Author Topic: Письмо о гиперкомплексных числах.  (Read 3632 times)

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Offline Марбол

  • Blogger
  • *
  • Posts: 2617
  • Gender: Male
Здравствуйте!

Я рассмотрел возможные коммутативные ассоциативные алгебры над множеством R4. Наверное, это тривиальные выкладки, но если вы укажете на недостатки, буду признателен.


Offline Dana

  • Posts: 16571
  • Gender: Female
Квадраты i и j суть векторы, что ли?
Homo homini cattulus est

Хто не знає про добро, той завжди буде злим,
Хто забув свою мову, той прокинеться німим,
Хто завжди був рабом, той залишиться ніким,
Все почалося з нічого і закінчиться нічим...

Offline Квас

  • Posts: 9529
  • Gender: Male
    • Международный ЛФ
Чего-то не качается. А с Кантором—Солодовниковым как соотносится?
Пишите письма! :)

Offline arseniiv

  • Posts: 14925
    • ::
Квадраты i и j суть векторы, что ли?
Не суть.

Offline Квас

  • Posts: 9529
  • Gender: Male
    • Международный ЛФ
Квадраты i и j суть векторы, что ли?

Наверно, да.

Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение. В теории гиперкомплексных систем стандартный базис четырёхмерной алгебры обычно обозначают 1, i, j, k.
Пишите письма! :)

Offline arseniiv

  • Posts: 14925
    • ::
Сильно не вчитывался. Думаю, вам бы подробнее написать про числа, не имеющие обратных. Ещё предлагаю поискать делители нуля.

Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение
А иногда и сокращение от алгебраической системы. ;-) В общем случае в ней могут быть всякие операции разной местности и даже предикаты.

Наверно, да.
Да нет же, это просто неудачное обозначение вариантов. Т. е. Марбол рассматривает 9 разных алгебр.

Важное замечание: вначале не определяется, что k = ji, но потом это используется. Однако из k = ij это ведь не следует.

Offline Квас

  • Posts: 9529
  • Gender: Male
    • Международный ЛФ
Думаю, вам бы подробнее написать про числа, не имеющие обратных.

Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)

У Кантора—Солодовникова были какие-то теоремы о классификациях, я уж не помню.
Пишите письма! :)

Offline arseniiv

  • Posts: 14925
    • ::
Марбол, а вы сталкивались с геометрической алгеброй (geometric algebra)? Интересная штукенция, я так и не разобрался.

Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)
Скорее, второе, хотя я не очень понимаю, что за нормированные алгебры. Единица-то во всех этих есть: (1; 0; 0; 0).

P. S. А почему письмо, а не трактат?

Offline Квас

  • Posts: 9529
  • Gender: Male
    • Международный ЛФ
Скорее, второе, хотя я не очень понимаю, что за нормированные алгебры. Единица-то во всех этих есть: (1; 0; 0; 0).

Единица — это ae = a = ea. В разных базисах она может иметь разные координаты.

Нормированная — в смысле существования такой нормы, что |uv|=|u||v| (для вещественных, комплексных чисел, кватернионов и октав это обычный модуль).
Пишите письма! :)

Offline arseniiv

  • Posts: 14925
    • ::
В разных базисах она может иметь разные координаты.
Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение
А иногда и сокращение от алгебраической системы. ;-) В общем случае в ней могут быть всякие операции разной местности и даже предикаты.

Offtop
Батюшки, быстрое цитирование сохраняет метаданные цитаты! :o С каких пор?

Offline hurufu

  • Posts: 876
  • Gender: Male
А почему в таком б-го неугодном формате? У меня формулы отображаются некорректно :'(.

Offline arseniiv

  • Posts: 14925
    • ::
Правильно. Марбол, перепишите в [tex]$\TeX$[/tex]. ;D

Offline Марбол

  • Blogger
  • *
  • Posts: 2617
  • Gender: Male
Здравствуйте!

Квадраты i и j суть векторы, что ли?
Если называть векторами (четырехмерного пространства) числа вида, например, q = a + ib + jc + kd, то и число -1 = -1 + 0i + 0j + 0k, по-видимому.

Чего-то не качается. А с Кантором—Солодовниковым как соотносится?
Там коротко; в основном, перебираются выражения для компонент обратного 4-мерного вектора при различных сочетаниях значений квадратов мнимых единиц; умножение при этом определяется как коммутативное и ассоциативное.
О Канторе-Солодовникове я пока не читал.

Важное замечание: вначале не определяется, что k = ji, но потом это используется. Однако из k = ij это ведь не следует.
Нет-нет, я же пишу, что умножение мнимых единиц коммутативно: ij = ji.

Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)
Я не исключал систем с делителями нуля. А у кватернионов же умножение некоммутативное.

Марбол, а вы сталкивались с геометрической алгеброй (geometric algebra)? Интересная штукенция, я так и не разобрался.
Нет, я пока не знаю об этом.

P. S. А почему письмо, а не трактат?
Ну, трактат должен быть и пообъёмнее, и посерьёзнее.


Здравствуйте!

Я забросил эту тему, но теперь буду добавлять в нее новые письма.

 

With Quick-Reply you can write a post when viewing a topic without loading a new page. You can still use bulletin board code and smileys as you would in a normal post.

Note: this post will not display until it's been approved by a moderator.
Name: Email:
Verification:
√49 Напишите ответ строчными буквами:
«Сто одёжек, все без застёжек» — что это?: