Я думаю, что разумно заключить, что топикстартер задал совершенно нормальный вопрос. Он не лингвист, и что такое глагол, усвоил в школе. А там красной чертой проходит идея того, что глагол должен отвечать на вопрос "что делать?". Топикстартер обратил внимание, что с глаголом " быть" этот вопрос соотносится как-то плоховато. Вот и спросил об этом. Вполне логично. При этом он не понял, что уловил не частный случай, а общий, и вопрос "что делать?" ко многим глаголом не задать. "Я люблю кефир", " Я буду завтра на почте" - в обоих случаев этот вопрос не сильно уместен, а использовать его можно только по аналогии с другими глаголами. Соответственно, наверное, надо сказать, что к глагол может отвечать на вопросы "что делать?", "что ощущать?", " где пребывать?", "в каком состоянии пребывать?". Или? Как думаете?
А много ли вы назовете глаголов, по отношению к которым хотя бы в части контекстов вопрос " что делать?" по ощущениям ну явно не клеится?
б) грамматическая приемлемость предложений вида "он есть".
Тут надо уточнить, что такое " грамматическая приемлемость". Если имеется в виду то, как говорят носители, то ответ на вопрос "б" очевиден: такие предложения приемлемы только для достаточно краткого ряда случаев. Типа:
"Нет, его нету и быть не может!" - "Он есть!".