Формулизация нарастающего итога числовой последовательности

[gwiHwotoH]

Здравствуйте! Дана последовательность:

1 - 250,
2 - 350 (600),
3 - 500 (1100),
4 - 700 (1800),
5 - 950 (2750),
6 - 1250 (4000),
7 - 1600 (5600),
8 - 2000 (7600),
9 - 2450 (10050),
10 - 2950 (13000),
...

Формула для нахождения любого члена последовательности: 25*(n*n+n+8). Помогите, пожалуйста, найти формулу для нарастающего итога в скобках: скажем, нужно узнать сумму с первого до любого члена последовательности, в этом случае -- сумму с первого по десятый член.

Подскажите, пожалуйста, существуют ли онлайновые сервисы, где можно узнать формулу введением туда любой числовой последовательности? Как научиться самому находить формулу для любой числовой последовательности?

[Bhudh]

Формула для нахождения любого члена последовательности: 25*(n*n+n+8)

Из этого получаем: 1-й член последовательности = 25*(1²+1+8).
2-й член последовательности = 25*(2²+2+8).
Сумма 1-го и 2-го = 25*[(1+2)²+(1+2)+8].
Сумма 1-го, 2-го и 3-го = 25*[(1+2+3)²+(1+2+3)+8].
И т. д.
В круглых скобках стоит сумма индексов.

[Бенни]

Буд, как это вы заменили сумму квадратов на квадрат суммы?

[Bhudh]

Ой, блин. И правда попутал...
Но принцип-то ясен.

[Бенни]

Вообще формулы суммы первых n натуральных чисел (n*(n+1)/2) и их квадратов (n*(n+1)*(2n+1)/6) известны. Из них по линейности получаем, что сумма первых n членов последовательности из стартового поста равна 25*(n*(n+1)*(2n+1)/6+n*(n+1)/2+8*n).

[gwiHwotoH]

Bhudh, Бенни благодарю вас!

Вообще формулы суммы первых n натуральных чисел (n*(n+1)/2) и их квадратов (n*(n+1)*(2n+1)/6) известны. Из них по линейности получаем, что сумма первых n членов последовательности из стартового поста равна 25*(n*(n+1)*(2n+1)/6+n*(n+1)/2+8*n).

Подскажите, пожалуйста, а возможно ли эту формулу упростить?

[Бенни]

Вынесите n, приведите к общему знаменателю.