Араб. قلعة «крепость»
Кала да вероятнее из арабского гьала.
Но насколько мне известно, монголы в дербенте не задержались. Может быть связано с Тамерланом, но тогда источники явно упоминают про "Дербент". Я не знаю, когда само слово "Нарын-кала" появилось. Это бы многое объяснило. Но вот в источниках обычно на этот счет говорят "Дарбанд - Узел дорог".
А нарын-кала получается:
С монгольского - Узкий Замок
С возможно староперсидского - Мужественный замок
От правителя грузии - Замок Нарин.
Кстати, по МОНГОЛЬСКИ "камень" это "чулуу", а крепость "цайз". Слова похожи на дагестанские.
"чулуу" похоже на античное название Дербента.
А у табасаран, даргин стена это "цьал". Вариант "чулуу" наиболее близок к даргинскому названию крепости "чулли".
Так что может монголы именовали крепость и слово себе взяли с дербента, так как название это античное. Тогда монголов там не было просто.
Но "Узкая крепость" как бы сходится, но не совсем. Крепость идет из табасаранских гор в море на огромное расстояние. Крепость нельзя было обойти - кроме как сзади с гор, у нее стены входили в МОРЕ, и таким образом если корабли вблизи пытались пройти они ломали себе корму. Возможно об этом монголы не узнали, кораблей не было. На глубинах обычно были крупные валуны. И такая схема сохранялась до русских.
Так что на узкость дербент не претендует, хотя монголы кочевники, и для них такой размер может быть узким.