Лингвофорум

В чем суть его геометрии?

Через точку Р, не лежащую на геодезической а, проходит бесконечно много геодезических, не пересекающих геодезической а.

Когда Евклид описывал умозрительные свойства некоторых объектов, он, помимо законов логики, описывал первичные утверждения, или аксиомы, на основе которых потом и построил весь фундамент этой системы.
Его умозрительная модель используется потому, что если предметы реальности умозрительно выделать в плоскости и рассматривать их свойства, то они будут совпадать со свойствами, описанными моделями. Т. е. его геометрия работает на плоскости, проще говоря.

Одна из аксиом, т. е. базовых тезисов, на основе которых и строится вся феерия, — так называемый пятый постулат Евклида — почему-то казалась людям чрезмерно усложнённой, т. е. они думали, это на самом деле теорема, что её можно доказать на основе других аксиом. Она существует во многих эквивалентных формулировках (то есть на основе одной из формулировок можно доказать другие как теоремы и наоборот). Самая популярная и известная звучит так: «Если дана прямая и точка, не лежащая на данной прямой, то через эту точку можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» (при этом параллельные прямые определяются как прямые, которые (уточнение для стереометрии) лежат на одной плоскости и не пересекаются. Если мы рассматриваем планиметрию, то уточнение про одну плоскость можно убрать, а в пространстве есть ещё скрещивающиеся линии — которые вообще не лежат на одной плоскости, они тоже не пересекаются, естественно).

Это была присказка, а сказка вот. Лобачевский, как и сотни предшественников, попытался поставить точку в вопросе о том, является ли пятый постулат доказуемым на основе остальных аксиом и постулатов. Но для этого он решил использовать метод «от противного»: представил ситуацию, в которой пятый постулат заменяется таким утверждением: «Если дана прямая и точка, не лежащая на данной прямой, то через эту точку можно провести не менее двух прямых, параллельных данной» (из чего легко вытекает, что их тогда бесконечное множество — можно провести сколько угодно между этими двумя; в третьей, сферической, геометрии, используется вариант, при котором провести параллельную прямую нельзя вообще).
Он ожидал, по-видимому, что наткнётся на противоречие, и тогда аксиому можно считать доказанной — т. е. уже теоремой.
Но этого не произошло. Описанная им удивительная и странная геометрия хоть и не выполнялась на плоскости (например, подобные треугольники там были равны, теорема Пифагора не выполнялась, и много гораздо более странного, которое я уже забыл — давно читал), но была непротиворечивой! Его обсмеяли и попытались найти противоречия.
Но непротиворечивость его геометрии была доказана тем, что привели модели этой геометрии: если уподобить умозрительным объектом не одни вещи из реальности, а другие (например, по-другому считать расстояния между объектами или называть прямой то, что в Евклидовой геометрии называется хордой окружности — отрезком, соединяющим две точки окружности), то она будет выполняться.
Таким образом, он поставил точку в этом вопросе: пятый постулат на основе остальных евклидовских доказать нельзя, можно только заменить эквивалентной формулирвокой (что мы и делаем: оригинальная формулировка постулата была вообще, по-моему, такая:
«Если две прямые пересекают третью и сумма углов между этими прямыми и третьей с одной из сторон меньше прямого угла, то тогда эти две прямые обязательно пересекаются, причём с той стороны, где эта сумма меньше.»
Но может и по-другому как-ниибудь)

Какмногабукаф Спасибо! :)

Пожалуйста, ура, если понятно и помог! :)

Цитата: Вадимий от апреля 23, 2013, 18:14
Лобачевский, как и сотни предшественников, попытался поставить точку в вопросе о том, является ли пятый постулат доказуемым на основе остальных аксиом и постулатов. Но для этого он решил использовать метод «от противного»

По-моему, этим занимался Джироламо Саккери.

Цитата: Однако дальше, в результате вычислительной ошибки он делает неверный вывод, что эта геометрия содержит в себе противоречие

Иезуит, шо тут скажешь!

Цитата: Hellerick от апреля 23, 2013, 18:29

Цитата: Вадимий от апреля 23, 2013, 18:14
Лобачевский, как и сотни предшественников, попытался поставить точку в вопросе о том, является ли пятый постулат доказуемым на основе остальных аксиом и постулатов. Но для этого он решил использовать метод «от противного»

По-моему, этим занимался Джироламо Саккери.

Про Саккери не слышал, но Лобачевский был не единственный, кто таким образом пытался доказать пятый постулат Евклида. Например, венгр Больяи (Бойяи?).
И насколько я помню, Лобачевский никогда не утверждал, что его построения можно считать геометрией с тем же основанием, что и евклидову геометрию. Модель геометрии Лобачевского в геометрии Евклида появилась позже, если правильно помню.
Такое отсутствие напористости сослужило Лобачевскому хорошую службу. Он спокойно дожил свой век на хорошей должности в Казанском университете. А Больяи сошел с ума.

Надо же, прям как Кантор!

Я сам по образованию математик, и хорошо знаю, что в этой профессии немало людей, которых воспринимают как сумасшедших. Вот, например, Перельман, который от премии отказался.

Цитата: Ильич от апреля 24, 2013, 08:46
например, Перельман, который от премии отказался.

А в чем суть этой гипотезы Пуанкаре

И Лобачевский (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B9_%D0%98%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87) (1792-1856), и Бойяи (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%B9%D1%8F%D0%B8,_%D0%AF%D0%BD%D0%BE%D1%88) (1802-1860), по сравнению с Гауссом (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85) (1777-1855) были дилетантами. До конца жизни они не осознали, как просто все это. А Гаусс осознал сразу, а по всей вероятности и раньше появления работ Лобачевского и Бойяи.

Цитата: BormoGlott от апреля 24, 2013, 11:49

Цитата: Ильич от апреля 24, 2013, 08:46
например, Перельман, который от премии отказался.

А в чем суть этой гипотезы Пуанкаре

Возьмём резиновый лист. Нарисуем на нём кляксу так, чтобы в неё не было пустот. Вырежем кляксу. В ней не должно быть дырок - односвязность. Склеим края кляксы так, чтобы нигде край не торчал, то есть, после склейки краёв не будет. Так мы получили односвязное (без дырок), компактное (замкнутое и ограниченное) многообразие (лист) без краёв. Размерность многообразия равна двум - лист же был плоский. Находится многообразие в трехмерном пространстве.
Теперь будем его надувать без разрывов! (это называется гомеоморфное преоразование). Получится сфера.
Вот то, что получится сфера и есть "гипотеза Пуанкаре для размерности 2".
Настоящая гипотеза Пуанкаре для размерности три и выше.
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
Могут быть несколько другие формулировки. Например, вместо односвязного компактного многообразие без края можно говорить многообразие гомеотопное сфере.

Если понять формулировку я ещё могу, то в доказательстве Перельмана понять не сумею ничего. Это из области алгебраической геометрии, к которой я и в студенческие годы боялся близко подходить.

Цитата: christo_tamarin от апреля 24, 2013, 12:58Гаусс осознал сразу, а по всей вероятности и раньше появления работ Лобачевского и Бойяи.

Это догадки, предположения и не больше. Если бы реально осознал, то не молчал бы.
А вот первый, кто всё это громко сказал, был Гильберт.
Но Лобачевский настолько развил свою геометрию, что его известность первооткрывателя вполне заслуженна.

Гильберт - наш соотечественник. Родился в посёлке Знаменск, недалеко от Калининграда. Учился в тамошнем университете. Смайлик ставить или так догадаетесь?

Цитата: Ильич от апреля 24, 2013, 14:06

Spoiler: Возьмём резиновый лист. ⇓⇓⇓

Нарисуем на нём кляксу так, чтобы в неё не было пустот. Вырежем кляксу. В ней не должно быть дырок - односвязность. Склеим края кляксы так, чтобы нигде край не торчал, то есть, после склейки краёв не будет. Так мы получили односвязное (без дырок), компактное (замкнутое и ограниченное) многообразие (лист) без краёв. Размерность многообразия равна двум - лист же был плоский. Находится многообразие в трехмерном пространстве.
Теперь будем его надувать без разрывов! (это называется гомеоморфное преоразование). Получится сфера.
Вот то, что получится сфера и есть "гипотеза Пуанкаре для размерности 2".
Настоящая гипотеза Пуанкаре для размерности три и выше.
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
Могут быть несколько другие формулировки. Например, вместо односвязного компактного многообразие без края можно говорить многообразие гомеотопное сфере.

Спасибо, понятно, то есть, ничегошеньки не понятно. То есть про преобразование понятно, но как оно связано с другими задачами, где оно применяется, какие следствия и него выводятся. Почему доказательство вроде бы очевидной вещи так важно для математики, что приз за это доказательство был достаточно весом

Цитата: BormoGlott от апреля 24, 2013, 17:23как оно связано с другими задачами, где оно применяется, какие следствия и него выводятся. Почему доказательство вроде бы очевидной вещи так важно для математики, что приз за это доказательство был достаточно весом

Про связи, следствия ничего сказать не могу - не знаю.
А доказательство этой вроде бы очевидной вещи искали очень долго. Нашли его в другой области математики, что для математики очень ценно - показывает её целостность. Думаю, поэтому специалисты и оценили доказательство высоко.

Но вообще современная математика это уже такая далёкая от реальности вещь, что не специалисту вообще не понятно, зачем этим заниматься. И начало этому полному разрыву положил, в частности, Лобачевский, точнее, трактовка его результата Гильбертом. Хотя, кто знает, во что это выльется через 100 лет. Во времена Гильберта и алгебра была такой же простой игрой ума, а сейчас она в основе всех методов обработки информации.

Ещё добавлю. Для проверки таких доказательств, как найденное Перельманом, требуется не один год, Настолько они сложны.

Цитата: Ильич от апреля 24, 2013, 20:26

ありがとう  :yes:
Спасибо!

Цитата: Ильич от апреля 24, 2013, 14:20

Цитата: christo_tamarin от апреля 24, 2013, 12:58Гаусс осознал сразу, а по всей вероятности и раньше появления работ Лобачевского и Бойяи.

Это догадки, предположения и не больше. Если бы реально осознал, то не молчал бы.
А вот первый, кто всё это громко сказал, был Гильберт.
Но Лобачевский настолько развил свою геометрию, что его известность первооткрывателя вполне заслуженна.

Гильберт - наш соотечественник. Родился в посёлке Знаменск, недалеко от Калининграда. Учился в тамошнем университете. Смайлик ставить или так догадаетесь?

Гильберт - следующее поколение. Конечно Гильберт понимал, что математика - это не физика. Гаусс старше Лобачевского и Бойяи. В молодости он тоже занимался проблемой пятого постулата, открыл решение и понял, что такими мелочами  заниматься больше не стоит. Он разработал дифференциальную геометрию, и там например на гиперболоиде материализуется "геометрия Лобачевского". Гаусс это знал.

Кривизна Гаусса (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0).

Да, Лобачевский тоже добился решением проблемы пятого постулата, но потом утонул в мелочи и пропустил важные выводы. Как и Бойяи, впрочем.

Мне вот непонятен такой вопрос: почему теория относительности показала неверность пятого постулата для физического мира? Если лучи света сгибаются при гравитации, значит они не прямые, разве не так?

И еще вот, когда свет проходит через узкую щель, он тоже сгибается, отчего это происходит? Я этим явлением пользуясь когда нет при себе очков и надо что-то в далеке увидеть. Сгибаю мизинец и смотрю через отверстие.

Цитата: RawonaM от апреля 30, 2013, 10:04
надо что-то в далеке увидеть

(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Red_Dalek_by_Sarah_McCulloch.jpg/450px-Red_Dalek_by_Sarah_McCulloch.jpg)

Цитата: RawonaM от апреля 30, 2013, 10:04
Мне вот непонятен такой вопрос: почему теория относительности показала неверность пятого постулата для физического мира?

А она это сделала?

Цитата: RawonaM от апреля 30, 2013, 10:04
Если лучи света сгибаются при гравитации, значит они не прямые, разве не так?

Я вот читал что-то типа того, что там прикол в том, что причиной гравитационных эффектов является искажение самого пространства, то есть это не лучи не прямые, а всё хронотоп виноват типа

Цитата: Вадимий от апреля 23, 2013, 18:14
в третьей, сферической, геометрии, используется вариант, при котором провести параллельную прямую нельзя вообще

Там некоторые другие аксиомы не работают. Если их оставить как у евклидовой аксиоматики, получится противоречивая теория.

Например, аксиома о том, что из трёх точек только одна лежит между двумя другими. На большом круге нельзя определить отношение «лежать между» как на прямой.

Цитата: RawonaM от апреля 30, 2013, 10:04
Я этим явлением пользуясь когда нет при себе очков и надо что-то в далеке увидеть. Сгибаю мизинец и смотрю через отверстие.

Не этим. Вы пользуетесь явлением, которым пользуется камера-обскура и которое описывается хорошо и геометрической оптикой. А дифракция тут не проявляется.

Цитата: RawonaM от апреля 30, 2013, 10:04
когда свет проходит через узкую щель, он тоже сгибается

Да и не сгибается же.

Цитировать

Цитата: RawonaM от апреля 30, 2013, 10:04
Я этим явлением пользуясь когда нет при себе очков и надо что-то в далеке увидеть. Сгибаю мизинец и смотрю через отверстие.

Не этим. Вы пользуетесь явлением, которым пользуется камера-обскура и которое описывается хорошо и геометрической оптикой. А дифракция тут не проявляется.

Вкратце - обычным геометрическим способом прокадываем различные пути для света от точечного источника.
При плохой фокусировке они попадают в разные точки экрана  - изображение размыто.
Отверстие ограничивает набор вариантов прохождения  - изображение чётче.

дифракция тут ёщё толком не проявляется, но уже близка

Когда она будет близка, начнут появляться хроматические аберрации. :)

Цитата: Ильич от апреля 24, 2013, 14:20
Это догадки, предположения и не больше. Если бы реально осознал, то не молчал бы.

Гаусс был весьма талантлив и немец - "Не стану говорить, чтобы не дразнить этих беотийцев!"
Это его заявление. Беотийцы - самые чумные греки, славившиеся плохим характером. Как дундуки.
А Саккери говорят  строил-строил доказательства, противоречий не обнаружил и плюнул.
О судьбе венгра уже говорили.

Цитата: oveka от июня 14, 2013, 17:55

Цитата: Ильич от апреля 24, 2013, 14:20
Это догадки, предположения и не больше. Если бы реально осознал, то не молчал бы.

Гаусс был весьма талантлив и немец - "Не стану говорить, чтобы не дразнить этих беотийцев!"
Это его заявление. Беотийцы - самые чумные греки, славившиеся плохим характером. Как дундуки.
А Саккери говорят  строил-строил доказательства, противоречий не обнаружил и плюнул.
О судьбе венгра уже говорили.

И что это доказывает? Вы же понимаете, что так можно заявить, что космические полёты разработал Пифагор, только не сказал никому. :yes:

Есть такая аксиома:
Через любые две точки проходит прямая, и причём только одна.

В юности я хотел, как Лобачевский, построить новую геометрию, где через две точки можно провести две прямые. Но очень быстро завяз в противоречиях и бросил эту затею.

Но пару дней назад я вдруг вспомнил, что в той же геометрии Лобачевского есть удивительные линии - орициклы. Это, короче, окружности бесконечно большого радиуса, но при этом не прямые. А самое главное - все орициклы равны между собой, и поэтому их можно считать аналогом прямых.

И вот как раз для таких "прямых" выполняется новая "аксиома":
Через любые две точки проходят ровно два орицикла.

Т. е. в каком-то смысле можно считать, что геометрия орициклов - это новая геометрия, где у каждого отрезка есть брат-близнец.


На рисунке через точки A и B проходят два орицикла - выпуклый и вогнутый, а между ними - прямая длины d. Справедливы следующие формулы:



Площадь двуугольника:




Аналог теоремы косинусов для чисто вогнутого орициклического треугольника:



Не знаю, какая практическая польза может быть от новой "геометрии". Но как чистое искусство вполне сойдёт.