Карты

[Hellerick]

Брошу-ка я еще одно семечко своего гения на неблагодарную почву Лингвофорума.

Последние несколько дней был занят тем, что рисовал эту карту:



Обычная карты России скажете вы, и будете неправы. Вы привыкли видеть карты России в конической проекции — а это явно не она, в чем можно убедиться, увидев нормальное изображение северного полюса (на картах в конической проекции полюс обычно не изображают, т.к. тогда пришлось бы показывать неэстетичный вырез, оставшийся после развертки конуса на плоскость).

Эта карта составлена в моей собственной проекции (я ее называю «российская полиномиальная»), которую я старался идеально приспособить именно для карт Российской Федерации.

Для этой цели я покрыл территорию России (на изготовленной специально для этого карте в смещенной равнопромежуточной цилиндрической проекции) сетью более-менее равносторонних треугольников:



(Арктическими островами, практически необитаемыми, я решил пренебречь. Гоняясь за точностью на них, я мог бы упустить точность в более важных регионах)

Задача — добиться максимального соответствия длин треугольников на результирующей карте соответствующим расстояниям на поверхности Земного шара. Я взял именно сеть из треугольников вместо более привычных квадратов потому, что длины их сторон однозначно указывают на имеющиеся искажения форм и расстояний (тогда как квадраты могут искажаться в ромбы без изменения длин их сторон). Таким образом достигается компромисс между соблюдением конформности и равновеликости проекции.

Имеющуюся карту я принялся искажать с помощью полиномов с 16 степенями свободы, стараясь добиться лучшего соответствия карты и земной поверхности. Критерий оптимизации — минимизировать максимальное имеющееся отклонение местного масштаба от номинального. Мне удалось добиться, чтобы ни по одной из контрольных линий (ребер треугольников) отклонение масштаба не превышало 2% — что для такой большой площади чертовски хорошо. Не исключено, что это лучшая из проекций для карт Российской Федерации из когда либо созданных.

Для того, чтобы вы могли убедиться, что карты заточена именно на изображение России, могу показать, как в этой проекции выглядит карта мира:



Россия — в идеальной форме, Америку плющит и выворачивает наизнанку.
Ня... 

Осталось только понять, на кой черт я всё это делал.

[Alexandra A]

Я очень плохо понимаю геометрию кривых поверхностей...

А чем вообще отличается изображение на карте России, от например, изображения на карте Африки или Южной Америки? Я имею в виду, в чём проблема?

Только в том, что нужно изображать параллели и меридианы, и если "разрезать" земной шар, то обязательно по параллелям и меридианам, и при показывании конической проекции вершиной конуса считать именно Северный Полюс? Да, тогда Россию изображать трудно.

Но.

Что такое территория России? Это просто длинная территория на неровной поверхности земного шара. А Земля - это почти шар. Ну можно ведь сделать такое приближение. Но ведь например Африка или Южная Америка - это тоже достаточно длинная поверхность на поверхности земного шара! Просто длинная по параллелям, а не меридианам.

Но если убрать мысленно параллели и меридианы. Вообще не учитывать их. Есть просто очень длинные территории на поверхности земного шара. А шар - он с всех сторон равный (ну почти равный!) Любые две поверхности шара одинаковой длины и ширины не должны отличаться друг от друга по геометрическим характеристикам (я не знаю какие геометрические характеристики на поверхности шара).

А значит, и проблемы в их изображении на плоскости будут одинаковые.

Южную Америку и Африку не тяжело изображать на карте. Так почему же тяжело Россию? Только из-за того что близко к Полюсу...

P.S. Hellerick, я не заметила разницу между Вашей картой и обычной картой России в конической проекции.

[Bhudh]

именно для карт Российской Федерации

У меня ощущение, что Китай отображается не хуже.
Нельзя ли сравнить?

[Oleg Grom]

Осталось только понять, на кой черт я всё это делал.

Надо ввести такие карты на всей территории РФ и дружественных ей режимов. Расплющенная и размазанная по краю глобуса Омерика - вот стержень национально-духовной идеи панроссийского трансцендентного миропорядка в православно-плоскостном отражении этноконцентрированной реальности.

[RawonaM]

У китайцев карты как раз похоже на эти — в центре Китай, а весь мир вокруг. Т.е. они разрез делают не по Тихому океану, а по Атлантическому.

[Alexandra A]

А когда ввели параллели и меридианы?

Как рисовали карты в Античности и Средневековье, в Новом Времени?

Кстати, в России на картах до сих пор изображают Россию красным цветом, а Британию зелёным?

Хотя красный цвет - это цвет Британии, а зелёный - России.

[Oleg Grom]

Я понял зачем эта карта нужна! Это же "наш ответ Украине":

[Маркоман]

Я больше люблю игральные карты.

[Bhudh]

P.S. Hellerick, я не заметила разницу между Вашей картой и обычной картой России в конической проекции.

Сравните. На карту Hellerickʼа наложена (розовым) коническая в том же масштабе (приведён по линии Керчь—Камчатка).

[Alexandra A]

Да почти ничем не отличается.

[Hellerick]

P.S. Hellerick, я не заметила разницу между Вашей картой и обычной картой России в конической проекции.

Не удивительно.
Коническая проекция удивительно хорошо подходит для карт России и ее результат уже близок и идеалу (откровенно говоря, практического смысла в переходе отказе от конической проекции нет, а потому и моя проекция бесполезна). Разница между конической и моей проекцией наиболее велика в полярных областях.
Именно изображение полярных областей является наибольшей проблемой большинства проекций.

А чем вообще отличается изображение на карте России, от например, изображения на карте Африки или Южной Америки? Я имею в виду, в чём проблема?

Обычно при выборе проекции прибегают к одному из геометрических примитивов — его выбор зависит размера государства, широт, в котором оно находится, насколько оно вытянуто и в каком направлении вытянуто. В результате для разных стран оказываются удобными разные геометрические примитивы.

Для большинства стран мира достаточно пользоваться простейшей «прямоугольной» проекцией, тупо нарисовав сетку из вертикальных и горизонтальных меридианов и параллелей. Также для небольших стран в низких широтах отлично подойдет давно зарекомендовавшая себя проекция Меркатора. Для стран в высоких широтах хорошо подходит коническая проекция. Для крупных сконцентрированных стран вроде Китая замечательно подходит азимутальная проекция Ламберта.

Мало кто пытается решить эту задачу в общем виде — всех удовлетворяет некоторая простая схема, хорошо подходящая для данного конкретного случая.

Но если убрать мысленно параллели и меридианы. Вообще не учитывать их. Есть просто очень длинные территории на поверхности земного шара. А шар - он с всех сторон равный (ну почти равный!) Любые две поверхности шара одинаковой длины и ширины не должны отличаться друг от друга по геометрическим характеристикам (я не знаю какие геометрические характеристики на поверхности шара).

Собственно, я так и сделал. Я отказался от следования традиционным примитивам с их вниманием к прямым параллелям/меридианам, особым статусом экватора и полюсов, и ввел собственные, наиболее хорошо подходящие для данного конкретного случая. В результате получилась единая (и весьма трудоемкая) методика, по которой можно построить «идеальную» проекцию для каждой конкретной территории на Земном шаре, и которая бы в общем виде учитывала особенности геометрии этого региона.

Сейчас я думаю о том, как применить ее для самого сложного случая — карты всего мира в целом.

Пока что играюсь с икосаэдрами.

[Alexandra A]

Собственно, я так и сделал. Я отказался от следования традиционным примитивам с
их вниманием к прямым параллелям/меридианам, особым статусом экватора и полюсов,
и ввел собственные, наиболее хорошо подходящие для данного конкретного случая

Я просто плохо понимаю геометрию шара, и не очень поняла принцип разделения карты на треугольники.

Коническая проекция удивительно хорошо подходит для карт России

А я думала наоборот искажает...

А как лучше всего изображать такие страны как Британию, которые вытянуты в длину по меридианам?

[Hellerick]

Да почти ничем не отличается.

Если мне не изменяет память, для карты в обычной конической проекции максимальные отклонения масштабов от номинала составляют 7%, а у меня они меньше 2%. Глазом это заметить почти невозможно. Однако, например, если кто-то захочет выпустить карты России на основе разграфки ее территории на листы «склеивыемые» на единую плоскость (такие любят наши военные), то будет предпочтительнее использовать именно мою проекцию.

Долго-долго мучился, наконец-то что-то получилось.

Я старался применить метод, ранее использованный на карте Российской Федерации, для карты мира.

Как и раньше, для того, чтобы иметь критерий оптимизации, сначала нужно разместить на глобусе сетку из треугольников. Землю я соотнес с икосаэдром (объемной фигурой из 20 треугольников), каждую треугольную грань разделил на 16 меньших треугольников. Потом оставил только те, которые соответствуют суше (ведь нас прежде всего интересует карта мировых континентов).

Вот что получилось:



Потом я начал составлять полиномы, которые бы начали искажать эту красоту для максимального совпадения длин сторон треугольников на карте и в реале. На этот раз в качестве критерия оптимизации был выбран старый добрый метод наименьших квадратов. Поскольку я хочу получить проекцию симметричную относительно экватора и центрального меридиана, в качестве аргументов полиномиальных функций берутся широты и долготы в четных степенях.

Формулы простые до безобразия (но, к сожалению, необратимые):

x = λ × (A₀₀ + A₀₂φ² + A₂₀λ² + A₂₂λ²φ²)
y = φ × (B₀₀ + B₀₂φ² + B₂₀λ² + B₂₂λ²φ²)

Где:

λ и φ — долгота и широта в радианах.

A₀₀ = 0.781770429885451
A₀₂ = − 0.169189119961054
A₂₀ = − 0.00763421918969044
A₂₂ = − 0.00255038859282469

B₀₀ = 0.939401162846835
B₀₂ = − 0.0152485693729505
B₂₀ = 0.0779269975534885
B₂₂ = − 0.0331586488933901

А в результате получаем вот это:



Гм... Форма необычная... Но, по-моему, ничё так, симпатишно получилось. Австралию как-то неприлично сплющило, но все остальные страны выглядят довольно неплохо. Форма карты удивительно хорошо подходит для прямоугольной рамки, которую карта заполняет почти полностью (на опубликованной картинке отношение сторон то же, что и у листа А4). Удачно получилось, что область минимальных искажений пришлась как раз на Европу.

[RawonaM]

Неплохо, действительно неплохо
А что если еще полюсы уменьшить? Т.е. стянуть их внутрь. Может еще лучше получится.

[Alexandra A]

А почему Австралию пришлось обидеть?

Это потому что карта "централизована" на Европу?

P.S. Ну не понимаю я стереометрию - нет представления о пространстве...

[Awwal12]

У китайцев карты как раз похоже на эти — в центре Китай, а весь мир вокруг. Т.е. они разрез делают не по Тихому океану, а по Атлантическому.

Чжунго же... Название обязывает.

[Alexandra A]

А интересно у китайцев были географические карты до влияния европейской культуры?

[Hellerick]

А что если еще полюсы уменьшить? Т.е. стянуть их внутрь. Может еще лучше получится.

Пока я подбирал коэффициенты я много всяких вариантов повидал.

Вот, например, как выглядела карта, пока я старался сохранять масштабы равномерно по всей площади глобуса, а не только на суше:

[Awwal12]

Вообще потрясающе, конечно. 
А попробуйте по вашей методе сделать карту не континентов, а мирового океана, м?..

[Hellerick]

А почему Австралию пришлось обидеть?

Удивительнее всего то, что соответствующий ей район Восточной Азии не выглядит таким же искаженным, хотя картина имкажений там та же. Быть может даже, здесь всё дело в психологии/восприятии. Сама форма Австралии такова, что ее искажение становится сразу заметными. В то время как Новая Зеландия (где имкажения еще сильнее), кажется вполне терпимой.

[Alexandra A]

В то время как Новая Зеландия (где имкажения еще сильнее), кажется вполне
терпимой.

Потому что Новая Зеландия по форме похожа на Италию...

[Hellerick]

Вообще потрясающе, конечно. 

 

А попробуйте по вашей методе сделать карту не континентов, а мирового океана, м?..

Ну... Не знаю... Насколько я понимаю, будет очень похоже, но поскольку, нам привычнее очертания именно континентов (которыми вы предлагаете пренебречь), результат нам будет казаться «неправильным».

А вообще, я сейчас хотел бы взять «заказ» на изгтовление карты. Если кому-нибудь нужна какая-нибудь карта (предпочтительно «вымышленной географии» — а то с настоящей мне пока трудно тягаться) — обращайтесь. Ничего, конечно, не обещаю, но, если заинтересуюсь, могу взяться.