Author Topic: Четвертое измерение  (Read 6021 times)

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Offline Солохин

  • Posts: 16666
  • Gender: Male
on: August 29, 2018, 16:48
Попалась роскошная картинка.

Проекция вращающегося четырехмерного куба на трехмерное пространство.

Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Offline Awwal12

  • Super Moderator
  • *
  • Posts: 68279
  • Gender: Male
Reply #1 on: August 29, 2018, 16:57
По факту на двухмерное. :)
Фашиствующий имперец, асексуал и многожёнец, татарофоб, заслуженный функционер РПЦ. Слушает радио "Радонеж" и терпеть не может счастливых людей.

"Да здравствуют ДОЯРКИ!! Потому что доярки - это раса сверхчеловеков. За ними будущее планеты. Они переживут даже атомную войну, потому что доярки вечны, ибо хтоничны. И дадут потомство, которое тоже будет доярами и доярками. Ура, товарищи!.." (c) Awwal12

Offline Солохин

  • Posts: 16666
  • Gender: Male
Reply #2 on: August 29, 2018, 18:18
Да, верно. :)

Но на трёхмерное легко вообразить - мы его много раз видали.
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Reply #3 on: August 30, 2018, 20:59
Ребра куба имеют постоянную длину, а вот проекции этих ребер на 3-мерное пространство изменяют свою длину в зависимости от того, на каком расстоянии от нашего пространства они находятся и под каким углом к нему повернуты.

Кроме того, параллельные друг другу в 4-мерии ребра оказываются сходящимися в одну точку, как и положено в проекции. "Рельсы сходятся". Та точка в пространстве, куда они сходятся, показывает направление этих линий в 4-мерном пространстве.

Используя законы проекции, можно постараться вообразить, как ребра 4-мерного куба приближаются и удаляются к нашему пространству и как они поворачиваются там.
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Offline Hellerick

  • Posts: 29538
  • Gender: Male
Reply #4 on: August 31, 2018, 09:31
Посмотрите 11-ю серию 2-го сезона аниме "Space Dandy". Там главгерой встречался 4-мерной гиперкубихой, и она постоянно мозголомно выкручивалась подобным образом.

Offline Солохин

  • Posts: 16666
  • Gender: Male
Reply #5 on: October 3, 2018, 17:36
Чтобы понять, что такое "четвёртое измерение", лучше всего действовать по аналогии. Вот представьте себе, что мы должны были бы объяснить двумерным (плоским) человечкам, что такое трехмерное пространство. Двумерный человечек легко может понять, что такое квадрат, так как квадрат - плоская фигура из его мира. Тогда мы скажем ему, что наш трехмерный куб - это два одинаковых квадрата, вершины которых попарно соединены между собой, так что получаются ещё четыре квадрата. Конечно, от такого объяснения у наших плоских человечков поначалу крыша поедет. И тогда мы предложим им:

- А хотите увидеть проекцию куба на ваше плоское двумерное пространство? Мы можем нарисовать её, используя законы перспективы. Вот смотрите:

Пояснения к картинке.



Вы видите шесть квадратов, связанных между собой. Да-да! эти именно квадраты. Все их ребра имеют одну и ту же длину, только проекции этих ребер на 2-мерное пространство различны и изменяют свою длину. Когда ребро приближается к нам, его проекция увеличивается. А когда удаляется - уменьшается. Кроме того, параллельные друг другу ребра именно параллельны! Их проекции, в соответствии с законами перспективы, кажутся сходящимися в одну точку. Далекие предметы кажутся маленькими, не так ли? Именно так работают законы перспективной проекции - "рельсы сходятся". Итак, на самом деле они именно параллельны. Глядя на эту плоскую и потому вполне понятную для вас картинку вы, плоские человечки, можете наглядно представить себе, что такое трехмерное пространство. Для этого лишь вообразите себе, что каждый квадрат не делается меньше, а просто удаляется от вас. Вы привыкли к тому, что предмет должен уйти в сторону от вас для того, чтобы удалиться. А здесь он удаляется и приближается, как будто не сходя с места! Удаляется в непонятное для вас третье измерение и приближается обратно. При этом проекция его увеличивается и уменьшается, но на самом деле он сохраняет и размер, и форму. И противоположные ребра квадрата остаются все время параллельными, хотя вам и кажется, будто бы они "сходятся" как рельсы.

Согласитесь, что после такого объяснения плоские человечки вполне могут хотя бы в какой-то мере ощутить, что такое трехмерие и что такое объем, если будут достаточно долго и внимательно глядеть на построенную нами (плоскую!) модель объемного куба.

Вот точно такую же возможность предоставил нам и неведомый мне аниматор, нарисовав трехмерную проекцию вращающегося четырехмерного куба. И чтобы ощутить и четырехмерно пережить то, что мы видим, глядя на эту модель, нам достаточно понять, что все рёбра этого куба имеют один и тот же размер! В проекции они кажутся то больше, то меньше. Но это лишь потому, что они то приближаются к нашему трехмерному миру, то удаляются от него в четвертое измерение. Удаляются и приближаются, не сходя с места! Также и параллельные ребра не перестают быть параллельными, просто в проекции они кажутся сходящимися в одну точку, как рельсы, как то и положено по законам перспективы.

Четырехмерный куб - это два куба, вершины которых попарно соединены между собой так, что между ними возникает ещё шесть связывающих их кубов. По законам перспективы, эти кубы кажутся нам пирамидками, потому что образующие их квадраты находятся на разном расстоянии от нашего 3-х мерного пространства. И когда грань кубика удаляется от нас в четвертое измерение, нам кажется, что она уменьшается.

Вот и всё. Очень просто!

Я рекомендую сначала выбрать какое-то одно ребро и следить за ним, помня, что оно имеет постоянный размер. Тогда можно ощутить, как оно приближается и удаляется от нас. Потом ту же самую медитацию проделать с другим ребром, с третьим. Это первое упражнение.
Затем выбрать какой-то квадрат. И попытаться увидеть, что это именно квадрат, и размер его не меняется. Просто он крутится в пространстве, то удаляясь, то приближаясь к нам. Это второе упражнение. Оно труднее, но вполне исполнимо.
Наконец, надо выбрать кубик и следить за ним, помня о том, что это именно кубик! Это уже на грани возможного для нашего ума, и здесь Вы в какой-то момент можете одним глазком заглянуть в четвертое измерение.
Ну, а увидеть и осознать всю картину в целом, наверное, для трехмерного человека и невозможно...


Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Offline Bhudh

  • Posts: 59150
  • Gender: Male
  • aka 蝎
    • Сайты по языкознанию
Reply #6 on: October 3, 2018, 17:58
Мне больше вот эти две картинки нравятся:
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Offline Hellerick

  • Posts: 29538
  • Gender: Male
Reply #7 on: October 3, 2018, 18:02
Я гиперкубы в школе рисовал.
Сам до них дошел -- просто рассуждая о закономерностях числа вхождений в кубы большей мерности кубов меньшей мерности.

Offline Солохин

  • Posts: 16666
  • Gender: Male
Reply #8 on: October 3, 2018, 18:29
Мне больше вот эти две картинки нравятся:

Я осознал ошибку, которую делают авторы ВСЕХ этих гифок.
Они не понимают, что маленькое ребро всегда дальше большого, и при их наложении друг на друга маленькое должно заслонять собой большое!

Вот бы найти кого-то, кто нарисует без этой ошибки. Она реально сбивает с толку, мешает понять происходящее!
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Offline Upliner

  • Posts: 4117
  • Gender: Male
  • Blanklanugbesto
    • Лингвополитика
Reply #9 on: October 3, 2018, 18:55
Они не понимают, что маленькое ребро всегда дальше большого, и при их наложении друг на друга маленькое должно заслонять собой большое!
Не понял, почему это дальнее должно заслонять ближнее?
Мы, видите ли, винтили вентили аж квинтиллион раз!
LiPo agent

Offline Солохин

  • Posts: 16666
  • Gender: Male
ОЙ!

Оговорка, конечно.

Ближнее(=большое) должно заслонять дальнее (=маленькое). Сложилась ошибочная традиция рисования гиперкуба, в которой маленький кубик помещают внутрь большого ("кубик в кубе"). А он не внутри - он ЗА большим. ПОЗАДИ.
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Offline Ömer

  • Posts: 3077
Есть категория математиков ("алгебраисты"), которые не пользуются геометрической интуицией. Они не пытаются представить картинку в голове. Им проще отобразить исследуемый объект на алгебраическую структуру -- например, группу симметрий -- и проводить исследования уже на ней.
(wiki/en) Hyperoctahedral_group
ya herro, ya merro

Offline yurifromspb

  • Posts: 1912
Мне больше вот эти две картинки нравятся:

Я осознал ошибку, которую делают авторы ВСЕХ этих гифок.
Они не понимают, что маленькое ребро всегда дальше большого, и при их наложении друг на друга большое должно заслонять собой маленькое!

Вот бы найти кого-то, кто нарисует без этой ошибки. Она реально сбивает с толку, мешает понять происходящее!
Не понятно. Вот тут, например, маленькое ребро AB дальше, разумеется, от точки наблюдателя, чем большое ребро EF, но EF не заслоняет AB, напротив,  AB снаружи фигуры-проекции куба, а EF внутри.

К тому же, рисует алгоритм, если там что-то не так нарисовано, в ошибке следует обвинить линейную алгебру, матрицу проекции, а не конкретного программиста.
Дяденька, я ведь не настоящий лингвист, а этимологический словарь я в интернете нашёл.

Свобода у каждого своя, как и очевидность, посмотри, не тьма ли твой свет.

Bāb-lišānī lapit-ma, lū awīlāta! // from "Lamentations of Urišapibim".

Offline Upliner

  • Posts: 4117
  • Gender: Male
  • Blanklanugbesto
    • Лингвополитика
К тому же, рисует алгоритм, если там что-то не так нарисовано, в ошибке следует обвинить линейную алгебру, матрицу проекции, а не конкретного программиста.
Ему не матрица не нравится, а Z-буфер. Типа учитывает только координату Z, игнорируя четвёртую координату.
Мы, видите ли, винтили вентили аж квинтиллион раз!
LiPo agent

Offline yurifromspb

  • Posts: 1912
ОЙ!

Оговорка, конечно.

Ближнее(=большое) должно заслонять дальнее (=маленькое). Сложилась ошибочная традиция рисования гиперкуба, в которой маленький кубик помещают внутрь большого ("кубик в кубе"). А он не внутри - он ЗА большим. ПОЗАДИ.
Извините, возможно я неправильно вас понял. Геометрически, проекция одной из ячеек именно что внутри проекции противоположной ячейки (при соответствующих параметрах отображения). С другой стороны, прообразы этих проекций, т.е. сами ячейки, можно сказать, одна позади другой (если взять направление от "точки наблюдения" до центра гиперкуба). Мне кажется, вы это вполне понимаете, ведь вы сами показали это на примере проекции трехмерного куба на плоскость, но тогда не понятно, в чём проблема, что проекции невидимых ячеек показываются? На мой взгляд, это показывание закрытых ячеек не мешает, а помогает.  :donno:
Дяденька, я ведь не настоящий лингвист, а этимологический словарь я в интернете нашёл.

Свобода у каждого своя, как и очевидность, посмотри, не тьма ли твой свет.

Bāb-lišānī lapit-ma, lū awīlāta! // from "Lamentations of Urišapibim".

К тому же, рисует алгоритм, если там что-то не так нарисовано, в ошибке следует обвинить линейную алгебру, матрицу проекции, а не конкретного программиста.
Ему не матрица не нравится, а Z-буфер. Типа учитывает только координату Z, игнорируя четвёртую координату.
Ну так на то он всё-таки и Z-, а не, например, W-буфер.  :)
Дяденька, я ведь не настоящий лингвист, а этимологический словарь я в интернете нашёл.

Свобода у каждого своя, как и очевидность, посмотри, не тьма ли твой свет.

Bāb-lišānī lapit-ma, lū awīlāta! // from "Lamentations of Urišapibim".

Offline ivanovgoga

  • Posts: 24025
  • Gender: Male
ерунда это все.
На двумерной поверхности можно спокойно, не напрягаясь,  изобразить проекцию трехмерной системы координат. Кто изобразит четырехмерную систему, хотя бы на плоскостях обычного куба (на трехмерной поверхности). 
Мозг состоит на 80 процентов из жидкости, и мало того, что она тормозная, так многим еще ее конкретно не долили...

Offline Солохин

  • Posts: 16666
  • Gender: Male
не понятно, в чём проблема, что проекции невидимых ячеек показываются? На мой взгляд, это показывание закрытых ячеек не мешает, а помогает.
Показывать надо всё! Но вот вопрос: когда у нас на плоском рисунке одно ребро пересекается с другим, какое из них должно заслоняться, а какое - заслонять?

Мне представляется логичным, что ближнее ребро должно заслонять дальнее - причем даже в том случае, когда в трехмерной проекции дальнее оказывается ближе ближнего.
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

На двумерной поверхности можно спокойно, не напрягаясь,  изобразить проекцию трехмерной системы координат. Кто изобразит четырехмерную систему, хотя бы на плоскостях обычного куба (на трехмерной поверхности).
Мысленно нарисуйте три оси. А теперь добавьте к ним четвертую. На самом деле она идет за пределы нашего пространства, но её проекция на трехмерие располагается внутри этого трехмерия.
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Вот тут, например, маленькое ребро AB дальше, разумеется, от точки наблюдателя, чем большое ребро EF, но EF не заслоняет AB, напротив,  AB снаружи фигуры-проекции куба, а EF внутри.
Всё так. Но речь идет про BC и EF - какое из этих двух должно заслонять другое?
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

рисует алгоритм, если там что-то не так нарисовано, в ошибке следует обвинить линейную алгебру, матрицу проекции, а не конкретного программиста
Вот это мне, кстати, действительно непонятно. Как в этом алгоритме задается кто кого заслоняет? Из каких соображений это определяется?

Линейная алгебра дает нам все ребра, ничего там не заслоняется. Ведь для лучей проекции все объекты одинаково "прозрачны". Так что из линейной алгебры то, о чем я говорю, вроде как не выводится.
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Offline yurifromspb

  • Posts: 1912
Вот тут, например, маленькое ребро AB дальше, разумеется, от точки наблюдателя, чем большое ребро EF, но EF не заслоняет AB, напротив,  AB снаружи фигуры-проекции куба, а EF внутри.
Всё так. Но речь идет про BC и EF - какое из этих двух должно заслонять другое?
С точки зрения плоского наблюдателя ничто ничего не заслоняет, просто эти два ребра, находящиеся внутри фигуры, пересекаются. Трехмерный наблюдатель, смотря на чертёж, припоминает, как выглядит куб, и опознаёт чертёж как куб, находящийся прямо перед ним. На этом основании он мысленно опознаёт ребро EF, как находящееся спереди AB. Наверное, можно вообразить четырёхмерного наблюдателя, смотрящего на проекцию четырёхмерного куба, смотрящего со стороны на содержащее проекцию трёхмерное пространство, который так же мысленно распознавал бы одну ячейку, как заслоняющую другую относительно известного направления в четырёхмерном пространстве, но  у обитателя трехмерного пространства, смотрящего на проекцию нет очевидного основания говорить, что одна ячейка заслоняет другую относительно направления, не лежащего в его пространстве.
Дяденька, я ведь не настоящий лингвист, а этимологический словарь я в интернете нашёл.

Свобода у каждого своя, как и очевидность, посмотри, не тьма ли твой свет.

Bāb-lišānī lapit-ma, lū awīlāta! // from "Lamentations of Urišapibim".

Offline Upliner

  • Posts: 4117
  • Gender: Male
  • Blanklanugbesto
    • Лингвополитика
рисует алгоритм, если там что-то не так нарисовано, в ошибке следует обвинить линейную алгебру, матрицу проекции, а не конкретного программиста
Вот это мне, кстати, действительно непонятно. Как в этом алгоритме задается кто кого заслоняет? Из каких соображений это определяется?
А что тут непонятного? Сначала делается проекция на трёхмерное пространство, а потом рисуется по обычным правилам трёхмерной графики. Кто кого заслоняет -- определяется Z-буфером, который зависит только от Z-координаты в получившийся трёхмерной проекции.

Z-буфер -- это попросту чёрно-белая картинка, в которой чёрный цвет означает "далеко", а белый -- означает "близко". И когда рисуется новый объект происходит поточечное сравнение цвета нового объекта с уже существующими. Если новая точка "ярче" -- тогда рисуется новая точка, если "тусклее" -- оставляется старая.

Кстати, тут мы видим ещё одну ошибку проекции: толщина всех рёбер а трёхмерной проекции одинакова, в то время как на приведённой вами двухмерной проекции куба дальние рёбра явственно тоньше ближних. Толщина рёбер в итоговой двухмерной картинке опять же будет зависеть только от z-координаты.
Мы, видите ли, винтили вентили аж квинтиллион раз!
LiPo agent

Offline Солохин

  • Posts: 16666
  • Gender: Male
у обитателя трехмерного пространства, смотрящего на проекцию нет очевидного основания говорить, что одна ячейка заслоняет другую относительно направления, не лежащего в его пространстве
Если перед нами стоит задача расширить сознание, вместив в него четырехмерное пространство (ну а почему бы и нет?!), то основания у нас имеются.

Да, в нашем пространстве нет четвертого направления. Но ведь в нем есть проекция линий стереометрической проекции, при помощи которых выстраивается наше изображение.

Эти линии выходят из некоторой точки четырехмерия, которая находится "позади" нашего пространства и идут к точкам нашего гиперкуба, находящегося "впереди" нашего пространства. По дороге они пересекают наше пространство, задавая точки-изображения для каждой точки гиперкуба.
И тут возможна коллизия. Допустим, в четырехмерии есть некая точка А, которая изображается у нас при помощи точки А'. И есть есть некая точка В, которая изображается у нас при помощи точки В'. И вот она, коллизия. Перемещаясь по трехмерию, наблюдатель может встать так, что точка А' может оказаться ближе к нам, чем B', хотя в четвертом измерении В находится ближе к нам, чем А. Ну, как муха, ползающая по плоскому рисунку, может в какой-то момент оказаться ближе к линии горизонта, чем к изображению букета.
Вопрос: что в такой ситуации должно заслонять что? Букет горизонт? или горизонт - букет? По логике двумерной мухи, горизонт ближе, и потому он должен заслонить букет. Но муха неправа, потому что на самом деле горизонт дальше!

речь идет про BC и EF - какое из этих двух должно заслонять другое?
С точки зрения плоского наблюдателя ничто ничего не заслоняет, просто эти два ребра, находящиеся внутри фигуры, пересекаются.
Плоский наблюдатель не может понять, как ребра могут пересекаться, не терпя при этом разрыва! И ему для наглядности нужно рисовать этот разрыв, сопровождая этот рисунок популярным разъяснением, что у нас в трехмерии оба ребра остаются целыми, а "разорванное" просто находится дальше в третьем направлении, которое он не может вообразить.
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

Мне кажется, гиперкуб должен изображаться вот так (к примеру).



Я неправ?
Sinjoro Jesuo Kristo purigu min.


Вне форума.

 

With Quick-Reply you can write a post when viewing a topic without loading a new page. You can still use bulletin board code and smileys as you would in a normal post.

Note: this post will not display until it's been approved by a moderator.
Name: Email:
Verification:
√49 Напишите ответ строчными буквами:
«Сто одёжек, все без застёжек» — что это?: