Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Солохин от июня 20, 2016, 14:49
Отправлено: Солохин от июня 20, 2016, 14:49
Предлагаю упражнение для интеллекта. :yes:
Возьмём таблицу с населением стран мира и отсортируем её в необычном порядке. Вначале у нас будут идти все страны, количества населения которых выражается числом, начинающимся с цифры 1, затем все страны, население которых начинается с цифры 2 и так далее.
Возьмём таблицу с населением стран мира и отсортируем её в необычном порядке. Вначале у нас будут идти все страны, количества населения которых выражается числом, начинающимся с цифры 1, затем все страны, население которых начинается с цифры 2 и так далее.
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Солохин от июня 20, 2016, 14:52
Отправлено: Солохин от июня 20, 2016, 14:52
Сразу стало видно, что в этой таблице аж 57 стран, население которых выражается числом, начинающимся на 1.
И всего лишь 6 стран, количество населения которых начинается на 9 !
Вопрос: как это совместить с теорией вероятности?
И всего лишь 6 стран, количество населения которых начинается на 9 !
Вопрос: как это совместить с теорией вероятности?
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: TestamentumTartarum от июня 20, 2016, 15:27
Отправлено: TestamentumTartarum от июня 20, 2016, 15:27
:eat:
А не закон ли это нормального распределения чисел (Ципфра, вроде бы)!?
А не закон ли это нормального распределения чисел (Ципфра, вроде бы)!?
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Bhudh от июня 20, 2016, 17:23
Отправлено: Bhudh от июня 20, 2016, 17:23
В таком списке велик тренд перехода из одной части в другую. Прибавилось 5‒10 тысяч населения — и вот уже его не 897000, а 902000.
А как это контролировать, если в списке наверняка данные не свеженькие только из Левада-центра, а по данным переписи 5, а то и 20 лет назад?
Как считать иммигрантов-эмигрантов и узнавать их число?
А как это контролировать, если в списке наверняка данные не свеженькие только из Левада-центра, а по данным переписи 5, а то и 20 лет назад?
Как считать иммигрантов-эмигрантов и узнавать их число?
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: _Swetlana от июня 20, 2016, 17:25
Отправлено: _Swetlana от июня 20, 2016, 17:25
В Тувалу ровно 10 тысяч человек народилось. Не 10 тыщ и 1, не 9999, а ровнёхонько 10000.
Какова вероятность числа лишь с одной отличной от нуля цифрой?
Какова вероятность числа лишь с одной отличной от нуля цифрой?
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Bhudh от июня 20, 2016, 17:35
Отправлено: Bhudh от июня 20, 2016, 17:35
Цитата: //ru.wikipedia.org/wiki/ТувалуНаселениеОценка, мать её, на 2011!!!
• Оценка (2011)
11 206 чел. (226-е)
Который пять лет как прошёл.
Вопрос: на какой год данные привёл Солохин? :fp:
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Bhudh от июня 20, 2016, 18:06
Отправлено: Bhudh от июня 20, 2016, 18:06
Короче, вот оценочные данные на июль 2015 (9 стран — на 2014, 2 страны — на 2013) по таблице ЦРУ (https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/rankorder/2119rank.html):
Распределение:
Для сравнения — в 2010 году ситуация была такая:
(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Benfords_law_illustrated_by_world's_countries_population.png)
Красные столбцы — реальные данные, чёрные точки — закон Бенфорда.
Распределение:
Первое число | Количество стран |
1 | 74 |
2 | 32 |
3 | 32‒33 |
4 | 16‒17 |
5 | 30‒31 |
6 | 14‒16 |
7 | 14‒15 |
8 | 13 |
9 | 12 |
Для сравнения — в 2010 году ситуация была такая:
(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Benfords_law_illustrated_by_world's_countries_population.png)
Красные столбцы — реальные данные, чёрные точки — закон Бенфорда.
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: лад от июня 20, 2016, 18:50
Отправлено: лад от июня 20, 2016, 18:50
Закон Бенфорда просто выражение того факта, что, с увеличением числа, вероятность его появления обратно пропорционально самому числу.
То есть плотность вероятности определяется как![[tex]p(x)= \frac{1}{x}[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?p(x)= \frac{1}{x} "p(x)= \frac{1}{x}")
.
Тогда для диапазона определения в интервале [1..c] вероятность появления X определяется как
![[tex]P(1 \leqslant a \leqslant X < b \leqslant c) = \frac{\int_{a}^{b}\frac{dx}{x}{}}{\int_{1}^{c}\frac{dx}{x}} = \frac{\ln b - \ln a}{\ln c} = \log_c \frac{b}{a}[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?P(1 \leqslant a \leqslant X < b \leqslant c) = \frac{\int_{a}^{b}\frac{dx}{x}{}}{\int_{1}^{c}\frac{dx}{x}} = \frac{\ln b - \ln a}{\ln c} = \log_c \frac{b}{a} "P(1 \leqslant a \leqslant X < b \leqslant c) = \frac{\int_{a}^{b}\frac{dx}{x}{}}{\int_{1}^{c}\frac{dx}{x}} = \frac{\ln b - \ln a}{\ln c} = \log_c \frac{b}{a}")
,
где с - основание счисления - 1, a - цифра для которой вычисляется вероятность, b = a + 1 - так как набор чисел лежит в диапазоне [a0...0 .. a9...9].
То есть плотность вероятности определяется как
Тогда для диапазона определения в интервале [1..c] вероятность появления X определяется как
где с - основание счисления - 1, a - цифра для которой вычисляется вероятность, b = a + 1 - так как набор чисел лежит в диапазоне [a0...0 .. a9...9].
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: _Swetlana от июня 20, 2016, 19:57
Отправлено: _Swetlana от июня 20, 2016, 19:57
Цитироватьгде с - основание счисления - 1унарный код? :)
Да, любопытный факт, не знала.
В википедии ссылка на доклад Арнольда.
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Солохин от июня 20, 2016, 21:40
Отправлено: Солохин от июня 20, 2016, 21:40
Цитата: лад от июня 20, 2016, 18:50
Закон Бенфорда просто выражение того факта, что, с увеличением числа, вероятность его появления обратно пропорционально самому числу.
Не очень хорошее объяснение. На самом деле распределения могут быть самые разные, но они при этом будут давать все тот же закон Бенфорда.
И я могут объяснить, почему! :)
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Солохин от июня 20, 2016, 21:44
Отправлено: Солохин от июня 20, 2016, 21:44
Цитата: Bhudh от июня 20, 2016, 17:35Это абсолютно неважно.
на какой год данные привёл Солохин?
Можно взять данные за любой год.
Можно взять не население стран, а их площади. Или валовый доход. Или взять длины рек. Или вообще все, что угодно. Можно также брать вперемешку числа из разных списков.
Результат будет один и тот же.
Цифра 1 на первом месте встречается в несколько раз чаще, чем цифра 9!
Такая картина наблюдается в любом справочнике!
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: лад от июня 21, 2016, 14:52
Отправлено: лад от июня 21, 2016, 14:52
Цитата: Солохин от июня 20, 2016, 21:40И что с того? К Нормальному распределению тоже сходится куча распределений, но это никак не отменяет его объяснения.
На самом деле распределения могут быть самые разные, но они при этом будут давать все тот же закон Бенфорда.
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Волод от июня 21, 2016, 15:34
Отправлено: Волод от июня 21, 2016, 15:34
Может так:
1<9
1*<9*
1**<9**
1***<9***
..................
Итого: ≈15/95
1<9
1*<9*
1**<9**
1***<9***
..................
Итого: ≈15/95
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Bhudh от июня 21, 2016, 18:55
Отправлено: Bhudh от июня 21, 2016, 18:55
Цитата: Волод от июня 21, 2016, 15:34Может так:Почему не так:
1<9
1*<9*
1**<9**
1***<9***
..................
1*>9
1**>9*
1***>9**
1****>9***
?
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: _Swetlana от июня 21, 2016, 20:21
Отправлено: _Swetlana от июня 21, 2016, 20:21
Offtop
закон Бекендорфа ;D
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Bhudh от июня 21, 2016, 20:38
Отправлено: Bhudh от июня 21, 2016, 20:38
Offtop
У него ДР послезавтра, кстати.
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Toman от июня 22, 2016, 02:31
Отправлено: Toman от июня 22, 2016, 02:31
Цитата: Солохин от июня 20, 2016, 21:44Если предположить, что разброс величин более-менее ровный в логарифмической шкале и охватывает несколько порядков, то всё интуитивно понятно: шаг от 1,0 до 1,(9), например, в десятичных логарифмах очень близок к 0,3. От 2,0 до 2,(9) - уже менее 0,2. От 4,0 до 4,(9) - очень близко к 0,1. А о 9,0 до 9,(9) - близко к 0,05.
Цифра 1 на первом месте встречается в несколько раз чаще, чем цифра 9!
Такая картина наблюдается в любом справочнике!
Цитата: Солохин от июня 20, 2016, 21:40Однако же если разброс охватывает в основной своей массе менее одного порядка - то тут уже как повезёт, на какие именно цифры он попадёт, в зависимости от выбранных единиц измерения. Допустим, если взять распределение людей по скорости пешей ходьбы в км/ч - цифра 1 окажется где-то в глубокой дыре, т.к. попадёт только на совсем крайние, редко встречающиеся, значения.
На самом деле распределения могут быть самые разные, но они при этом будут давать все тот же закон Бенфорда.
Для структур, напоминающих фракталы, вроде какой-нибудь речной сети, с охватом нескольких порядков всё хорошо, равно как и с подобием по масштабам (что подразумевает именно логарифмические соотношения по масштабам связанных друг с другом объектов), и закон должен выполняться весьма точно.
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Волод от июня 22, 2016, 07:32
Отправлено: Волод от июня 22, 2016, 07:32
Цитата: Bhudh от июня 21, 2016, 18:551<9<1*<9*<1**<9**<1***<9***<....Цитата: Волод от июня 21, 2016, 15:34Может так:Почему не так:
1<9
1*<9*
1**<9**
1***<9***
..................
1*>9
1**>9*
1***>9**
1****>9***
?
Когда цепочка достаточно длинная то даже отбрасывание единицы слева на общий результат серьёзно не повлияет ведь ведь 9<19 всего в два с .. раза, а в то время как 1***...<9***... в шесть с ... раз.
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Солохин от июня 22, 2016, 15:00
Отправлено: Солохин от июня 22, 2016, 15:00
Цитата: Toman от июня 22, 2016, 02:31с охватом нескольких порядков всё хорошоДа, так.
И похоже, что закон Бенфорда намекает нам на естественность логарифмической меры.
Я давно думаю об этом (о её естественности)
Вот неслучайно ведь человеческие глаз и ухо воспринимает всё именно логарифмически. Поэтому громкость звука меряют в децибелах, а яркость источников - в звездных величинах. То и другое - логарифмические шкалы, хотя звездные величины были выдуманы в незапамятные времена, когда люди и логарифмов-то ещё не знали.
Кстати, количество денег тоже надо оценивать в логарифмической шкале.
2 000 000 рублей отличаются от 1 000 000 так же, как 2 000 от 1 000, и как 200 от 100.
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: лад от июня 22, 2016, 19:23
Отправлено: лад от июня 22, 2016, 19:23
Цитата: Солохин от июня 22, 2016, 15:00А это было известно еще с середины прошлого века. Это всё еще Шеннон установил. Шенонова информация измеряется в логарифмах от обратной вероятности.
И похоже, что закон Бенфорда намекает нам на естественность логарифмической меры.
Я давно думаю об этом (о её естественности)
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Солохин от июня 23, 2016, 03:40
Отправлено: Солохин от июня 23, 2016, 03:40
Цитата: лад от июня 22, 2016, 19:23А звездные-то величины - с Античности. Вот оно как!
с середины прошлого века
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Hellerick от июня 23, 2016, 08:55
Отправлено: Hellerick от июня 23, 2016, 08:55
Среди множества всех чисел от нуля до бесконечности (при условии равномерного распределения по их логарифмам), доля, начинающихся на на цифру N будет пропорциональна ln((N+1)/N).
Соответственно, имеем:
1 — 30,1%
2 — 17,6%
3 — 12,5%
4 — 9,7%
5 — 7,9%
6 — 6,7%
7 — 5,8%
8 — 5,1%
9 — 4,6%
Соответственно, имеем:
1 — 30,1%
2 — 17,6%
3 — 12,5%
4 — 9,7%
5 — 7,9%
6 — 6,7%
7 — 5,8%
8 — 5,1%
9 — 4,6%
Название: Закон Бенфорда
Отправлено: Солохин от июня 23, 2016, 13:30
Отправлено: Солохин от июня 23, 2016, 13:30
Ну да, это он и есть, закон Бенфорда.