Теорема Гёделя

[ostapenkovr]

Неоднократно втречаюсь с проявлением этой теоремы в лингвистике. Интересно обменяться опытом.

[Flos]

Неоднократно втречаюсь с проявлением этой теоремы в лингвистике.

Например?

Мне как-то стало интересно разобраться этой теоремой, после того как о ней многократно вспоминали разные авторы в связи с вопросами богословия.
Ну, поразбирался и пришел к закономерному выводу, что применять ее за пределами математики модно и круто,  но некорректно.

[FA]

почитаю...

[Тайльнемер]

Ну, поразбирался и пришел к закономерному выводу, что применять ее за пределами математики модно и круто,  но некорректно.

Ещё очень любят 2-е начало термодинамики за пределами термодинамики применять.

[rounin]

Она утверждает, что любой формальный математический аппарат не может быть полностью непротеворечив.
Это, в принципе, относится к любой сфере, где используется СТРОГИЙ мат. аппарат.
Но в физике, например, теория чаще не работает по причине выхода за границы применимости,
чем по причине несовершенства математики.

[Tibaren]

Ещё очень любят 2-е начало термодинамики за пределами термодинамики применять.

И ещё экспоненциальный закон радиоактивного распада, особенно в лингвистике.

[FA]

И ещё экспоненциальный закон радиоактивного распада, особенно в лингвистике.

эскпоненциальный закон иллюстрирует самые разнообразныеявления, например, - рост популяции, а отнюдь не только распад ядра.

Она утверждает, что любой формальный математический аппарат не может быть полностью непротеворечив.

да не... она же не о противоречивости, а о неполноте.

[Тайльнемер]

Она утверждает, что любой формальный математический аппарат не может быть полностью непротеворечив.

Ну вот... Пошло-поехало.

[Flos]

Это, в принципе, относится к любой сфере, где используется СТРОГИЙ мат. аппарат.

А это и есть только математика.
Ваш К.О.

[Тайльнемер]

И ещё экспоненциальный закон радиоактивного распада, особенно в лингвистике.

Ну тут не совсем та же история. Экспоненциальный распад применять к лексике корректно, если мы рассматриваем модель, в которой каждый лексический элемент имеет одинаковую вероятность «распасться» за единицу времени. И выбирая набор лексических единиц для глоттохронологии, глоттохронологи старались проверить на известных языках, что это свойство выполняется. То есть, создатели теории понимали, что делают.

[Flos]

Ну тут не совсем та же история.

Теорвер можно пихать вне математики. Но теорема Гёделя - это математика  о математике, вскрывающее ее гнилое сердце.

[rounin]

да не... она же не о противоречивости, а о неполноте.

Да, противоречивость - это я погорячился. Неправильное слово.
Там идёт речь об утверждении, истинность которого невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
Протеворечивость была бы, если можно было бы доказать и то, и другое.
Вобщем, ни один мат.аппарат не совершенен

А это и есть только математика.
Ваш К.О.

Ну, есть еще теорфизика. Ландафшиц.

[Flos]

Ну, есть еще теорфизика. Ландафшиц.

В теорфизике "аксиоматика"  по определению неполна, так что и теоремы никакой не надо...

[rounin]

В теорфизике "аксиоматика"  по определению неполна, так что и теоремы никакой не надо...

Ну, лет двести (а может, даже и сто? ) назад считали, что полна.
Ну, и именно теорема Гёделя говорит нам, что не может быть никакой "теории всего".

[Flos]

Ну, лет двести (а может, даже и сто? ) назад считали, что полна.

Fa Некоторые форумчане до сих пор так считают. хи-хи-хи.

[FA]

Fa Некоторые форумчане до сих пор так считают. хи-хи-хи.

ага, что не мешает мне относиться к теореме Геделя, как к банальной истине.
Поскольку я сегодня уже порядком тут пописал, а надо и потрудиться, то я раскрою эту мысль позже.

[Alone Coder]

Она утверждает, что любой формальный математический аппарат не может быть полностью непротеворечив.

Она этого не утверждает и вообще их две. Википедия в помощь.

[Тайльнемер]

Ну, и именно теорема Гёделя говорит нам, что не может быть никакой "теории всего".

Я могу ошибаться, но мне кажется, это как раз то самое, некорректное, использование теоремы.

От физической «теории всего», даже в самом идеальном и оптимистическом её варианте, никто не ждёт полноты в математическом смысле этого слова. Теория всего  должна подтверждаться всеми наблюдениями и предсказывать результаты любого физического эксперимента, то есть отвечать на вопросы вида «каким будет вероятностное распределение такой-то физической величины у такого-то объекта при таких-то условиях?», «что будет если в унитаз поезда на полном ходу бросить лом?» и т. п. Но отвечать на вопросы типа «а верна ли континуум-гипотеза?» или «а не противоречива ли эта теория?» физическая теория всего отвечать не обязана.

[arseniiv]

Действительно, вне обсуждения формальных теорий (слитный термин) теоремы Гёделя засовывать не нужно — это будет просто-напросто псевдонаукой.

[Солохин]

Написанное здесь утверждение истинно, однако его нельзя доказать.

Допустим, это утверждение ложно. Значит, чисто логически:

-  либо оно ложно
-  либо оно истинно, однако его можно доказать.

Предположим, что никакое ложное утверждение невозможно доказать. Тогда вторая возможность отпадает.

Следовательно, оно однозначно ложно - написанное выше утверждение.

-----------

Рассуждая подобным образом о различных утверждениях, которые нечто утверждают сами о себе, можно делать нетривиальные умозаключения в стиле теоремы Гёделя.
В этом нет ничего неправильного или неприличного.

Это не есть теорема Гёделя, но рассуждение по аналогии с теоремой. Часто это называют "по теореме Гёделя". Это название неточно, как и многие другие названия.
Но сам по себе принцип - вполне универсален.

[Солохин]

Написанное здесь утверждение нельзя доказать

(1) Предположим, это не так.

Значит, его можно доказать.

Но если ложное утверждение можно доказать, значит, ошибочен сам по себе аппарат доказательств. Допустим, что он не является ошибочным. Тогда наше предположение (2) неверно.

Значит, написанное выше предложение не является ложным. Допустим, что все, что не ложно, является истинным. Тогда оно истинно!
Но если оно истинно, значит, его и вправду нельзя доказать!

Проблема тут в том, что мы пришли к парадоксу: доказать утверждение нельзя, а ведь мы его только что доказали.

Выйти из парадокса можно лишь более строго определив, что значит "доказать". Если пойти этим путем, то и получится приблизительно то, что называют обычно словосочетанием "теорема Геделя".

[arseniiv]

Доказывать просто так нельзя. Доказывают исходя из системы аксиом. То, что доказуемо в одной системе аксиом, может быть недоказуемым в другой. Более того, в третьей системе аксиом может быть доказуемо отрицание данного утверждения.

Так что

значит, ошибочен сам по себе аппарат доказательств

это что-то паранормальное написано.

[Солохин]

это что-то паранормальное написано.

Чуть выше Вы рассуждали об одной половине аппарата доказательств - об аксиомах. Вторая половина - правила вывода.
Если аппарат сломанный (например, выводы из аксиом противоречат друг другу), то пользоваться им нельзя.

Примерно так.

[arseniiv]

Интересное определение аппарата доказательств. Ни за что бы не подумал, что а нём скрыты правила вывода.

[Солохин]

Ну, "аппарат доказательств" - это вообще неформальное понятие, как и "хорошая функция". В общении между собой математики со смаком используют такие "смутные" категории.
Но, конечно, любой математик может тут же уточнить, что он имеет в виду под "хорошей" функцией, если потребовать, чтобы он отвечал за базар.
Однако когда они рассуждают сами для себя в своем кругу, они не стремятся к формальной строгости. Это мешает интуиции.

В любом случае - ведь понятно, что не только аксиомы в разных теориях могут быть разными, но и сама логика (сиречь "правила вывода")