Цитата: Солохин от октября 24, 2014, 19:03
Если сладите, скажите, сколько времени у Вас на это ушло.
15 секунд. ответ 2. я его просто вспомнил, поскольку школьником будучи, решал эту задачу и картину эту видел, конечно.
Ну и разумеется, таблицу квадратов до 50*50 я пока помню.
Цитата: Qakin от октября 24, 2014, 19:14
Цитата: Солохин от октября 24, 2014, 19:03Если сладите, скажите, сколько времени у Вас на это ушло.
15 секунд. ответ 2. я его просто вспомнил, поскольку школьником будучи, решал эту задачу и картину эту видел, конечно.
Ну и разумеется, таблицу квадратов до 50*50 я пока помню.
Гм... а эта задача решается без таблицы квадратов, вообще-то.
Вы пошли неудачным путем.
Цитата: Солохин от октября 24, 2014, 19:16
Гм... а эта задача решается без таблицы квадратов, вообще-то.
Вы пошли неудачным путем.
Как ее можно решать без таблицы квадратов, если в задаче надо найти сперва сумму пяти квадратов. 10²+11²+12²=365. Это я и вспомнил. Складывать в уме 100, 121 и 144 я поленился. Так же я вспомнил, что 169+196 =365. То есть все квадраты я, конечно, знал наизусть, а вот складывать их я поленился и просто вспомнил.
Как иначе можно решать эту задачу?
Трое математиков и трое физиков собираются ехать на поезде в другой город на конференцию. Они встречаются перед кассой на вокзале. Первой подходит очередь физиков и они, как все нормальные люди покупают по билету на человека. Математики же покупают один билет на всех. «Как же так?» — удивляются физики — «Ведь в поезде контроллер, вас же без билетов оттуда выгонят!». «Не волнуйтесь» — отвечают математики — «У нас есть МЕТОД».
Перед отправкой поезда физики рассаживаются по вагонам, но стараются проследить за применением загадочного «метода». Математики же все набиваются в один туалет. Когда контроллер подходит к туалету и стучит, дверь приотворяется, оттуда высовывается рука с билетом. Контроллер забирает билет и дальше все они без проблем едут в пункт назначения.
После конференции те же вновь встречаются на вокзале. Физики, воодушевившись примером математиков, покупают один билет. Математики не берут ни одного. — А что же вы покажете контроллеру? — У нас есть МЕТОД.
В поезде физики набиваются в один туалет, математики — в другой. Незадолго до отправления, один из математиков подходит к туалету, где прячутся физики. Стучит. Высовывается рука с билетом. Математик забирает билет и возвращается
к коллегам.
МОРАЛЬ: Нельзя использовать математические методы не понимая их до конца!
(Анекдот от Равонама)
Лучший момент в жизни математика — это когда он уже вывел доказательство, но ещё не нашел ошибки в расчетах.
Цитата: Qakin от октября 24, 2014, 19:55Как ее можно решать без таблицы квадратов, если в задаче надо найти сперва сумму пяти квадратов. 10*10+11*11+12*12=365. Это я и вспомнил. Складывать в уме 100, 121 и 144 я поленился. Так же я вспомнил, что 169+196 =365. То есть все квадраты я, конечно, знал наизусть, а вот складывать их я поленился и просто вспомнил.
Как иначе можно решать эту задачу?
Каждый из квадратов раскладывается по формуле полного квадрата (например 12=10+2, значит 12²=10²+2⋅10⋅2+2²), затем сотни, двадцатки и простые квадраты первых чисел складываются по отдельности.
Это задача по алгебре, а не по арифметике.
Цитата: Солохин от октября 25, 2014, 07:03
Каждый из квадратов раскладывается по формуле полного квадрата (например 12=10+2, значит 12²=10²+2⋅10⋅2+2²), затем сотни, двадцатки и простые квадраты первых числе складваются по отдельности.
Зачем же мне делать все эти разложения, если я знаю наизусть квадраты чисел до 50? Мне проще сложить эти квадраты. Конечно, если б в задаче фигурировали числа не из второго десятка, а из 27го, то я бы ее решал иначе. (И вероятно, уже не осилил бы ее в уме)
А квадраты я учил как раз для устных вычислений по формулам алгебры. Например, чтобы в уме умножить 39 на 43 достаточно найти среднее арифметическое этих чисел, это делается просто. Далее по формуле (41−2)⋅(41+2)= 41²-2². То есть вся задача сводится к вычитанию двух табличных величин.
Цитата: Qakin от октября 24, 2014, 21:28
МОРАЛЬ: Нельзя использовать математические методы не понимая их до конца!
(Анекдот от Равонама)
Вы бы еще анекдот про бл*дскую комбинаторику вспомнили!
Цитата: Лаокоон от октября 25, 2014, 11:14
Вы бы еще анекдот про бл*дскую комбинаторику вспомнили!
расскажите!
Цитата: Ильич от октября 25, 2014, 11:27
Нормальный человек не будет зубрить таблицу квадратов чисел - достаточно таблицы умножения,
Там зубрить-то нечего. А вот то, что вы в уме умножите 43 на 39 обычным столбиком (да как угодно еще!) - сомнительно.
Цитата: Ильич от октября 25, 2014, 11:27
Я и без этой вашей реплики понял, что для вас есть только крайности.
Проблема в том, что элита намеренно делает из общества дураков и трусов. Так что без революции финал ясен - общество дураков и трусов и скорая его кончина.
Цитата: Qakin от октября 25, 2014, 11:18расскажите!
Ссыль (http://murmolka.com/post/20631/Leproy-naveyanyih-fizicheskih-anekdotov-psto-Ekzamen-po-fizike-#c-3558831).
Цитата: Qakin от октября 25, 2014, 11:36А вот то, что вы в уме умножите 43 на 39 обычным столбиком (да как угодно еще!) - сомнительно.
...
Проблема в том, что элита намеренно делает из общества дураков и трусов. Так что без революции финал ясен - общество дураков и трусов и скорая его кончина.
Легко умножу и без всяких столбиков в уме.
43*4 = 172 -> 1720 - 43 = 1680-3=1677
Вряд ли больше 20 секунд потребовалось.
А насчет общества я спокоен. Оно развивается не по правилам, которые вы здесь излагаете.
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 13:03
Ну и прадлагаю решить несложную задачку. Доказать формулу при помощей которой можно посчитать сумму квадратов n первых натуральных чисел.
Нужно взять её для n=N+1 и для n=N, вычесть одно из другого и убедиться, что получается (N+1)²
Цитата: Qakin от октября 25, 2014, 13:19
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 13:03
Это было в царской России, СССР, современной России, европейских странах, США и других странах
Так в том все и дело, что коммунисты считают необходимым создание Нового Общества из Новых Людей!
Старых куда денете?
Цитата: Солохин от октября 25, 2014, 13:25
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 13:03
Ну и прадлагаю решить несложную задачку. Доказать формулу при помощей которой можно посчитать сумму квадратов n первых натуральных чисел.
Нужно взять её для n=N+1 и для n=N, вычесть одно из другого и убедиться, что получается (N+1)²
Надёжный способ доказательства с применением математической индукции. Я не сомневался, что вы сможете доказать.
Доказать всегда легче, чем вывести.
Меня поражают люди, которые способны такие формулы выводить.
Умище-то какой.
... хотя постфактум, когда доказательство уже есть, это не кажется таким уж трудным...
Ой, как интересно! Я придумал общий способ, как выводить формулы такого типа (складывать суммы однородных арифметических выражений от 0 до n).
Кайф!
Благодарю Вас за наводку. Ужасно люблю такие идеи, получаю огромное удовольствие.
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 14:13
Я наверно смогу как минимум два других доказательства найти для этой формулы если посидеть. Алгебраических решений для вашей задачки имеется великое множество.
Мне кажется, Вы здесь ошибаетесь. По-моему, ровно одно (ну, с точностью до тождественных преобразований).
Попробуйте предъявить второе. Я удивлюсь, если получится.
Цитата: Солохин от октября 25, 2014, 15:03
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 14:13
Я наверно смогу как минимум два других доказательства найти для этой формулы если посидеть. Алгебраических решений для вашей задачки имеется великое множество.
Мне кажется, Вы здесь ошибаетесь. По-моему, ровно одно (ну, с точностью до тождественных преобразований).
Попробуйте предъявить второе. Я удивлюсь, если получится.
Одно с использованием математической индкукцией. Другое с применением формулы треугольного n-го числа (доказательтво формулы простое). Смотрите ниже. И еще одно с спользованием формулы треугольного n-го числа и формула суммы телескопического ряда.
(http://oi61.tinypic.com/f2j9zm.jpg)
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 15:41
Цитата: Солохин от октября 25, 2014, 15:03
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 14:13
Я наверно смогу как минимум два других доказательства найти для этой формулы если посидеть. Алгебраических решений для вашей задачки имеется великое множество.
Мне кажется, Вы здесь ошибаетесь. По-моему, ровно одно (ну, с точностью до тождественных преобразований).
Попробуйте предъявить второе. Я удивлюсь, если получится.
Одно с использованием математической индкукцией. Другое с применением формулы треугольного n-го числа (доказательтво формулы простое). Смотрите ниже. И еще одно с спользованием формулы треугольного n-го числа и формула суммы телескопического ряда.
Я немного удивлялся, что здесь слова алгебра и арифметика употребляют так, как эти слова понимают семиклассники. Теперь стало понятны причины.
Солохин, вы же физфак закончили, должны же понимать, что аккуратная запись того решения, что вы предложили, содержит слова "по аксиоме математической индукции ...".
Можно спрятать эти слова, заменив их многоточием, а ещё красивей заменить их сигмой со знаками над и под нею. Но от такого камуфляжа математическая индукция из доказательства не исчезает.
Точнее не исчезает для того, кто понимает смысл этих формул.
И, к слову. Аксиома математической индукции относится к арифметике. Как я вижу, здешние "алгебраисты" не знают об этом.
Цитата: Ильич от октября 25, 2014, 17:40
Я немного удивлялся, что здесь слова алгебра и арифметика употребляют так, как эти слова понимают семиклассники. Теперь стало понятны причины.
Солохин, вы же физфак закончили, должны же понимать, что аккуратная запись того решения, что вы предложили, содержит слова "по аксиоме математической индукции ...".
Можно спрятать эти слова, заменив их многоточием, а ещё красивей заменить их сигмой со знаками над и под нею. Но от такого камуфляжа математическая индукция из доказательства не исчезает.
Точнее не исчезает для того, кто понимает смысл этих формул.
И, к слову. Аксиома математической индукции относится к арифметике. Как я вижу, здешние "алгебраисты" не знают об этом.
Имелось в виду алгебраическое и арефимитическое способы решения задачки Солохина 10^2+11^2+12^2+13^2+14^2, а не доказательство формулы сумму квадратов
n первых натуральных чисел.
Несложная задачка лингвистам она должна быть под силу.
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:19
Задачка немного сложнее. Лингвистам она должна быть под силу.
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
0,5 - это 50%? Если да, то 3 носка.
Цитата: Qakin от октября 25, 2014, 11:18
Цитата: Лаокоон от октября 25, 2014, 11:14
Вы бы еще анекдот про бл*дскую комбинаторику вспомнили!
расскажите!
Странно, что вы это анекдот не слышали. Несмотря на то что многие тут, как вижу, имеют не самое последнее отношение к математике.
Итак, осторожно, мат. Детей от мониторов отставить.
Приходят к профессору два студента экзамен сдавать. По комбинаторике. В те еще времена. Домой пришли к профессору. Ну, сдавали, сдавали, за картами засиделись, за костями игральными, стемнело. А в то время и студенты, и профессора были бедные, домой их не отправишь, пришлось спать укладывать в профессорской трехкомнатной квартире. В одной комнате — два студента, в другой — профессор с женой, в третьей — профессорская дочь. Все чин по чину, спят.
Просыпается студент, думает, а хрен ли я с этим придурком лежу, пойду-ка профессорскую дочь навещу. Глядь в одну комнату — двеголовы из под одеяла торчат, ну то профессор с женой, глядь в другую — одна голова. Дочка! Юрк к ней под одеяло, спят.
Не спится и профессору. Встает среди ночи, дай, думает, к дочке перелягу, мало ли что от этих балбесов ждать. Шнырь в одну комнату, две головы, — ага, студенты, шнырь в другую — одна, дочка, не иначе. Прыг — спит.
Ну, тута и второй студент проснулся, и, как вы уже догадались, отправился по стопам друга, на поиски профессорской дочки.
Утро. Просыпается профессор. Один. В комнате студентов. Хм... Заглядывает в одну комнату — там студент с дочкой, в другую — студент с женой. Чешет репу:
— Сколько лет преподаю комбинаторику, но таких бл*дских перестановок еще не видел !!!
4 носка
Цитата: Лаокоон от октября 25, 2014, 18:36
Это к чему?
Поднимитесь на 4 сообщения выше
Цитата: VagneR от октября 25, 2014, 18:26
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:19
Задачка немного сложнее. Лингвистам она должна быть под силу.
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
0,5 - это 50%? Если да, то 3 носка.
Согласно аксиомам Колмогорова P(событие) >= 0 и P(Омега) = 1 из чего следует, что все вероятности находятся в пределах от 0 до 1 , то есть 0<=P(E)<=1. То есть p=0.5 в условии. Если хотите, то 50%. И ответ ваш неправильный. Нужно указать количество красных и черных носков.
Цитата: antic от октября 25, 2014, 18:35
4 носка
Сколько красных и черных носков из этих 4?
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:19
Несложная задачка лингвистам она должна быть под силу.
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
Если вы точно записали условие задачи, то такого числа нет. То есть, условие "Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 ." не выполняется при любом количестве носков.
Пора модераторам чистить эту тему.
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:42Согласно аксиомам Колмогорова P(событие) >= 0 и P(Омега) = 1 из чего следует,
тоска смертная.
Цитата: Ильич от октября 25, 2014, 18:43
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:19
Несложная задачка лингвистам она должна быть под силу.
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
Если вы точно записали условие задачи, то такого числа нет. То есть, условие "Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 ." не выполняется при любом количестве носков.
Пора модераторам чистить эту тему.
И условие правильное, и решение имеется.
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:42
Цитата: VagneR от октября 25, 2014, 18:26
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:19
Задачка немного сложнее. Лингвистам она должна быть под силу.
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
0,5 - это 50%? Если да, то 3 носка.
Согласно аксиомам Колмогорова P(событие) >= 0 и P(Омега) = 1 из чего следует, что все вероятности находятся в пределах от 0 до 1 , то есть 0<=P(E)<=1. То есть p=0.5 в условии. Если хотите, то 50%. И ответ ваш неправильный. Нужно указать количество красных и черных носков.
Про черные ничего не было сказано. Я подумала, что 2 красных и 1 синий. Не так?
Ещё как понимать 0,5. Если как с динозавром...
Цитата: VagneR от октября 25, 2014, 18:48
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:42
Цитата: VagneR от октября 25, 2014, 18:26
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:19
Задачка немного сложнее. Лингвистам она должна быть под силу.
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
0,5 - это 50%? Если да, то 3 носка.
Согласно аксиомам Колмогорова P(событие) >= 0 и P(Омега) = 1 из чего следует, что все вероятности находятся в пределах от 0 до 1 , то есть 0<=P(E)<=1. То есть p=0.5 в условии. Если хотите, то 50%. И ответ ваш неправильный. Нужно указать количество красных и черных носков.
Про черные ничего не было сказано. Я подумала, что 2 красных и 1 синий. Не так?
Да! Красные и синие, а не черные. :)
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:43
Сколько красных и черных носков из этих 4?
Ну, разумеется, 3 и 1
А какова вероятность того, что если в ящик изначально положили только красные и синие носки, при извлечении носка он окажется черным или с черными пятнами?
Цитата: Bhudh от октября 25, 2014, 18:49
Ещё как понимать 0,5. Если как с динозавром...
Используйте классическое определение. Вероятность события - отношение благоприятных исходов к общему количеству равновозможных исходов.
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:49
Цитата: VagneR от октября 25, 2014, 18:48
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:42
Цитата: VagneR от октября 25, 2014, 18:26
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:19
Задачка немного сложнее. Лингвистам она должна быть под силу.
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
0,5 - это 50%? Если да, то 3 носка.
Согласно аксиомам Колмогорова P(событие) >= 0 и P(Омега) = 1 из чего следует, что все вероятности находятся в пределах от 0 до 1 , то есть 0<=P(E)<=1. То есть p=0.5 в условии. Если хотите, то 50%. И ответ ваш неправильный. Нужно указать количество красных и черных носков.
Про черные ничего не было сказано. Я подумала, что 2 красных и 1 синий. Не так?
Да! Красные и синие, а не черные. :)
В ответе хотя бы целые числа должны быть?
Цитата: antic от октября 25, 2014, 18:52
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:43
Сколько красных и черных носков из этих 4?
Ну, разумеется, 3 и 1
Правильно. А следующие 4 пары чисел сможете найти ? А общую формулу для нахождения пар? :)
Цитата: VagneR от октября 25, 2014, 18:56
В ответе хотя бы целые числа должны быть?
Рваные носки не принимаются
Цитата: VagneR от октября 25, 2014, 18:56
В ответе хотя бы целые числа должны быть?
Конечно же носки целым считают. :)
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:55Вероятность события - отношение благоприятных исходов к общему количеству равновозможных исходов.
Да случай с динозавром сюда, в общем-то, тоже укладывается...
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:57
А следующие 4 пары чисел сможете найти ? А общую формулу для нахождения пар?
Надо вспоминать комбинаторику, а мне лень
Цитата: antic от октября 25, 2014, 18:59
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:57
А следующие 4 пары чисел сможете найти ? А общую формулу для нахождения пар?
Надо вспоминать комбинаторику, а мне лень
Там квадратное уравнение, а затем в дискриминанте диофантово уравнение. В этом и заключается сложность не очень сложной задачки.
Сдал эту чертову комбинаторику со скрипом. Не помню ни шиша. Поэтому вопрос к тем, кто помнит - у вас еще настолько свежи знания, что сдавали совсем недавно или нередко имеете дело с подсчетами комбинаторики? Или просто память хорошая?
Понял свою ошибку. Вот такие пары посчитал:
Красные Синие
3 1
15 6
85 35
493 204
2871 1189
16731 6930
Цитата: Ильич от октября 25, 2014, 19:45
Понял свою ошибку. Вот такие пары посчитал:
Красные Синие
3 1
15 6
85 35
493 204
2871 1189
16731 6930
Правильно! :)
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 15:41
Цитата: Солохин от октября 25, 2014, 15:03Цитата: procyone от октября 25, 2014, 14:13Алгебраических решений для вашей задачки имеется великое множество.
Мне кажется, Вы здесь ошибаетесь. По-моему, ровно одно (ну, с точностью до тождественных преобразований).
Попробуйте предъявить второе. Я удивлюсь, если получится.
Одно с использованием математической индкукцией.
А, понял.
Речь шла о разных доказательствах, а не о разных решениях.
Понял, спасибо.
Цитата: Ильич от октября 25, 2014, 17:40
аккуратная запись того решения, что вы предложили, содержит слова "по аксиоме математической индукции ...".
Цитата: Qakin от октября 25, 2014, 15:27
Это все сказки, не имеющие никакого отношения к реальной социологии.
Мы с Вами живем в разных реальных мирах, в которых разная реальная социология.
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 18:19
Имеем полный ящик красных и синих носков. Вероятность извлечения двух носков красного цвета равна 0.5 . Какое минимальное количество носков должно быть в ящике, чтобы извлечь два носка красного цвета с вероятностью 0.5?
Поскольку вероятность по условию 0.5, то она в любом случае будет 0.5
НО если носков в ящике маловато (например, лишь один или два и оба красные), то вероятность не может быть 0.5
Потому там должно быть как минимум три носка.
Как при этом вероятность получается 0.5 - это вопрос к составителю задачи. Может быть, красные носки маленькие и их пару сравнительно турдно нащупать, а синий - огромный и сам в руки лезет.
:)
Цитата: Солохин от октября 25, 2014, 20:25
Поскольку вероятность по условию 0.5, то она в любом случае будет 0.5
НО если носков в ящике маловато (например, лишь один или два и оба красные), то вероятность не может быть 0.5
Потому там должно быть как минимум три носка.
Как при этом вероятность получается 0.5 - это вопрос к составителю задачи. Может быть, красные носки маленькие и их пару сравнительно турдно нащупать, а синий - огромный и сам в руки лезет.
:)
Я же писал, что ящик полный красных и синих носков. Можете считать, что носки на ощупь одинаковые. :)
Решение
Вероятность первого красного носка - к / (к + с)
Вероятность второго красного носка- (к-1)/(к+с -1)
Количество носков так чтобы вероятность первых двух красных носков была 0.5
0.5 = к / (к + с) * (к-1)/(к+с -1)
Можно тупо подставлять целые положительные числа в уравнение . Можно программку написать перебирая комбинации чисел. Ну или решить уравнение.
0.5 = к / (к + с) * (к-1)/(к+с -1)
к = (2с + 1 +/- sqrt(8с^2+1))/2 - отрицательный корень уравнения отбрасываем
sqrt(8с^2+1) = d (дискриминант) => d^2-8с = 1 - диофантовое уравнение.(уравнение Пелля ). Решайте. :)
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 21:15Решайте.
Скучно. Нет эвристики.
Я думал, эта Ваша задача - тоже на остроумие.
Цитата: Солохин от октября 25, 2014, 21:49
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 21:15Решайте.
Скучно. Нет эвристики.
Я думал, эта Ваша задача - тоже на остроумие.
Это разминка.
Цитата: Солохин от октября 25, 2014, 21:49
Цитата: procyone от октября 25, 2014, 21:15Решайте.
Скучно. Нет эвристики.
Здесь есть эвристика. Задачка на вступительном экзамене. Доказать неравенство х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 > 0 для всех x > 0 .
Без x^6 это выражение распадается на (x^3 - 1) и (x^9 - 1), а (x^9 - 1) разлагается как разность кубов (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1), потому (x^3 - 1) удваивается:
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 = x^6 + (x^3 - 1)(x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)
Но (x^3 - 1)^2 всегда положительно.
Имеем выражение, состоящее при x>0 из положительных чисел, умножения и сложения. Оно, конечно, всегда положительно.
Кстати, эвристики я не заметил.
Наверное, есть какое-нибудь более изящное решение, без алгебраических преобразований?
Цитата: Солохин от октября 26, 2014, 13:55
Без x^6 это выражение распадается на (x^3 - 1) и (x^9 - 1), а (x^9 - 1) разлагается как разность кубов (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1), потому (x^3 - 1) удваивается:
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 = x^6 + (x^3 - 1)(x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)
Но (x^3 - 1)^2 всегда положительно.
Имеем выражение, состоящее при x>0 из положительных чисел, умножения и сложения. Оно, конечно, всегда положительно.
Решение правильное.
Я решил задачу так.
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 = ((x^6-x^3) +1)^2 + (x^3)*(x^3-1)^2 > 0 . Имеем уравнение в форме a^2+х^3*c^2 > 0 а^2 > 0 и c^2 > 0 для всех действительных чисел a и c. Ну и x^3 >0 для x >0
---
Меня один знакомый уверял, что не смог решить на экзамене эту задачку, а потом вместе с помощником написали доказательство больше чем на страницу. Видимо искали локальный минимум функции. Там нахождение одного из корней действительно не простое.
Цитата: procyone от октября 26, 2014, 15:40один знакомый уверял, что не смог решить на экзамене эту задачку, а потом вместе с помощником написали доказательство больше чем на страницу
Ну, согласен. Раз не все умные люди находят простое решение, значит, эвристика таки есть.
Может быть, дело в том, что я в своей жизни нарешал слишком много задач такого типа и уже "набил руку", так что персонально для меня это уже не эвристика, а простой перебор нескольких стандартных приемов - какой-нибудь из них как правило сработает. А "эвристика" - это всё-таки когда приходится выдумывать принципиально новый приём.
В этой задаче я сразу начал комбинировать члены многочлена так и эдак и примерно с третьей попытки добился нужного вида - чтобы всё было положительно.
В сущности, простой механический перебор. "Решение путем подбора" :)
Но все-таки было приятно вспомнить молодость, спасибо.
Цитата: Солохин от октября 26, 2014, 15:58
Цитата: procyone от октября 26, 2014, 15:40один знакомый уверял, что не смог решить на экзамене эту задачку, а потом вместе с помощником написали доказательство больше чем на страницу
Ну, согласен. Раз не все умные люди находят простое решение, значит, эвристика таки есть.
Может быть, дело в том, что я в своей жизни нарешал слишком много задач такого типа и уже "набил руку", так что персонально для меня это уже не эвристика, а простой перебор нескольких стандартных приемов - какой-нибудь из них как правило сработает. А "эвристика" - это всё-таки когда приходится выдумывать принципиально новый приём.
В этой задаче я сразу начал комбинировать члены многочлена так и эдак и примерно с третьей попытки добился нужного вида - чтобы всё было положительно.
В сущности, простой механический перебор. "Решение путем подбора" :)
Но все-таки было приятно вспомнить молодость, спасибо.
Сложную задачу головоломку из материала знакомого всем со школы не так и просто найти. Можно в задачниках поискать. Я давно головоломки не решаю. :) Я могу сложные задачки предложить, но они будут для форума математиков. Например, элегантное простое доказательство формулы Стирлинга совсем не просто найти.
(wiki/ru) Формула_Стирлинга (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%A1%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0)
Цитата: procyone от октября 26, 2014, 16:16
Например, элегантное простое доказательство формулы Стирлинга совсем не просто найти.
(wiki/ru) Формула_Стирлинга
Ой, я пас. Это уже не мой калибр.
Я всё-таки физик (хотя и теоретик), а не математик.
Фантастика!
Мне вдруг пришло в голову другое решение той же задачи - вообще безумно красивое.
Оказывается,
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 = (x^15 + 1)/(x^3 + 1)
:o
Теперь я удивляюсь, как я этого сразу не заметил.
Ведь х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 - это сумма геометрической прогрессии с коэффициентом -x^3.
Действительно красивое решение. :)
Шикарно. Моего старшего в их физмате (10 класс, чо) тоже такой чепухой травят, моего ума частенько не хватает. С геометрической прогрессией круто решили!
Можно решить с использованием знакопеременного ряда. По сути тоже самое решение, но менее красивое чем с преминением геометрической прогрессии.
(http://oi59.tinypic.com/2wf339f.jpg)
А если усложнить задачку и доказать неравеноство для любого действительного числа х, а не x >0? :)
Цитата: procyone от октября 31, 2014, 18:27А если усложнить задачку и доказать неравеноство для любого действительного числа х, а не x >0? :)
Для решения применяем классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
(http://oi62.tinypic.com/52grpx.jpg)
-------
х^12 + x^6 + 1 >= 3х^6; и
x^9+x^3 >= 2x^6
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 >= x^6
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 >= 0 , потому что для любого действительного x , x^6 > = 0.
х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 > 0, где x > 1 и x < 1
Подставляем x = 1 в неравенство и получаем P(1) = 1 > 0
Значит х^12 - x^9 + x^6 - x^3 + 1 > 0 для любого действительного x