Задание по логике на стыке непонятно с чем

[RawonaM]

Даны следующие утверждения:
1) Число не делится на следующее за ним число.
2) Множитель числа не может быть множителем следующего за ним числа.
3) Любое число либо простое либо делится на простое
4) Если дано число х, то можно найти число, которое делится на все числа меньше х.
---
5) Для любого числа х можно найти простое число, которое не меньше этого числа х.
6) Любое число меньше какого-нибудь простого числа.
7) Любое число либо простое либо меньше какого-нибудь простого числа.

Изначальное задание такое: записать это в логике предикатов и сказать, какие из утверждений 5-7 логически следуют из четырех первых утверждений.

У меня ощущение, что не следуют, но подобрать модель для опровержения затрудняюсь. Прошу помощи найти модель.

Очевидно, что область модели должна быть бесконечной, содержать конечное количество простых чисел ну и отвечать другим требованиям 1-4, но при этом быть неверной для какого-нибудь утверждения из 5-7.

Если не найдется численная модель, буду искать из других областей.

[RawonaM]

Ёпрст, я спать не могу из-за этого задания.

Упрощаю задачу:

Пусть будет х.

Если х — простой, финито.
Иначе:
1) х не делится на следующее за ним число (т.е. х не множитель следующего за ним числа)
2) следующее за х число не делится на числа, на которые делится х (т.е. у икс и у следующего за ним числа нет общих множителей)
3) х делится на какое-то простое число.
4) есть такое число, которое делится на все числа меньше x.

Можно ли отсюда вывести, что есть простое число больше х?

Это интересно, поломайте голову вместе со мной

[Alone Coder]

Из 4 следует наличие числа y такого, что оно делится на все числа меньше x.
Из 2 следует, что y+1 не делится на числа меньше x.
Из 3, однако, следует, что y+1 делится на какое-то простое число b.
Выходит, есть простое число b, которое не меньше x.

[RawonaM]

Alone Coder, похоже вы правы! 
Благодарю! 

Теперь как бы мне в натуральной дедукции построить доказательство...

[Alone Coder]

То есть 5 доказуемо.
Отсюда также следует 7.

Доказать 6 можно от x+1, далее все рассуждения аналогично.

[RawonaM]

Блин тут черт голову сломит опять, ведь для 6 я нашел модель, в которой 6 не следует из 1-4...

Может тогда и 5 и 7 не следуют логически, а только в этой модели верны...