Дело всё в том, что современные тюркские языки и языковая ситуация 1000-летней и даже 500-летней давности - это две большие разницы. И слова, которые заимствовались даже тогда приходили в славянские языки разными путями и из разных тюркских групп и диалектов.
Да и некоторые современные тюркские языки сами по себе очень спорные образования. Например, узбекский.
Поэтому однозначного ответа не может быть, но лично я бы рекомендовал всё таки татарский. Хотя это лично моё мнение, с таким же успехом можно учить казахский или тот же узбекский. Смело выбирайте любой, который по душе лично вам.
Действительно хорошее знание любого кипчакского, карлукского или огузского тюркского должно дать очень хорошее представление о тюркских языках в целом и помочь разобраться с этимологией заимствований.