Лингвофорум

Здравствуйте!

Я рассмотрел возможные коммутативные ассоциативные алгебры над множеством R⁴. Наверное, это тривиальные выкладки, но если вы укажете на недостатки, буду признателен.

Квадраты i и j суть векторы, что ли?

Чего-то не качается. А с Кантором—Солодовниковым как соотносится?

Цитата: Dana от января 10, 2012, 22:47
Квадраты i и j суть векторы, что ли?

Не суть.

Цитата: Dana от января 10, 2012, 22:47
Квадраты i и j суть векторы, что ли?

Наверно, да.

Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение. В теории гиперкомплексных систем стандартный базис четырёхмерной алгебры обычно обозначают 1, i, j, k.

Сильно не вчитывался. Думаю, вам бы подробнее написать про числа, не имеющие обратных. Ещё предлагаю поискать делители нуля.

Цитата: Квас от января 10, 2012, 23:12
Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение

А иногда и сокращение от алгебраической системы. ;-) В общем случае в ней могут быть всякие операции разной местности и даже предикаты.

Цитата: Квас от января 10, 2012, 23:12
Наверно, да.

Да нет же, это просто неудачное обозначение вариантов. Т. е. Марбол рассматривает 9 разных алгебр.

Важное замечание: вначале не определяется, что k = ji, но потом это используется. Однако из k = ij это ведь не следует.

Цитата: arseniiv от января 10, 2012, 23:12
Думаю, вам бы подробнее написать про числа, не имеющие обратных.

Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)

У Кантора—Солодовникова были какие-то теоремы о классификациях, я уж не помню.

Марбол, а вы сталкивались с геометрической алгеброй (geometric algebra)? Интересная штукенция, я так и не разобрался.

Цитата: Квас от января 10, 2012, 23:15
Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)

Скорее, второе, хотя я не очень понимаю, что за нормированные алгебры. Единица-то во всех этих есть: (1; 0; 0; 0).

P. S. А почему письмо, а не трактат?

Цитата: arseniiv от января 10, 2012, 23:18
Скорее, второе, хотя я не очень понимаю, что за нормированные алгебры. Единица-то во всех этих есть: (1; 0; 0; 0).

Единица — это ae = a = ea. В разных базисах она может иметь разные координаты.

Нормированная — в смысле существования такой нормы, что |uv|=|u||v| (для вещественных, комплексных чисел, кватернионов и октав это обычный модуль).

Цитата: Квас от января 10, 2012, 23:24
В разных базисах она может иметь разные координаты.

Цитата: arseniiv от января 10, 2012, 23:12

Цитата: Квас от января 10, 2012, 23:12Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение

А иногда и сокращение от алгебраической системы. ;-) В общем случае в ней могут быть всякие операции разной местности и даже предикаты.

А почему в таком б-го неугодном формате? У меня формулы отображаются некорректно :'(.

Правильно. Марбол, перепишите в . ;D

Здравствуйте!

Цитата: Dana от января 10, 2012, 22:47
Квадраты i и j суть векторы, что ли?

Если называть векторами (четырехмерного пространства) числа вида, например, q = a + ib + jc + kd, то и число -1 = -1 + 0i + 0j + 0k, по-видимому.

Цитата: Квас от января 10, 2012, 22:59
Чего-то не качается. А с Кантором—Солодовниковым как соотносится?

Там коротко; в основном, перебираются выражения для компонент обратного 4-мерного вектора при различных сочетаниях значений квадратов мнимых единиц; умножение при этом определяется как коммутативное и ассоциативное.
О Канторе-Солодовникове я пока не читал.

Цитата: arseniiv от января 10, 2012, 23:12
Важное замечание: вначале не определяется, что k = ji, но потом это используется. Однако из k = ij это ведь не следует.

Нет-нет, я же пишу, что умножение мнимых единиц коммутативно: ij = ji.

Цитата: Квас от января 10, 2012, 23:15
Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)

Я не исключал систем с делителями нуля. А у кватернионов же умножение некоммутативное.

Цитата: arseniiv от января 10, 2012, 23:18
Марбол, а вы сталкивались с геометрической алгеброй (geometric algebra)? Интересная штукенция, я так и не разобрался.

Нет, я пока не знаю об этом.

Цитата: arseniiv от января 10, 2012, 23:18
P. S. А почему письмо, а не трактат?

Ну, трактат должен быть и пообъёмнее, и посерьёзнее.

Здравствуйте!

Я забросил эту тему, но теперь буду добавлять в нее новые письма.