Лингвофорум

Какое видите применение им в жизни кроме как вспомогательных средств решения алгебраических уравнений?

Цитата: Антиромантик от марта 25, 2011, 13:46
Какое видите применение им в жизни кроме как вспомогательных средств решения алгебраических уравнений?

В основном так: комплексные числа используются во многих областях математики, а эти области математики используются в естественных науках, которые применяются в жизни.
Например, где используются комплексные числа:
— Решение дифференциальных уравнений.
— Преобразование Фурье (спектры)
— Электродинамика (импеданс).
— Механика сплошных сред (течения жидкостей).
— Квантовая механика.
— И т. п.

Здравствуйте!

Странный вопрос... Натуральные числа - разновидность целых, целые - разновидность рациональных, рациональные - вещественных, вещественные - комплексных. То есть, нестрого говоря, в алгебраических выкладках мы пользуемся комплексными числами, иногда - с нулевой мнимой частью.

Цитата: Марбол от марта 25, 2011, 16:46
Странный вопрос...

Не стоит так буквально интерпретировать вопросы :)

Из ответа Тайльнемера понятно, что комплексные числа не просто вспомогательное средство. В математике они играют не меньшую роль, чем вещественные. Во многих вопросах комплексные числа отражают истинную суть вещей и дают совершенно неожиданные результаты для «вещественной области».

С точки зрения алгебры примечательная особенность поля комплексных чисел — алгебраическая замкнутость, которая означает, что всякий комплексный многочлен степени n имеет (с учётом кратности) ровно n комплексных корней. Иначе говоря, любой комплексный многочлен степени n>0 раскладывается на линейные множители. Отсюда следует неожиданный результат для вещественных многочленов: любой вещественный многочлен степени n>1 раскладывается в произведение линейных множителей и квадратичных многочленов с отрицательным дискриминантом. Выходит, всякий вещественный многочлен третьей и более высокой степеней раскладывается на вещественные множители. Без комплексных чисел непонятно даже, как подступиться к доказательству этого утверждения.

Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел позволяет классифицировать операторы на конечномерных комплексных пространствах: в правильно подобранном базисе их матрица будет жордновой. Этот результат позволяет получить глубокую теорему о действии операторов на вещественных пространствах. Также этот результат играет роль в теории дифференциальных уравнений.

Комплексные числа имеют удивительные аналитические свойства. Теория функций комплексного переменного — исключительно содержательный раздел математики. Кроме того, эти функции могут принимать значения в комплексных линейных пространствах, в том числе бесконечномерных, откуда получаем выход в функциональный анализ. Теория функций комплексного переменного важна и для математической физики (уравнение Лапласа, интегральные преобразования и пр.). Вообще, комплексные числа оказываются более естественными уже при рассмотрении «школьных функций»: тригонометрические, показательные, логарифмы (вспомним о формуле Эйлера, связывающей экспоненту и тригонометрические функции).

Комплексные числа играют роль в геометрии: даже в элементарной, а также в теории конформных отображений.

Комплексные линейные пространства являются одним из основных объектов изучения функционального анализа.

На закуску алгебраическая геометрия: она работает с комплексными многочленами.

Можно продолжать, конечно. Комплексные числа во всей математике.

Где они в жизни?

При счёте предметов возникают натуральные числа и 0. При измерении непрерывных величин появляются положительные рациональные и положительные вещественные числа. (Хотя большую ли роль в повседневной жизни играет тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной?) Когда речь идёт об изменениях, возникают отрицательные числа. А комплексные? Надо думать о физических величинах, измеряемых комплексными числами. Это не школьная физика, поэтому я пас :), см. ответ Тайльнемера выше. Помню, что математическим аппаратом квантовой механики является теория операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Там импульс является таким оператором. :umnik:

А я вот думал сделать в Экселе расчёт комплексных матриц, а там, в Экселе, оказывается, комплексные числа выводятся в формате текста, отчего использовать их непосредственно в исчислении матриц нельзя, а надо изворачиваться, что неудобно и бессмысленно. Вот такая гнусность. Это пример вопиющего неприменения к. ч. в реальной жизни...

Дык для этих вещей специальный софт существует ;) А в Экселе это, конечно, изврат, бо он для других целей предназначен.

Цитата: Марбол от марта 25, 2011, 22:40
А я вот думал сделать в Экселе расчёт комплексных матриц, а там, в Экселе, оказывается, комплексные числа выводятся в формате текста, отчего использовать их непосредственно в исчислении матриц нельзя, а надо изворачиваться, что неудобно и бессмысленно. Вот такая гнусность. Это пример вопиющего неприменения к. ч. в реальной жизни...

А в чем собсна проблема? Там можно функцию за два минуты написать, если что.

Да, конечно; пора уже и другой софт использовать или самому сесть за программирование. Но пока, вдобавок, можно поизвращаться.

Равонам, если составить два комплексных вектора С1 и С2 и перемножить: столбец на строку, - то в результате получится таблица, в каждой ячейке (ij) которой будет одно и то же произведение П(C1)k*(C2)k всех к. ч. в обоих векторах, вместо предполагаемых пар (С1)i*(С2)j. Попытки обойти это и будут извратом, как и говорит Дана.

Но извините, что я с этим встрял в этой теме; можно считать оффтопом и вырезать.

Да нет никакого изврата, можно определить умножение комплексных чисел и пользоваться.
Например, у меня эксель умеет прибавлять и вычитать время суток и количество часов туда-сюда и т.п.

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 23:12
можно определить умножение комплексных чисел и пользоваться.

Я, возможно, догадываюсь: ты имеешь в виду т. н. функции, определяемые пользователем? Но при чём здесь тогда, логически, сложение-вычитание дат и времени, которое выполняется готовыми средствами?

Цитата: Марбол от марта 26, 2011, 01:58
Но при чём здесь тогда, логически, сложение-вычитание дат и времени, которое выполняется готовыми средствами?

Не, готовыми он не умеет делать что мне надо.

Цитата: Марбол от марта 25, 2011, 22:40
А я вот думал сделать в Экселе расчёт комплексных матриц, а там, в Экселе, оказывается, комплексные числа выводятся в формате текста, отчего использовать их непосредственно в исчислении матриц нельзя, а надо изворачиваться, что неудобно и бессмысленно. Вот такая гнусность. Это пример вопиющего неприменения к. ч. в реальной жизни...

Цитата: Вадимий от марта 26, 2011, 10:18

Цитата: Марбол от марта 25, 2011, 22:40
А я вот думал сделать в Экселе расчёт комплексных матриц, а там, в Экселе, оказывается, комплексные числа выводятся в формате текста, отчего использовать их непосредственно в исчислении матриц нельзя, а надо изворачиваться, что неудобно и бессмысленно. Вот такая гнусность. Это пример вопиющего неприменения к. ч. в реальной жизни...

Offtop

Курите математицу (mathematica)! Она потрясающее, ИМХО, поделие и на ваши запросы ответит, думаю, также.

Mathematica —  :down:! Maple —  ;up:! (Это субъективно, на уровне болельщика.)

А Matlab?

В репозитории Убунту много фриварных программ подобного типа, но у меня нет времени ими заниматься. Как разделаюсь с линейной алгеброй, попробую.

Цитата: RawonaM от марта 26, 2011, 10:55
А Matlab?

Matlab заточен под приблизительные расчёты, а Maple и Mathematica — символьная математика. Если не путаю, Matlab использует Maple внутри.

Здравствуйте!

Цитата: RawonaM от марта 26, 2011, 10:01
Не, готовыми он не умеет делать что мне надо.

Так я верно понял тебя: функции, определяемые пользователем?

А вот MatCAD, что скажете о нём?

Вопросы по Экселю снимаю.

Возможно ли возведение в комплексную степень нуля? Прикинем.

0ⁱ = e^iln0 = e^iπ(1/π)ln0 = (e^iπ)^ln0(1/π) = (e^iπ)^ln0 = (−1)^ln0 = (−1)^−∞

Или ... = (−1)^{(1/π)(−∞)}