. стра̑х (род. п. стра̏ха), словенск. strȃh (род. п. strȃha, strahȗ), чешск. strach, словацк. strach, польск. strach, в.-луж. trach, н.-луж. tšасh, полабск. stroch. Первонач. знач. «оцепенение» сближается с лит. stregti, stregiu «оцепенеть, превратиться в лёд», латышск. strēǵele «сосулька», ср.-в.-нем. strac «тугой», нов.-в.-нем. strecken «растягивать», др.-в.-нем. stracken «быть растянутым»; далее — без s-: англос. оnđrесаn «страшиться». Сравнение с лат. strāgēs «опустошение, поражение, повержение на землю» оспаривается. Сравнивают также с латышск. struõstêt, struõstît «угрожать, строго предупреждать» (см. также страсть). Соответственно сказанному выше, форма на -х должна была произойти из -gs- или -ks-

Происходит от за- + -стрять, из неустановленной формы. Наиболее распространенная версия предполагает праслав. *stręg- из восходит к праиндоевр. *streng/натягивать, напрягать; ср.: русск. застрять, диал. застре́ть, застрева́ть, также пристря́ть «прицениться», севск. (Преобр.), укр. застря́ти, застрява́ти, белор. застря́ць, застре́ць, др.-русск. постряти «застрять», Лаврентьевск. летоп.; перестряпъ «переждал», устряти «застрять» (Козьма Индикопл., ХVI в.). Ср. также польск. zastrąc, zastrzągł «застрять», ustrząс — то же, которые, возм., связаны с лит. stringù, strìgti «застрять», латышск. strę̄gu, strigt «погрузиться», straignis «топь». По другой версии — из праслав. *strępti.

лтш. strēgt "застревать"

[Grantum]

Н.Н.Дурново рассматривал вопрос, но однозначного решения не достиг.