О производных

[Квас]

Производная - это вообще "стиль жизни".

Тут не помешает немного истории.

Революцию произвёл Ньютон (и Лейбниц, конечно). До Ньютона математика фактически занималась статическими проблемами.  Классический пример доньютоновской механики - закон рычага Архимеда, который даёт точное соотношение сил, но ничего не говорит то, как оно может реализоваться во времени.

Ньютон первый в качестве предмета математического исследования рассмотрел процесс. Например, при движении тела его интересует не только начальная и конечная точки, а весь закон движения целиком: где тело находится в каждый момент времени, и как изменяется его положение с ходом времени. Чтобы математически "поймать" понятие изменения, родилось понятие производной.

Дифференциальные уравнения родились одновременно с производной (это фактически двойняшки). Дифференциальное уравнение связывает конкретное состояние системы с "локальным" законом её изменения, то есть с теми тенденциями, которые существуют в этом состоянии. Оказывается, этого бывает достаточно, чтобы описать эволюцию системы "глобально".

Стоит отметить, что от работ Ньютона (XVII век) до Коши, который создал строгое обоснование анализа (начало XIX в.) прошло довольно много времени. В этот период творили гениальные математики, и несуществование теоретической базы (хуже: существование мистической базы) не помешало им решить огромное количество задач. Сейчас анализ изучают в логическом порядке: предел, производная, дифференциальные уравнения, и это занимает довольно много времени. Однако стоит понимать, что сердце классического анализа - двойняшки производная и дифференциальное уравнение. (Однако при осмыслении этих понятий выкристаллизовалась фундаментальная идея "близости", пронизывающая чуть ли не всю математику.)

Таким образом, производные - это некий язык, приспособленный для описания процессов. (Конечно, параметры могут иметь совершенно различную природу: дифференцировать же можно не только по времени, а по чему угодно). Поэтому задачи, поступающие в математику из других областей знания зачастую уже содержат производные в своей формулировке. (Грубо говоря: большая часть законов природы описывается дифференциальными уравнениями.)

Отдельный вопрос - свойства гладких функций. В жизни мы фактически имеем дело исключительно с гладкими функциями  (например, экспериментально показано, что линия, которую человек проводит от руки, имеет пять-шесть непрерывных производных, исключая конечное число точек). Производная позволяет контролировать поведение функции, так как локально функция ведёт себя почти линейно. Например, вспомним понятие непрерывности: значение функции изменится не более, чем на ε, если только аргумент отклоняется от своего значения меньше, чем на достаточно малое δ. Однако это определение в принципе не даёт никакой возможности узнать, насколько мало это δ. Определение неконструктивное. Из-за этого непрерывные функции могут вести себя очень экзотическим, парадоксальным образом (вспомним кривую Пеано, заполняющую квадрат). Гладкие функции гораздо лучше отвечают нашей (геометрической в том числе) интуиции.