Математика, идеальное, материальное

[Валентин Н]

Вырезано отсюда: Задача о платоновых костях — Квас.

Ага-ага, теорему о четырёх красках тоже вот примерно так доказали, только не всем нравится.

это какую?

[Ömer]

Ага-ага, теорему о четырёх красках тоже вот примерно так доказали, только не всем нравится.

это какую?

(wiki/ru) Проблема_четырёх_красок

Гарднера в детстве не читали? )
http://lib.ru/INOFANT/GARDNER_M/

"Краски" подняли такую бучу потому, что это первая значимая задача, решенная компьютером, которая требует ответа "да/нет". Задачи же, решение которых - число, давно уже окомпьютеризированы. (Никто же не бунтует против расчётов, вычисляющих форму крыла самолёта или стоимость фьючерса, хотя последние стоят жизней и миллионов долларов).

[RawonaM]

С компьютером решается в лоб.

Ага-ага, теорему о четырёх красках тоже вот примерно так доказали, только не всем нравится.

Уже вроде как смирились.

"Краски" подняли такую бучу потому, что это первая значимая задача, решенная компьютером, которая требует ответа "да/нет". Задачи же, решение которых - число, давно уже окомпьютеризированы. (Никто же не бунтует против расчётов, вычисляющих форму крыла самолёта или стоимость фьючерса, хотя последние стоят жизней и миллионов долларов).

Это рассчеты, а то доказательство. Разные совершенно вещи, принципиально.

[Ömer]

Это рассчеты, а то доказательство. Разные совершенно вещи, принципиально.

Хорошо, пусть даны два утверждения: "любое четное число, меньшее 10^10, можно представить как сумму двух простых", и "любое четное число можно представить как сумму двух простых". Первое, очевидно, доказывается "расчётами"; в чём разница? В общем виде: пусть дано верное утверждение на языке первого порядка; как определить, оно доказываемо "расчётами" или дедукцией?

[RawonaM]

Это рассчеты, а то доказательство. Разные совершенно вещи, принципиально.

Хорошо, пусть даны два утверждения: "любое четное число, меньшее 10^10, можно представить как сумму двух простых", и "любое четное число можно представить как сумму двух простых". Первое, очевидно, доказывается "расчётами"; в чём разница?

Рассчетами можно доказать только для конечного количества чисел. Невозможно доказать, что для всех это будет работать.

[Ömer]

Рассчетами можно доказать только для конечного количества чисел. Невозможно доказать, что для всех это будет работать.

Теорема о четырёх красках показывает, что возможно.

[RawonaM]

Рассчетами можно доказать только для конечного количества чисел. Невозможно доказать, что для всех это будет работать.

Теорема о четырёх красках показывает, что возможно.

Как именно? Там было показано, что есть всего лишь конечное количество вариантов, и их просчитали компьютером. Если есть бесконечное количество («любое четное число»), то сами понимаете.

[Ömer]

Как именно? Там было показано, что есть всего лишь конечное количество вариантов, и их просчитали компьютером. Если есть бесконечное количество («любое четное число»), то сами понимаете.

Если утверждение верно, то оно доказуемо конечным количеством дедукций, т.е. доказательство вычисляемо на компьютере.

[RawonaM]

Если утверждение верно, то оно доказуемо конечным количеством дедукций, т.е. доказательство вычисляемо на компьютере.

Гёдель с вами не согласится.

[Квас]

Собственно говоря, утверждение, полученное с помощью компьютера, не может считаться математически доказанным.

Аналогию можно провести такую: число π можно приблизительно найти, обматывая стакан ниткой, а можно вычислять периметры правильных многоугольников. Первый способ по сути физический, потому что существенно опирается на физические свойства нитки и стакана. Математическое решение не должно задействовать ничего, кроме человеческого разума.

Используя компьютер, мы тоже на самом деле существенно обращаемся к физике (особенно к теории электричества), потому что правильность ответа должна гарантироваться правильной работой компьютера.

[Квас]

Конечно, компьютер важен и в самой математике, и в приложениях.

Никто же не бунтует против расчётов, вычисляющих форму крыла самолёта или стоимость фьючерса, хотя последние стоят жизней и миллионов долларов

При расчёте крыла самолёта математик может написать какие-нибудь интегралы или разностные схемы и доказать сходимость своего сеточного метода. На этом математика заканчивается. Фактические вычисления в математику уже не входят (если их не производят «в столбик»).

Для самой математики ценность компьютера заключается в том, что он предоставляет экспериментальный материал и даёт наводящие соображения. Де факто мы не сомневаемся в вычислительных способностях компьютеров, а решать задачу легче, когда уже знаешь ответ.

[Ömer]

Если утверждение верно, то оно доказуемо конечным количеством дедукций, т.е. доказательство вычисляемо на компьютере.

Гёдель с вами не согласится.

Наоборот, Гёдель меня поддержит:
(wiki/en) Gödel's_completeness_theorem

Сварог, здесь можно вкратце прочесть о полиномиальном распределении:

Спасибо!

С универа столько лет прошло, я уже забыл и дискретку, и тервер... Моя специальность была в бакалавратуре - численные методы, а в магистратуре - дифференциальная геометрия и топология

[RawonaM]

Если утверждение верно, то оно доказуемо конечным количеством дедукций, т.е. доказательство вычисляемо на компьютере.

Гёдель с вами не согласится.

Наоборот, Гёдель меня поддержит:
(wiki/en) Gödel's_completeness_theorem

Наоборот от наоборота:
(wiki/en) Gödel's_incompleteness_theorems

[Тайльнемер]

Математическое решение не должно задействовать ничего, кроме человеческого разума.
Используя компьютер, мы тоже на самом деле существенно обращаемся к физике (особенно к теории электричества), потому что правильность ответа должна гарантироваться правильной работой компьютера.

Странное утверждение.
Так можно сказать, что, используя человеческий мозг, мы тоже на самом деле существенно обращаемся к физике/биологии, потому что правильность ответа должна гарантироваться правильной работой мозга.

[Квас]

Математическое решение не должно задействовать ничего, кроме человеческого разума.
Используя компьютер, мы тоже на самом деле существенно обращаемся к физике (особенно к теории электричества), потому что правильность ответа должна гарантироваться правильной работой компьютера.

Странное утверждение.
Так можно сказать, что, используя человеческий мозг, мы тоже на самом деле существенно обращаемся к физике/биологии, потому что правильность ответа должна гарантироваться правильной работой мозга.

Ничего странного, это абстракция. Речь скорее об идеальных платоновских математиках.

[Марбол]

Здравствуйте!

По-видимому, расчёт на бумажке или с помощью компьютера даёт одно дело - ответ, а математиков интересует ещё и другое дело - решение. Но так же, как бывает нерационально отказываться от компьютерного расчёта в пользу ручного, так бывает нерационально и пренебрегать современными программами, автоматически проводящими математические преобразования. Очевидно, они делают это на основе формализованного человеческого знания, так что, если у Вас нет задачи провести выкладки самолично, то можете использовать компьютер и для этой цели.

Недавно один мой собеседник утверждал, что ручной счёт ценнее и вернее компьютерного - потому, что "в него вложена душа"; говорилось, что, когда не было компьютеров, целые расчётные отделы неделями и месяцами выкладывались по полной, чтобы дать инженерам и учёным небольшой численный результат, поэтому он надёжнее, лучше... Но не точнее, конечно же.

[Квас]

По-видимому, расчёт на бумажке или с помощью компьютера даёт одно дело - ответ, а математиков интересует ещё и другое дело - решение.

Решение может быть и расчётом. Мне думается, если разумным образом ввести меру на множестве математических задач, то почти все из них (то есть за исключением множества меры 0) решаются счётом.

Недавно один мой собеседник утверждал, что ручной счёт ценнее и вернее компьютерного - потому, что "в него вложена душа"; говорилось, что, когда не было компьютеров, целые расчётные отделы неделями и месяцами выкладывались по полной, чтобы дать инженерам и учёным небольшой численный результат, поэтому он надёжнее, лучше... Но не точнее, конечно же.

Например, мне придёт в голову посчитать до 10 знака после запятой. Я могу сделать это «уголком», и это будет математика. В 1000 раз быстрее я посчитаю это на калькуляторе, но это не математика. Дело не столько в том, что я не смогу постичь все глубины используемой для этого software, а в том, что в основании лежит hardware, основанная на физических законах. Вычисление на калькуляторе по сути является физическим экспериментом.

Конечно, если число интересует меня для практических нужд, нет принципиальной разницы, получено ли оно только из идеальных математических соображений или к ним примешались материальные взаимодействия в приборе, который я считаю надёжным. На практике без компьютера никуда. Резкому уменьшению себестоимости практических расчётов можно только радоваться.

[Bhudh]

Недавно один мой собеседник утверждал, что ручной счёт ценнее и вернее компьютерного - потому, что "в него вложена душа"; говорилось, что, когда не было компьютеров, целые расчётные отделы неделями и месяцами выкладывались по полной, чтобы дать инженерам и учёным небольшой численный результат, поэтому он надёжнее, лучше... Но не точнее, конечно же.

Тёплый ламповый звук².

[Валентин Н]

ручной счёт ценнее и вернее компьютерного - потому, что "в него вложена душа"

тёплый ламповый ручной счёт...

[Валентин Н]

Тёплый ламповый звук².

Опередили!

[Марбол]

Здравствуйте!

Считая в столбик, мы воспроизводим алгоритм, изобретённый давно до нас; используя логарифмическую линейку, мы применяем результаты геометрии, алгебры (отображающие функции) и теории погрешностей, то есть вызываем к жизни алгоритмы, изобретённые до нас. Решая задачу с помощью компьютера, мы вызываем из неопределённого прошлого законсервированный алгоритм, когда-то изложенный вначале на языке математики, а затем выраженный с помощью другой символики. Если ответ неверный, то это - результат чьей-то описки (на бумаге, или шкала неточная, или баги в проге) или же интеллектуальной ошибки (неверное применение знаний: например, без проверки отбросил члены ряда, приняв их за существенно малые). Короче, что в лоб, что по лбу: чем бы мы ни пользовались, всё приходится думать чужой головой, полагаться на чужой интеллект.

[Квас]

Здравствуйте, Марбол!

Решая задачу с помощью компьютера, мы вызываем из неопределённого прошлого законсервированный алгоритм, когда-то изложенный вначале на языке математики, а затем выраженный с помощью другой символики.

Нет! Не в алгоритме дело. Я же выше писал про «железо»: суть в том, что мы выходим из мира идеального и пользуясь закономерностями мира материального, чтобы получить ответ. А математика полностью идеальна.

Вычисления на бумаге не выводят нас из сферы идеального: наши значки суть только метки для памяти и с точки зрения самого процесса вычисления они не нужны.

А своим умом мы пользуемся или чужим — неважно. Немного абстракции, и у нас уже достаточно времени, чтобы доказать все используемые алгоритмы.

[Квас]

А что касается компьютера илидаже бухгалтерских счет, не вижу разницы, чем и как мы ставим пометки, карандашем ли на бумаге, косточками на проволоках или электронами на магнитном слое.

Счёты — это пометки. И текстовый редактор вместо листка бумаги — тоже. Калькулятор не пометки, а использование физических процессов для вычислений. Это такая же физика, как, например, вычисление объёмов тел путём погружения в воду их моделей.

Сегодня случайно увидел статью в википедии о японских счётах. Оказывается, у японцев существует техника вычислений в уме, основанная на мысленном представлении этих счётов. А калькулятор сколько ни представляй, ничего не посчитаешь.

[Bhudh]

= 1457

[Марбол]

Здравствуйте!

Вот именно, это всё пометки, и в том числе компьютер; его отличие в том, что Вы не сами всё делаете, а поручаете часть работ виртуальному помощнику и потому не обязаны знать алгоритмы его решений, если, конечно, доверяете ему. Но для математики, в принципе, не особенно важно, сколько именно личностей участвовали в получении некоторого результата, пока не заходит речь о приоритете.