Лингвофорум

Не сошлось у меня с ответом. Хотя задача для младших школьников.
Класс из 21 одного человека делится на три равные группы. Какова вероятность у Пети и Вовы оказаться в одной группе?
Мое решение:
Правильный ответ
Где ошибка?

Мне тоже кажется, что решение верное Ваше, только обустроить можно короче:

А откуда задача с таким указанным ответом? Может, какие-нибудь сборники, где обязательно нужно в десятичных дробях, с нужным сокращением до одного знака и т. п.

Цитата: Вадимий от мая 12, 2013, 18:14
Может, какие-нибудь сборники, где обязательно нужно в десятичных дробях, с нужным сокращением до одного знака и т. п.

Ну уж нет, уверен я.

Цитата: Karakurt от мая 12, 2013, 18:17
Ну уж нет, уверен я.

такое бывает. не в математических, правда, а в физических, то и дело что-нибудь разовьётся и «нуууу мы грубо посчитали, а так близко»

В той группе, куда попал Вова, есть 6 вакантных мест для Пети.
А в группах, куда он не попал, таковых мест 7.

Потому вероятность получается НЕ 1/3, а чуть-чуть поменьше.

А именно: 6/20, то есть, 0.3

Ответ из учебника - правильный.

:o
6/20
Пипец.
Спасибо, Солохин.

Браво!

Когда-то это было моей профессией  :-[

Цитата: piton от мая 12, 2013, 18:06
Посчитал, что решение не зависит от размера класса, типа лишнее условие.

Фигассе. Им можно было бы пренебречь, если бы в классе было несколько тысяч человек. А если в классе шестеро?

Чем больше размер класса, тем ближе к 1/3 ответ задачи (если делят именно на 3 класса одинакового размера).
Чем меньше размер класса - тем дальше ответ от 1/3

Крайний случай: если в классе по одному человеку, то вероятность оказаться в одном классе с твоим другом равна нулю.

Общая формула для вероятности (n-1)/(m-1), где n - размер твоего класса, а m - общее количество всех учеников.

Эх, прокачу!

Предлагаю народу КРУТУЮ задачу по теории вероятностей, решив которую (после многочасового размышления) я ощутил экстаз от парадоксальности ответа.

Правила игры:

Перед тобой три закрытых двери. За одной из этих дверей - приз.
Ты выбираешь наугад одну из дверей. Ведущий (который знает, где приз), открывает ОДНУ ИЗ ДВУХ ОСТАВШИХСЯ дверей (однако не ту, на которую ты укзал!), и ты видишь, что там пусто.
Итак теперь перед тобой две закрытых двери. Одну из них ты уже выбрал. У тебя два варианта поведения. Можно проявить настойчивость и второй раз указать на ту же дверь. А можно изменить стратегию и выбрать оставшуюся.

Вопрос: какова вероятность твоего выйгрыша в том и другом случае?

Цитата: Солохин от мая 12, 2013, 20:18
Предлагаю народу КРУТУЮ задачу по теории вероятностей, решив которую (после многочасового размышления) я ощутил экстаз от парадоксальности ответа.

Подчеркиваю: ведущий открывает ДРУГУЮ дверь. Та, на которую ты указал в первый раз, как раз-таки остается закрытой.

Цитата: piton от мая 12, 2013, 18:06
Какова вероятность у Пети и Вовы оказаться в одной группе?

Цитата: Солохин от мая 12, 2013, 20:10
Общая формула для вероятности (n-1)/(m-1), где n - размер твоего класса, а m - общее количество всех учеников.

Вы не учитываете, что Петь и Вов в классе могло быть много :)

Цитата: Тайльнемер от мая 13, 2013, 08:19Вы не учитываете, что Петь и Вов в классе могло быть много :)

:D
Такое истолкование условий мне и в голову не пришло!

Цитата: Солохин от мая 12, 2013, 20:18
Эх, прокачу!

Предлагаю народу КРУТУЮ задачу по теории вероятностей, решив которую (после многочасового размышления) я ощутил экстаз от парадоксальности ответа.

Правила игры:

Перед тобой три закрытых двери. За одной из этих дверей - приз.
Ты выбираешь наугад одну из дверей. Ведущий (который знает, где приз), открывает ОДНУ ИЗ ДВУХ ОСТАВШИХСЯ дверей (однако не ту, на которую ты укзал!), и ты видишь, что там пусто.
Итак теперь перед тобой две закрытых двери. Одну из них ты уже выбрал. У тебя два варианта поведения. Можно проявить настойчивость и второй раз указать на ту же дверь. А можно изменить стратегию и выбрать оставшуюся.

Вопрос: какова вероятность твоего выйгрыша в том и другом случае?

1/3, если не измеять стратегию, и 2/3, если изменить?

Жму руку!  :UU:

Когда я решал эту задачу, ответ получил почти сразу. Но прошло много часов, прежде чем я поверил своим собственным глазам. Очень долго казалось мне, что тут непременно есть какой-то подвох.
Ну ведь не может одна из равноправных дверей быть вероятнее другой!

И когда я осознал, что таки может и даже должна - это был приятный шок.  :=

Задача, с которой началась эта тема, в этом смысле чуть-чуточку похожа.
0.3 вместо 0.33333... при (кажущейся) равноправности альтернатив.

Потому и вспомнилось.

Уже обсуждали на ЛФ (wiki/en) Monty_Hall_problem (http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem) .
Тогда ее привели в неправильной формулировке, что повлекло за собой дебаты.

Не верю. :)
Во-первых, неясна роль ведущего. Вот я увидел, что игрок выбрал нужную дверь, конечно же предложу "шибко грамотному" изменить решение...

Цитата: Солохин от мая 13, 2013, 15:18
Ну ведь не может одна из равноправных дверей быть вероятнее другой!

Действительно не может.
Вероятность в любом случае 0.5 !!!
Излишнее мудрствование и введение в условие предистории с манипулированием дверями ведущего только затуманивает смысл задачи, которая сводится к выбору одного из двух равновероятных исходов.
Вероятность наступления события не зависит от предыдущих событий. Например, если бросать игральный кубик, то вероятность выпадения шестерки всегда будет 1/6, даже если перед этим она выпадала десять раз подряд.

Цитата: RawonaM от мая 13, 2013, 15:23(wiki/en) Monty_Hall_problem (http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem) .

Ух ты. Оказывается, это знаменитая задача.
Ну, недаром. Она того стоит.

Цитата: piton от мая 13, 2013, 15:29
Не верю. :)
Во-первых, неясна роль ведущего. Вот я увидел, что игрок выбрал нужную дверь, конечно же предложу "шибко грамотному" изменить решение...

Это правильное уточнение. Впрочем, грамотных мало, а шибко грамотных и того меньше. :)

Цитата: Andrew от мая 13, 2013, 15:31
Излишнее мудрствование и введение в условие предистории с манипулированием дверями ведущего только затуманивает смысл задачи, которая сводится к выбору одного из двух равновероятных исходов.

ЦитироватьДля каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Где 1/2 - условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на "1" и "0".

Цитата: Andrew от мая 13, 2013, 15:31Вероятность наступления события не зависит от предыдущих событий. Например, если бросать игральный кубик, то вероятность выпадения шестерки всегда будет 1/6, даже если перед этим она выпадала десять раз подряд.

В первом приближении Вы правы. Но соль в том, что вот именно в данном случае эта простая логика дает сбой.
(wiki/ru) Условная_вероятность (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C)

Щас попробую написать на делфи программу, которая сама с собой играет в эту штуку.

Наш настоятель, когда я ему рассказал эту задачу и привел свое решение, так и не смог поверить, пока не написал программку, которая играла сама с собой.  :yes:

Эту задачу можно решить простым перебором. Всего восемь вариантов развития событий, четыре из которых ведут к выигрышу, а четыре - к проигрышу.

Почему восемь?
Мой первый выбор - три варианта. Выбор ведущего - два варианта.
Итого шесть.
И мой окончательный выбор - еще два варианта.
Итого 12.

ЦитироватьПроведена тысяча игр с изменением выбора двери и тысяча игр без него, всего 2000 игр.
Выигрышей с изменением выбора двери 550 из тысячи.
Выигрышей без изменения выбора двери 330 из тысячи.

ЦитироватьПроведено десять тысяч игр с изменением выбора двери и десять тысяч игр без него, всего 20000 игр.
Выигрышей с изменением выбора двери 5575 из десяти тысяч.
Выигрышей без изменения выбора двери 3296 из десяти тысяч.

ЦитироватьПроведено сто тысяч игр с изменением выбора двери и десять тысяч игр без него, всего 200000 игр.
Выигрышей с изменением выбора двери 55612 из ста тысяч.
Выигрышей без изменения выбора двери 33571 из ста тысяч.

Меня беспокоит, почему так ровно 55%. Рандомайзер где-нибудь слетел? Щас попробую ещё десять раз.

При двухстах тысячах игр за пределы той тысячи не выбирается.

 :o Странно, что выйгрышей с измененнием получаается не 2/3, а меньше, причем систематически меньше.

Цитата: Вадимий от мая 13, 2013, 16:03Меня беспокоит, почему так ровно 55%. Рандомайзер где-нибудь слетел? Щас попробую ещё десять раз.

Я тоже фшоке

А, всё, сообразил. Я неправильно кое-что учёл, щас допишу.

Цитата: Вадимий от мая 13, 2013, 16:02
сто тысяч игр с изменением выбора двери и десять тысяч игр без него,

осталось от прошлой версии, конечно.

Цитировать

ЦитироватьПроведено сто тысяч игр с изменением выбора двери и десять тысяч игр без него, всего 200000 игр.
Выигрышей с изменением выбора двери 49876 из ста тысяч.
Выигрышей без изменения выбора двери 33279 из ста тысяч.

Другое дело! Уже не в пределах одной тысячи

Теперь первое ровно пополам распределяется, пля...
Даже такой простой код что-то не так делает

Так, лучше я не буду имитировать игру и просто распределю, в каком случае случайный выбор совпадает с правильным без изменения, а в каком нет (эрго изменение было нужно).
Хотя тогда будет совсем просто, это будет буквально распределение на одну треть и оставшееся без особых веселий

всё очень просто  :yes:

Но у Вас же строки в таблице не равновероятны.
Вероятность П - 1/3, далее П+О1 и П+О2 равновероятны.
Cоответственно, первая и вторая строки имеют "вес" по 1/6.
А вторая и третья - по 1/3

Вадимий, покажи код.

Цитата: Andrew от мая 13, 2013, 15:31
Действительно не может.
Вероятность в любом случае 0.5 !!!

Пусть всего дверей n, а ведущий открывает n − 2 двери без приза. Для n = 3 это исходная задача.
А теперь рассмотрите для n = 1000. Сразу поймёте в чём тут дело.

Цитата: Тайльнемер от мая 13, 2013, 17:42
Вадимий, покажи код.

Я уже закрыл всё нафиг без сохранения.

Цитата: Тайльнемер от мая 13, 2013, 17:42теперь рассмотрите для n = 1000. Сразу поймёте в чём тут дело.

:+1:
Синхронно мыслим. Я поверил в правильность правильного ответа (1:2) именно после этого хода.

Обозначим группу, в которую попал Петя, номером 1, а две остальные группы - номерами 2 и 3. Тогда в 1-й группе остаются 6 мест, во 2-й и 3-й - по 7, т. е. в сумме 14. Всех возможных случаев - 20, из них благоприятных - 6. В итоге искомая вероятность равна 6/20 = 0,3.

Имеется множество символов, состоящее из цифр от 0 до 9 и строчных букв от a до z.
Из этих символов генерируется случайный пароль длиной 22 символа. Вероятность выбора каждого символа одинакова.
Затем все символы пароля сортируются в порядке возрастания (0..9a..z).

Какова вероятность того, что

• все символы пароля будут разными;
• все символы пароля будут одинаковыми;
• символ X встретится в пароле ровно N раз;
• отсортированный пароль будет начинаться с символа Y;
• пароль и отсортированный пароль окажутся равны друг другу.

Пусть символов N, длина пароля k. Вероятность того, что все символы окажутся одинаковыми:
1. Символ выбираем N способами.
2. Выбор зафиксированного символа происходит с вероятностью 1/N.
3. N/N^k = 1/N^k-1.

ЗЫ. Лучше начать задачу так: "В пятницу вечером мы с друзьями пили пиво, меняли пароли. С какой вероятностью в понедельник утром..."

Цитата: Вадимий от мая 12, 2013, 18:14
А откуда задача с таким указанным ответом? Может, какие-нибудь сборники, где обязательно нужно в десятичных дробях, с нужным сокращением до одного знака и т. п.

Наверняка из ЕГЭ.

Цитата: djambeyshik от июня  5, 2014, 13:22

Цитата: Вадимий от мая 12, 2013, 18:14
А откуда задача с таким указанным ответом? Может, какие-нибудь сборники, где обязательно нужно в десятичных дробях, с нужным сокращением до одного знака и т. п.

Наверняка из ЕГЭ.

Там 0,3 — действительно точный ответ, никаких округлений.

Цитата: Тайльнемер от июня  5, 2014, 13:40

Цитата: djambeyshik от июня  5, 2014, 13:22

Цитата: Вадимий от мая 12, 2013, 18:14
А откуда задача с таким указанным ответом? Может, какие-нибудь сборники, где обязательно нужно в десятичных дробях, с нужным сокращением до одного знака и т. п.

Наверняка из ЕГЭ.

Там 0,3 — действительно точный ответ, никаких округлений.

146% из ЕГЭ :yes:

Цитата: _Swetlana от июня  5, 2014, 11:50N/N^k = 1/N^k-1

2,078009285664E-33 :o

Цитата: dragun97yu от июня  5, 2014, 18:32
146% из ЕГЭ

А почему вы так решили?

Цитата: Тайльнемер от июня  6, 2014, 06:20

Цитата: dragun97yu от июня  5, 2014, 18:32
146% из ЕГЭ

А почему вы так решили?

а) Ну, ответ - десятичная дробь
б) Есть целые сборники задач, как делились классы Петь и Вить на несколько групп. ИЧСХ, я этот сборник позавчера читала.

Цитата: Bhudh от июня  5, 2014, 07:48

______________________ Новая задача ________________________

Spoiler: Код ⇓⇓⇓

Код (JavaScript) Выделить Развернуть

function pass ( ) {
    return Math.random ().toString ( 36 ).slice ( 2 );
}
var randomPass = pass ( ) + pass ( ),
    sortedPass = randomPass.split ( '' ).sort ( ).join ( '' );
console.log ( randomPass + ' : ' + randomPass.length + ' symbols' );
console.log ( sortedPass );

Имеется множество символов, состоящее из цифр от 0 до 9 и строчных букв от a до z.
Из этих символов генерируется случайный пароль длиной 22 символа. Вероятность выбора каждого символа одинакова.
Затем все символы пароля сортируются в порядке возрастания (0..9a..z).

Какова вероятность того, что

• все символы пароля будут разными;
• все символы пароля будут одинаковыми;
• символ X встретится в пароле ровно N раз;
• отсортированный пароль будет начинаться с символа Y;
• пароль и отсортированный пароль окажутся равны друг другу.

1) Всего возможных символов: 10 + 26 = 36
Всего возможных паролей:
Вероятность того, что все символы будут разными:
на первое место мы можем вставить любой из 36 символов, на второе - любой из оставшихся 35, и так далее, в результате получаем благоприятных исходов

Искомая вероятность:

2) Вероятность того, что все символы одинаковы. Благоприятных исходов всего 36. 

;up:
А в надо многозначные числа в скобки тоже оборачивать: .

Цитата: Bhudh от июня  5, 2014, 07:48
пароль и отсортированный пароль окажутся равны друг другу.

Непростая комбинаторная задача, если символы могут повторяться. Не знаю, как её решать.
Если все символы различны, тогда просто.

N -количество символов, k - длина последовательности, k<N.
Количество различных последовательностей без повторений N*(N-1)*...*(N-k+1).
Вероятность появления такой последовательности N*(N-1)*...*(N-k+1)/N^k.
Пусть последовательность уже появилась, т.е. k символов уже выбраны. Из k! различных перестановок этих символов только одна перестановка упорядочена.
Окончательно, p = N*(N-1)*...*(N-k+1)/(N^k*k!) = N!/(k!*(N-k)!*N^k).

Цитата: _Swetlana от июня  6, 2014, 12:11Непростая комбинаторная задача, если символы могут повторяться. Не знаю, как её решать.

Для одного случая решение уже есть: когда все символы равны друг другу.

Цитата: Bhudh от июня  6, 2014, 18:27

Цитата: _Swetlana от июня  6, 2014, 12:11Непростая комбинаторная задача, если символы могут повторяться. Не знаю, как её решать.

Для одного случая решение уже есть: когда все символы равны друг другу.

Тоже легко. Известная задача.

Имеется k пустых ячеек, их можно заполнять N символами с повторениями, N > k.
Если полученную последовательность упорядочить, то она будет состоять из i  "блоков", заполненных одинаковыми символами.
Сколькими способами можно k ячеек разбить на i  блоков,  1 <= i <= k?
Это можно представить так. Мы ставим "перегородки" между ячейками. Мест для перегородок k-1. Для блоков нужна i-1 перегородка.
Расставить эти перегородки можно C_k-1^i-1 способами.
Далее, выбрать i символов из N для заполнения блоков можно C_Nⁱ способами.
Всего C_k-1^i-1*C_Nⁱ для фиксированного i.
Но i может принимать значения 1..k.
Значит всего таких последовательностей блин, надо в техе писать, ладно, поизвращаюсь :
S =  Σ_i=1^kC_k-1^i-1*C_Nⁱ.
Окончательно, вероятность появления такой последовательности S/N^k.