ТФКП.

[Марбол]

Здравствуйте!

Меня заинтересовала следующая задача: найти отображение внешности единичной окружности на верхнюю полуплоскость с вырезанным отрезком, положение концов которого задано. В общем случае, этот отрезок наклонён к оси абсцисс. Не представляю, как подступиться к этой задаче: то, что приходит на ум, либо даёт решётку отрезков, либо кривую, в качестве второй границы, вместо желаемой прямой оси абсцисс.

[Марбол]

Я не указал, что концы отрезка в задаче не должны лежать на оси абсцисс.

[Квас]

А под формулировкой «найти отображение» вы формулу имеете в виду? А существует ли она?

[Марбол]

Здравствуйте!

Да, конечно, речь идёт о формуле; а как иначе? С другой стороны, решение может выражаться интегралом, в том числе.

[Alone Coder]

Отображаем внешность единичной окружности на плоскость с вырезанным отрезком (y=0, x=[-1;+1]): x'=x, y'=y*(y²+x²-1)

Отображаем плоскость с вырезанным отрезком на верхнюю полуплоскость (y>-1) с вырезанным отрезком (y=0, x=[-1;+1]): x''=x', y''=exp(y')-1.

[Марбол]

Здравствуйте!

Кодер, Ваши формулы почему-то не отвечают условиям Даламбера-Эйлера (C.-R.). Например, dx'/dx != dy'/dy, dx'/dy != -dy'/dx. Вероятно, Вы имели в виду другие выражения в координатах.

[Марбол]

Я купил "Теорию струй идеальной жидкости" М.И. Гуревича, попробую извлечь из неё рациональный корень.

[Марбол]

Здравствуйте!

Некоторым образом, эту задачу можно решить методом зеркального отражения.
Строим циркуляционное обтекание наклонной пластинки горизонтальным потоком, отражаем картину относительно оси абсцисс и складываем потенциалы отражения и самого течения. Получаем "отвердевшую" горизонтальную ось.

[Квас]

Сложно и непонятно. (Правда, у меня руки до учебников так и не дошли, но каких-либо «обтеканий пластин» я и не надеюсь там найти.) Раз уж такая тема, может, растолкуете?

[Марбол]

Здравствуйте!

Попробую растолковать, но предупреждаю, что чего-то недопонимаю. Это станет ясно в конце письма.

Итак, по порядку. Промежуточные комплексные переменные обозначаются строчными буквами a, b, c...

1) Плоскость z = x+iy, с линиями тока y = const, отображается на внешность круга |a| <= 1:
a = z+(z²-1)^1/2.
Отрезок плоскости z: y = (-1, +1) переводится в окружность |a| = 1.
Имеем плоское обтекание единичного круга, с двумя точками нарушения конформности отображения (критическими точками), лежащими на единичной окружности симметрично к её центру. В этих точках скорость потока обращается в ноль.

2) Плоскость предыдущего пункта поворачивается:
b = ae^iф.

3) Накладываем на обтекание единичного круга циркуляционный поток:
c = b+G/(2пi).
Скорость течения на верхней дуге единичной окружности между критическими точками при этом увеличивается, а на нижней - уменьшается, так что обе точки смещаются вдоль окружности, приближаясь друг к другу так, что нижняя дуга сокращается, а верхняя увеличивается.
При этом нужно, чтобы arcsin(G/2п) = ф. При этом условии та критическая точка, которая при повороте в пункте 2 поднялась выше другой, оказывается на одной горизонтали с центром окружности.

4) Применяем отображение Жуковского, превращая окружность |c| = 1 в отрезок Re (d) = (-1, +1) на вещественной оси:
f = (c+1/c)/2.
Получилось циркуляционное обтекание горизонтального отрезка наклонным потоком. При этом набегающий поток раздваивается не в начале отрезка, а в точке между началом и серединой, а стекает с отрезка в его конце, вдоль отрезка. Так что отрезок оказывается, как бы, на гребне волны (но это только образно, потому что фактически наша "волна" находится в толще потока).

5) Возвращаем исходно горизонтальному потоку его ориентацию, поворачивая на угол -ф:
g = fe^-iф.
Получили циркуляционное обтекание наклонного отрезка горизонтальным потоком.

В рисунках это выглядит проще стократ.

Заковыка у меня вот в чём. Поскольку мне нужно обтекание наклонного отрезка вблизи горизонтальной прямой, а линии тока получившегося течения становятся строго горизонтальными только на бесконечном удалении. По методу зеркальных отражений, можно получить нужное мне течение, вблизи прямой: этого достигают, располагая на равных расстояниях от заданной горизонтали картинку и её зеркальное отражение, собственно. Вот это-то у меня  и не получается. Ведь посмотрите: если взять результат пункта 5 и сместить его вверх на величину ih, а потом в аналогичном порядке построить течение, зеркальное к п. 5 и сместить его, наоборот, вниз на величину -ih, то в сумме получим
k₁ = g_прям+ih, k₂ = g_отраж -ih,
откуда
k = k₁+k₂ = g_прям+g_отраж. Но это сумма картинки и её зеркального отражения, так что, по-видимому, получается течение вдоль горизонтального отрезка, а не течение в створе между двумя наклонными отрезками.

[Марбол]

В пункте №3, конечно, слагаемое +G/(2пic).

[Марбол]

Судя по рисункам, построенным в Экселе, в пункте 3 у меня ошибка. Ко вторнику напишу правильно.

[Марбол]

Ошибка вот в чём. Согласно теории потенциальных течений несжимаемой жидкости, комплексный потенциал циркуляционного обтекания круга (горизонтальным потоком) пишется так:
w(z) = u+iv = (z+1/z)/2-iG/2п lnz.
То есть линии тока плоскости z переходят в горизонтали v = const, а эквипотенциальные линии плоскости z - в вертикали u = const. А я хотел, наоборот, отобразить декартову координатную сетку плоскости w на плоскость z. Для этого надо обратить функцию w(z), чтобы получить z(w). А это в явном виде не решается, потом что в уравнение (которое в этом письме) входят переменная z и её логарифм. Так что в явном виде не получится.