Уравнения энной степени

[Karakurt]

Почему уравнения 5-й и выше степеней не поддаются решению?
Зачем вообще людям понадобилось решать такие уравнения?
Что легче Декарт-Эйлер или Феррари для 4-й степени? 

[Alone Coder]

Уравнения 5-й степени - это фигня по сравнению с тем, что решает футболист, отбивая летящий мяч в ворота.

[Karakurt]

отбивая летящий мяч в ворота.

вы хотели сказать: отбивая летящий в ворота мяч?

[Alone Coder]

Нет.

[Квас]

Почему уравнения 5-й и выше степеней не поддаются решению?

Ответы на этот и многие другие вопросы даёт теория Галуа. В стандартный университетский курс она не входит, и у меня руки до неё не дошли, так что подробностей не могу сообщить.

«Не поддаются решению» — это в целом неверно. Абель доказал, что нет общей формулы, выражающей корни в радикалах, а Галуа доказал существование уравнений, корни которых вообще не выражаются в радикалах. Но на радикалах свет клином не сошёлся. Приближённые методы дают корни сразу в виде десятичных дробей. (А радикалы всё равно пришлось бы на калькуляторе считать в виде тех же десятичных дробой). Если считать нет необходимости, то можно ограничиться отделением корней: например, сказав, что на отрезке [a,b] лежит единственный корень многочлена f(x), мы вполне корректно определяем это число, которое при необходимости может быть вычислено сколь угодно точно. Можно ставить и решать и другие теоретические вопросы: например, как узнать число корней многочлена, лежащих на данном промежутке.

Зачем вообще людям понадобилось решать такие уравнения?

Лучше скажем так: находить вещественные и комплексные корни многочленов. Корни многочлена несут значительную информацию о самом многочлене, и если в какой-то теории появляются многочлены, то скорее всего появятся и корни. Что первое приходит в голову: в алгебре это разложение на множители и, таким образом, выход на теорию делимости многочленов; разложение рациональных дробей на элементарные дроби и вытекающие отсюда их аналитические свойства, в том числе интегрируемость; в линейной алгебре — собственные значения; теория линейных дифференциальных уравнений, в основе которой те же собственные значения; устойчивость в дифурах; дифференциальные операторы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и с частными производным.

А многочлены имеют тенденцию появляться много где. Это связано с универсальностью (термин) алгебры многочленов. На пальцах эту универсальность можно пояснить так: алгебра многочленов от одной или нескольких переменных — это наименьшая алгебра, содержащая данное поле (для определённости) и набор объектов x, y,..., никак не связанных с этим полем. Универсальность позволяет подставлять вместо букв самые разные объекты и рассматривать, например, многочлены от операторов, действующих на линейном пространстве. В связи с этим обращу внимание: с алгебраической точки зрения многочлены — это не функции, а входящие в них буквы не плейсхолдеры, а такие же полноправные алгебраические объекты, как коэффициенты из основного поля.

Что легче Декарт-Эйлер или Феррари для 4-й степени? 

Легче с помощью единственной команды найти корни численно в математическом пакете. Уже формула Кардано фактически не имеет практического значения.

[Квас]

Кстати, имеет смысл исследовать корни многочленов не только над  полями вещественных и комплексных чисел. Другие алгебры дают свои результаты: например, вопрос о рациональных корнях многочлена над ℚ решается легко.

[Karakurt]

Спасибо за подробный ответ.

[Антиромантик]

Замечу, что в этом плане числа, что не подлежат определению при помощи алгебраических операций, фактически смыкаются с трансцендентными.