Печать страницы - Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Солохин от января 29, 2016, 20:18

(n⁵ − n) кратно 240 для любого нечетного n.

Случайно обнаружил этот удивительный факт.
Не перестаю изумляться таким вещам.
В математике более чем где бы то ни было ощущается гармония сфер. А в теории чисел — особенно!

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 29, 2016, 21:57

Задумалась, как доказать, что (n-1)n(n+1) делится на 3, но думала недолго ;D и нагуглила
решение без доказательств (http://olimpotvet.ru/%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5-9-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81/)
читер я :'(
ЗЫ. ещё с делимостью на 5 надо доказать.

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: Солохин от января 29, 2016, 22:53

Цитата: _Swetlana от января 29, 2016, 21:57
с делимостью на 5 надо доказать.

Это прямое следствие Малой теоремы ферма (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0)

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 30, 2016, 00:34

можно и без Ферма
(n-1)n(n+1) не кратно 5, только если n=5κ+2 или n=5k+3. В обоих случаях n²+1 кратно 5, что проверяется непосредственно.
5k+2: 25k²+20k+5. Второй случай: 25k²+30k+10.

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: Солохин от января 30, 2016, 04:34

Согласен!

Тогда - обобщение:

ОБОБЩЕНИЕ: Если n нечётное, а s простое число, то (n^s - n) делится без остатка на 24s. ;)

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 30, 2016, 08:23

круто! :)

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: Солохин от января 30, 2016, 13:33

...Кроме одного случая...
s=3 почему-то выпадает из общего ряда.

(n³ - n) делится только на 24 :(

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 30, 2016, 17:44

эмм... а как собираетесь использовать простоту?
(вот этим сервисом буду пользоваться :)
http://www.codecogs.com/eqneditor )

Если $[tex]s[/tex]$ - нечётное, то $[tex]s-1[/tex]$ - чётное,
т.е. имеем для многочлена $[tex]n^{2m}-1[/tex]$ два действ. корня $[tex]\pm 1[/tex]$
и разложение на множители
$[tex]n(n^{2m}-1)=(n-1)n(n+1)\prod_{k=1}^{m-1}(n^{2}-2ncos\frac{\pi k}{m}+1)[/tex]$ .
Надо, чтобы в одном сомножителе косинус обратился в 0 и получим делимость на 5 и на 240 как ~~в 9 классе~~ в предыдущей задаче.
А куда простое $[tex]s[/tex]$ встромить? :what:

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 30, 2016, 18:23

что-то я нетоё про эти косинусы сказала, кто во что обратится
попозже ещё подумаю

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: Солохин от января 30, 2016, 19:59

Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 17:44
А куда простое $[tex]s[/tex]$ встромить?

А это требование Малой теоремы Ферма. Из неё непосредственно вытекает, что для простого s
m^s-m кратно s

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: smith371 от января 30, 2016, 20:42

Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 17:44
эмм... а как собираетесь использовать простоту?
(вот этим сервисом буду пользоваться :)
http://www.codecogs.com/eqneditor )

Если $[tex]s[/tex]$ - нечётное, то $[tex]s-1[/tex]$ - чётное,
т.е. имеем для многочлена $[tex]n^{2m}-1[/tex]$ два действ. корня $[tex]\pm 1[/tex]$
и разложение на множители
$[tex]n(n^{2m}-1)=(n-1)n(n+1)\prod_{k=1}^{m-1}(n^{2}-2ncos\frac{\pi k}{m}+1)[/tex]$ .
Надо, чтобы в одном сомножителе косинус обратился в 0 и получим делимость на 5 и на 240 как ~~в 9 классе~~ в предыдущей задаче.
А куда простое $[tex]s[/tex]$ встромить? :what:

Offtop

какая же ты у нас умная! :-[ := ;up:

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 30, 2016, 20:49

Да, посмотрела её формулировку, наконец ;D
Солохин, похоже у вас всё правильно, а при s=3 действительно не проходит.
С s разобрались, а делимость на 24 можно доказать без фокусов с косинусами:
$[tex]n(n^{2m}-1)=n(n^{m}-1)(n^{m}+1)[/tex]$
Если $[tex]n[/tex]$ не делится на $[tex]3[/tex]$ , то надо рассмотреть остатки $[tex]\pm 1[/tex]$ ... глядишь и получится ;D

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 30, 2016, 20:52

Цитата: smith371 от января 30, 2016, 20:42
Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 17:44
эмм... а как собираетесь использовать простоту?
(вот этим сервисом буду пользоваться :)
http://www.codecogs.com/eqneditor )

Если $[tex]s[/tex]$ - нечётное, то $[tex]s-1[/tex]$ - чётное,
т.е. имеем для многочлена $[tex]n^{2m}-1[/tex]$ два действ. корня $[tex]\pm 1[/tex]$
и разложение на множители
$[tex]n(n^{2m}-1)=(n-1)n(n+1)\prod_{k=1}^{m-1}(n^{2}-2ncos\frac{\pi k}{m}+1)[/tex]$ .
Надо, чтобы в одном сомножителе косинус обратился в 0 и получим делимость на 5 и на 240 как ~~в 9 классе~~ в предыдущей задаче.
А куда простое $[tex]s[/tex]$ встромить? :what:

Offtop
какая же ты у нас умная! :-[ := ;up:

глупость написала, ага :-[
Чем больше громоздких формул, тем легче сделать ~~умное лицо~~ хорошую мину при плохой игре :green:

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 30, 2016, 22:29

Offtop

Малыш Смитти меня с мысли сбил

Таки у нас есть два корня, +1 и -1, поэтому исходный многочлен представляется в виде (n-1)*n*(n+1)*P(s-3), откуда следует делимость на 24. Поскольку s - простое, оно не имеет с 24 общих делителей; делимость на s можно рассматривать независимо.
Всё. Солохину - гип-гип-ура :green:

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: _Swetlana от января 31, 2016, 08:29

P.S. s=3 - единственное простое (отличное от 1), которое является общим делителем с 24. Т.е. на 3 делится и по м. т. Ферма, и потому что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. Поэтому 24, а не 24s.

Название: Если n нечетно, то (n**5 - n) делится на 240 без остатка.
Отправлено: Солохин от января 31, 2016, 16:34

Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 22:29
Таки у нас есть два корня, +1 и -1, поэтому исходный многочлен представляется в виде (n-1)*n*(n+1)*P(s-3), откуда следует делимость на 24. Поскольку s - простое, оно не имеет с 24 общих делителей; делимость на s можно рассматривать независимо.
P.S. s=3 - единственное простое (отличное от 1), которое является общим делителем с 24. Т.е. на 3 делится и по м. т. Ферма, и потому что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. Поэтому 24, а не 24s.

Браво! коротко и ясно!

Цитата: _Swetlana от января 30, 2016, 22:29Солохину - гип-гип-ура

:-[

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от января 31, 2016, 16:51

Обменялись комплиментами ;D

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 1, 2016, 19:50

Новый естественно-научный портал образовался.
Вот задача. Решение будет опубликовано через 3 дня.
Уравнение $[tex]x^{5} + y^{5} + z^{5}=a[/tex]$ не имеет решений в целых числах при $[tex]a=81, 82, 83, 84.[/tex]$

e-science11.ru (http://e-science11.ru/viewtopic.php?f=4&t=15)

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 1, 2016, 20:13

К условию предыдущей задачи: одно или два из чисел x, y, z могут быть отрицательными. Кстати при a=0 (и запрете любой неизвестной равняться 0) это равносильно теореме Ферма.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 1, 2016, 21:07

Цитата: _Swetlana от февраля 1, 2016, 20:13К условию предыдущей задачи: одно или два из чисел x, y, z могут быть отрицательными.

Это очевидно же.
$[tex]2^5+2^5+1^5 = 65[/tex]$ , а
$[tex]2^5+2^5+2^5[/tex]$ уже сразу $[tex]96[/tex]$ .
Без отрицательных никак.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 1, 2016, 21:10

Цитата: Bhudh от февраля 1, 2016, 21:07
Цитата: _Swetlana от февраля 1, 2016, 20:13К условию предыдущей задачи: одно или два из чисел x, y, z могут быть отрицательными.
Это очевидно же.
$[tex]2^5+2^5+1^5 = 65[/tex]$ , а
$[tex]2^5+2^5+2^5[/tex]$ уже сразу $[tex]96[/tex]$ .
Без отрицательных никак.

И с отрицательными не имеет.

ЦитироватьКстати при a=0 (и запрете любой неизвестной равняться 0) это равносильно теореме Ферма.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 1, 2016, 21:19

Цитата: _Swetlana от февраля 1, 2016, 21:10И с отрицательными не имеет.

Я писал не о наличии корней (в условии прямым текстом написано, что их нет), а о хотя бы какой-то приближенности значения к интервалу (80; 85).

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 1, 2016, 21:20

Цитата: Bhudh от февраля 1, 2016, 21:19
Цитата: _Swetlana от февраля 1, 2016, 21:10И с отрицательными не имеет.
Я писал не о наличии корней (в условии прямым текстом написано, что их нет), а о хотя бы какой-то приближенности значения к интервалу (80; 85).

Докажите.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 1, 2016, 21:22

:what:
Ну так 94 уже ближе, чем 96 :donno:.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 1, 2016, 21:27

Бхудх, зайдите в оригинальную тему по ссылке в сабжевом посте. А то взаимонедопонимание возникло :yes:

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 1, 2016, 21:30

Да всё я понял. Я пишу о том, что если отрицательные не брать, эти числа даже близко в область значений не попадают.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 1, 2016, 21:37

Всё равно, сходите по ссылке на новорожденный форум, гостем будете. Считайте, что это женский каприз ;D

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 1, 2016, 21:40

Хотя там нет значения 94, сорри. 65 самое близкое снизу.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 9, 2016, 03:28

$[tex]\color{blue}\frac{a^b+b^a}{b^a}\color{red}+\color{green}\frac{a^b+b^a}{a^b}\color{black}=\color{blue}\frac{a^b+b^a}{b^a}\color{red}\times\color{green}\frac{a^b+b^a}{a^b}[/tex]$

Цитата: Солохин от января 29, 2016, 20:18Случайно обнаружил этот удивительный факт.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: yurifromspb от февраля 9, 2016, 04:46

Кстати, насчёт делимости n^s - n на s.
n^s это ведь число кирпичиков в гиперкубе размерности s разделенном по каждому измерению на n кусков.
Например
3^2
~
***
***
***
Если мы пронумеруем деления числами 0..n, мы получим адрес каждого кирпичика в виде кортежа (k1,...,ks), иначе говоря числа в системе счисления с основанием n из s цифр.
*** 00 01 02
*** 10 11 12
*** 20 21 22
Теперь, если мы разделим гиперкуб на группы кирпичиков, адреса которых получаются друг из друга перестановкой элементов кортежа, мы сможем сказать сколько кирпичиков в каждой группе, если знаем сколько раз каждый отличный от других элемент (цифра) встречается в кортеже (числе). Это разложение на группы изоморфно полиномиальному разложению.
(https://upload.wikimedia.org/math/2/7/7/277a7042985d7a3849ad614c197d14f3.png)
Количество кирпичиков в каждой группе - полиномиальный коэффициент.
Если убрать главную диагональ, на которой все группы состоят и одного элемента, и если поставить условие, что s - простое, то каждая группа будет делиться на s!

Забавно. Я вообще, туповат в математике, но геометрия окрыляет. С одной алгеброй я как тот пепелац, только так летаю, а когда получается построить геометрическую модель, раз, и нужные ассоциации появляются.
А как малая теорема Ферма была доказана в реальности? Это возможно объяснить на пальцах?

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: yurifromspb от февраля 9, 2016, 07:28

Прочитал в Википедии, оказалось, что это и есть исторически первое доказательство - доказательство Лейбница.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 9, 2016, 11:07

$[tex]\frac{a}{b}+\frac{x}{y}=\frac{ax}{by}[/tex]$
Пусть $[tex]a,b,x,y\neq 0[/tex]$ и $[tex]a\neq b, x\neq y.[/tex]$
$[tex]\frac{ay+bx}{by}=\frac{ax}{by}[/tex]$
Отсюда $[tex]{\color{Blue} ay+bx=ax.}[/tex]$
$[tex]ay=x(b-a)[/tex]$
$[tex]\frac{y}{x}=\frac{b-a}{a}[/tex]$
$[tex]\frac{y}{x}=\frac{b}{a}-1(1)[/tex]$
Из соображений симметрии точно так же получаем уравнение
$[tex]\frac{b}{a}=\frac{y}{x}-1(2)[/tex]$
Складываем (1) и (2):
$[tex]\frac{b}{a}+\frac{y}{x}=\frac{b}{a}+\frac{y}{x}-2 [/tex]$

$[tex]{\color{Red} 0=-2}[/tex]$
:(

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Alone Coder от февраля 9, 2016, 12:16

ay=x(a-b)

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: BormoGlott от февраля 9, 2016, 12:20

Цитата: _Swetlana от февраля 9, 2016, 11:07
Отсюда $[tex]{\color{Blue} ay+bx=ax.}[/tex]$
$[tex]ay=x{\color{Red} (b-a)}[/tex]$

$[tex]ay=x(a-b)}[/tex]$

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 9, 2016, 14:19

А что тут ещё придумаешь? На ноль поделишь, так на это первым делом смотрят ;D

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 10, 2016, 09:01

Так. Как же Бхудх, бро, этакую загогулину получил ;D
Мы имеем частный случай уравнения $[tex]x+y=xy.[/tex]$
Если $[tex]x=y[/tex]$ , то очевидно имеем два решения 0 и 2. Теперь если не равны.
$[tex]xy-y-x=0[/tex]$
$[tex]xy-y-x+1-1=0[/tex]$
$[tex]y(x-1)-(x-1)=1[/tex]$
( $[tex]x-1)(y-1)=1[/tex]$
$[tex]\left\{\begin{matrix} x-1=k\\ y-1=\frac{1}{k} \end{matrix}\right.[/tex]$
$[tex]\left\{\begin{matrix} x=k+1\\ y=\frac{k+1}{k} \end{matrix}\right.[/tex]$

$[tex]k=\frac{b^{a}}{a^{b}}[/tex]$ или $[tex]k=\frac{a^{b}}{b^{a}}[/tex]$

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 10, 2016, 09:39

Вот что дядька Вольфрам грит (http://www.wolframalpha.com/input/?i=((a%5Eb%2Bb%5Ea)%2Fb%5Ea)%2B((a%5Eb%2Bb%5Ea)%2Fa%5Eb)%3D((a%5Eb%2Bb%5Ea)%2Fb%5Ea)*((a%5Eb%2Bb%5Ea)%2Fa%5Eb)).

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 10, 2016, 12:29

Цитата: Bhudh от февраля 10, 2016, 09:39
Вот что дядька Вольфрам грит (http://www.wolframalpha.com/input/?i=((a%5Eb%2Bb%5Ea)%2Fb%5Ea)%2B((a%5Eb%2Bb%5Ea)%2Fa%5Eb)%3D((a%5Eb%2Bb%5Ea)%2Fb%5Ea)*((a%5Eb%2Bb%5Ea)%2Fa%5Eb)).

ух ты, символические вычисления онлайн

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 10, 2016, 12:32

Математик впервые видит Вольфрам|Альфу⁈ :o :o :o

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 10, 2016, 12:44

Даже маткад и мэпл не открывала (ярлыки на рабочем столе вижу ;D - муж пользуется, когда работы заочников проверяет). Я жеж конструктивист, для своих нужд всегда программку на паскале нацарапаю.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 10, 2016, 12:46

А ярлыка Mathematica там нет случайно? Автор тот же дядька.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 10, 2016, 13:00

Долго изучала ярлыки ;D Такого нет, а вот для Maple даже два разных ярлыка, на одном написано portal.
Добавлено
пользуюсь новым компом как планшетом, даже ни одного языка программирования нет. Всё на старом ноуте.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 10, 2016, 13:24

Цитата: _Swetlana от февраля 10, 2016, 13:00даже ни одного языка программирования нет

:negozhe: 1 точно есть. Без него и ЛФ бы не работал. Причём язычок не простой, функциональный, можно сказать.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Ömer от февраля 10, 2016, 14:00

Если винда, то куча языков программирования есть.

- VBscript
- C# (компилятор идёт с фреймворком)
- Powershell, если винда не старая

Ну и JScript/javascript, как Bhudh заметил

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Bhudh от февраля 10, 2016, 16:29

Цитата: svarog от февраля 10, 2016, 14:00Powershell, если винда не старая

А если старая, то batch file :eat:.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 10, 2016, 16:41

Offtop

Надо бы новый Дельфи лайт установить, только опасаюсь с трекеров качать. Ещё какая-нибудь дрянь установится.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Ömer от февраля 10, 2016, 17:00

Цитата: Bhudh от февраля 10, 2016, 16:29
Цитата: svarog от февраля 10, 2016, 14:00Powershell, если винда не старая
А если старая, то batch file :eat:.

Точно, мощнейший же язык.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Солохин от февраля 10, 2016, 20:55

Цитата: _Swetlana от февраля 10, 2016, 09:01
сли $[tex]x=y[/tex]$ , то очевидно имеем два решения 0 и 2. Теперь если не равны.
$[tex]xy-y-x=0[/tex]$
$[tex]xy-y-x+1-1=0[/tex]$
$[tex]y(x-1)-(x-1)=1[/tex]$
( $[tex]x-1)(y-1)=1[/tex]$
$[tex]\left\{\begin{matrix} x-1=k\\ y-1=\frac{1}{k} \end{matrix}\right.[/tex]$
$[tex]\left\{\begin{matrix} x=k+1\\ y=\frac{k+1}{k} \end{matrix}\right.[/tex]$

$[tex]k=\frac{b^{a}}{a^{b}}[/tex]$ или $[tex]k=\frac{a^{b}}{b^{a}}[/tex]$

То есть, других целочисленных решений нет?

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Солохин от февраля 10, 2016, 21:08

И ещё один момент.

Вообще-то

Цитата: Bhudh от февраля 9, 2016, 03:28
$[tex]\color{blue}\frac{a+b}{b}\color{red}+\color{black}\frac{a+b}{a}\color{black}=\color{blue}\frac{a+b}{b}\color{red}\times\color{black}\frac{a+b}{a}[/tex]$

Непонятно, зачем степени-то. И без них всё хорошо.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 10, 2016, 22:03

Если для целочисленного $[tex]k\neq 0[/tex]$ $[tex]\frac{k+1}{k}[/tex]$ целочисленное.
k=1, x=y=2. Всё.

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: Солохин от февраля 10, 2016, 23:35

Ага, понял.
Если взять Ваше решение

Цитата: _Swetlana от февраля 10, 2016, 09:01
$[tex]\left\{\begin{matrix} x-1=k\\ y-1=\frac{1}{k} \end{matrix}\right.[/tex]$

Если k - рациональное число, то k=a/b, a 1/k=b/a
И получается как раз моё решение:

Цитата: Солохин от февраля 10, 2016, 21:08
$[tex]\color{blue}\frac{a+b}{b}\color{red}+\color{black}\frac{a+b}{a}\color{black}=\color{blue}\frac{a+b}{b}\color{red}\times\color{black}\frac{a+b}{a}[/tex]$

Название: Если n нечетно, то n⁵−n делится на 240 без остатка
Отправлено: _Swetlana от февраля 11, 2016, 09:59

Кстати, если вместо степеней взять логарифмы, то знаменатель в правой части исчезает, т.к. $[tex]log_{a}b*log_{b}a=1. [/tex]$

Лингвофорум

Общий раздел => Наука и техника => Математика => Тема начата: Солохин от января 29, 2016, 20:18