Здравствуйте!
Меня заинтересовала следующая задача: найти отображение внешности единичной окружности на верхнюю полуплоскость с вырезанным отрезком, положение концов которого задано. В общем случае, этот отрезок наклонён к оси абсцисс. Не представляю, как подступиться к этой задаче: то, что приходит на ум, либо даёт решётку отрезков, либо кривую, в качестве второй границы, вместо желаемой прямой оси абсцисс.
Я не указал, что концы отрезка в задаче не должны лежать на оси абсцисс.
А под формулировкой «найти отображение» вы формулу имеете в виду? А существует ли она?
Здравствуйте!
Да, конечно, речь идёт о формуле; а как иначе? С другой стороны, решение может выражаться интегралом, в том числе.
Отображаем внешность единичной окружности на плоскость с вырезанным отрезком (y=0, x=[-1;+1]): x'=x, y'=y*(y2+x2-1)
Отображаем плоскость с вырезанным отрезком на верхнюю полуплоскость (y>-1) с вырезанным отрезком (y=0, x=[-1;+1]): x''=x', y''=exp(y')-1.
Здравствуйте!
Кодер, Ваши формулы почему-то не отвечают условиям Даламбера-Эйлера (C.-R.). Например, dx'/dx != dy'/dy, dx'/dy != -dy'/dx. Вероятно, Вы имели в виду другие выражения в координатах.
Я купил "Теорию струй идеальной жидкости" М.И. Гуревича, попробую извлечь из неё рациональный корень.
Здравствуйте!
Некоторым образом, эту задачу можно решить методом зеркального отражения.
Строим циркуляционное обтекание наклонной пластинки горизонтальным потоком, отражаем картину относительно оси абсцисс и складываем потенциалы отражения и самого течения. Получаем "отвердевшую" горизонтальную ось.
Сложно и непонятно. :) (Правда, у меня руки до учебников так и не дошли, но каких-либо «обтеканий пластин» я и не надеюсь там найти.) Раз уж такая тема, может, растолкуете?
Здравствуйте!
Попробую растолковать, но предупреждаю, что чего-то недопонимаю. Это станет ясно в конце письма.
Итак, по порядку. Промежуточные комплексные переменные обозначаются строчными буквами a, b, c...
1) Плоскость z = x+iy, с линиями тока y = const, отображается на внешность круга |a| <= 1:
a = z+(z2-1)1/2.
Отрезок плоскости z: y = (-1, +1) переводится в окружность |a| = 1.
Имеем плоское обтекание единичного круга, с двумя точками нарушения конформности отображения (критическими точками), лежащими на единичной окружности симметрично к её центру. В этих точках скорость потока обращается в ноль.
2) Плоскость предыдущего пункта поворачивается:
b = aeiф.
3) Накладываем на обтекание единичного круга циркуляционный поток:
c = b+G/(2пi).
Скорость течения на верхней дуге единичной окружности между критическими точками при этом увеличивается, а на нижней - уменьшается, так что обе точки смещаются вдоль окружности, приближаясь друг к другу так, что нижняя дуга сокращается, а верхняя увеличивается.
При этом нужно, чтобы arcsin(G/2п) = ф. При этом условии та критическая точка, которая при повороте в пункте 2 поднялась выше другой, оказывается на одной горизонтали с центром окружности.
4) Применяем отображение Жуковского, превращая окружность |c| = 1 в отрезок Re (d) = (-1, +1) на вещественной оси:
f = (c+1/c)/2.
Получилось циркуляционное обтекание горизонтального отрезка наклонным потоком. При этом набегающий поток раздваивается не в начале отрезка, а в точке между началом и серединой, а стекает с отрезка в его конце, вдоль отрезка. Так что отрезок оказывается, как бы, на гребне волны (но это только образно, потому что фактически наша "волна" находится в толще потока).
5) Возвращаем исходно горизонтальному потоку его ориентацию, поворачивая на угол -ф:
g = fe-iф.
Получили циркуляционное обтекание наклонного отрезка горизонтальным потоком.
В рисунках это выглядит проще стократ.
Заковыка у меня вот в чём. Поскольку мне нужно обтекание наклонного отрезка вблизи горизонтальной прямой, а линии тока получившегося течения становятся строго горизонтальными только на бесконечном удалении. По методу зеркальных отражений, можно получить нужное мне течение, вблизи прямой: этого достигают, располагая на равных расстояниях от заданной горизонтали картинку и её зеркальное отражение, собственно. Вот это-то у меня и не получается. Ведь посмотрите: если взять результат пункта 5 и сместить его вверх на величину ih, а потом в аналогичном порядке построить течение, зеркальное к п. 5 и сместить его, наоборот, вниз на величину -ih, то в сумме получим
k1 = gпрям+ih, k2 = gотраж -ih,
откуда
k = k1+k2 = gпрям+gотраж. Но это сумма картинки и её зеркального отражения, так что, по-видимому, получается течение вдоль горизонтального отрезка, а не течение в створе между двумя наклонными отрезками.
В пункте №3, конечно, слагаемое +G/(2пic).
Судя по рисункам, построенным в Экселе, в пункте 3 у меня ошибка. Ко вторнику напишу правильно.
Ошибка вот в чём. Согласно теории потенциальных течений несжимаемой жидкости, комплексный потенциал циркуляционного обтекания круга (горизонтальным потоком) пишется так:
w(z) = u+iv = (z+1/z)/2-iG/2п lnz.
То есть линии тока плоскости z переходят в горизонтали v = const, а эквипотенциальные линии плоскости z - в вертикали u = const. А я хотел, наоборот, отобразить декартову координатную сетку плоскости w на плоскость z. Для этого надо обратить функцию w(z), чтобы получить z(w). А это в явном виде не решается, потом что в уравнение (которое в этом письме) входят переменная z и её логарифм. Так что в явном виде не получится.