Опрос
Вопрос:
в сообщении
Вариант 1: Да
голосов: 12
Вариант 2: Нет
голосов: 0
Вариант 3: При определенных условиях может быть
голосов: 11
Человек прошел из одного села в другое, выйдя в 8 утра одного дня.
На следующий день в 8 часов утра он вышел обратно и дошел до начального села. Он может идти с разными и варьирующимися скоростями.
Есть ли такое место на его пути, в котором он находился в то же самое время на часах по пути туда и назад?
Математики пусть не голосуют :)
Х
Ну и кто голосует пусть некую аргументацию приведет, наверное. В спойлере :)
К чему аргументация, если я ответ привёл? ;D
à mi-chemin
je ne sais pas pourquoi..
Цитата: Wulfilaà mi-chemin
Это в среднем
по больнице.
Цитата: RawonaM от
А если с разной скоростью идет в разные дни?
а разве это не сферический пешеход
(какой обычно в задачках)
который выходит ровно в 8
и идёт равномерно и без устали?
Цитата: Wulfila от ноября 20, 2010, 22:47
Цитата: RawonaM от
А если с разной скоростью идет в разные дни?
а разве это не сферический пешеход
(какой обычно в задачках)
который выходит ровно в 8
и идёт равномерно и без устали?
Теперь я понял, почему эту загадку задали так, что одно место находится у подножия горы, другое на горе. :)
В общем, в задаче это пешеход, который может ходить с произвольной скоростью.
Шо-та не понимаю сложности. Допустим, что это происходит в один день, и из разных мест выходят с произвольной скоростью навстречу друг другу 2 человека. Естественно, в какой-то момент в каком-то месте они встретятся. При условии, конечно, что они идут по одной и той же дороге :-)
Если идёт с разной скоростью или с постоянной, но ровно сутки туда и обратно, то может.
Цитата: sasza от ноября 20, 2010, 23:12
Шо-та не понимаю сложности. Допустим, что это происходит в один день, и из разных мест выходят с произвольной скоростью навстречу друг другу 2 человека. Естественно, в какой-то момент в каком-то месте они встретятся. При условии, конечно, что они идут по одной и той же дороге :-)
Это не всем очевидно же сразу :)
Если его скорость одинакова при движении в одну и в другую сторону, тогда есть такое место -- середина дороги.
Если разная, то такого места может не быть :???
Условие неполное. Может быть как угодно. Это всё равно, что спросить: два пешехода вышли навстречу друг другу в 8 часов утра, когда они встретятся?
Цитата: RawonaM от ноября 20, 2010, 23:17
А если туда идет два часа, а назад 10 часов?
ну вот как-раз и может :)
Цитата: Juif Eternel от ноября 20, 2010, 23:32
Условие неполное. Может быть как угодно. Это всё равно, что спросить: два пешехода вышли навстречу друг другу в 8 часов утра, когда они встретятся?
Может быть например как? Приведите варианты.
Цитата: RawonaM от ноября 20, 2010, 23:48
Может быть например как? Приведите варианты.
Вышел в восемь, а в девять был уже около дерева в 100 метрах от финиша.
На седующий день тащился как черепаха - вышел в восемь, а в девять прошёл только 100 метров и был у того же дерева.
Цитата: Juif Eternel от ноября 20, 2010, 23:54
ЦитироватьМожет быть например как? Приведите варианты.
Ну, варианта тут два: либо такое место (где от будет в то же время) есть, либо его нет.
Т.е. ваш вариант: при определенных условиях будет, иначе не будет? Ну для этого есть третий вариант выбора в опросе.
Цитата: Juif Eternel от ноября 20, 2010, 23:32
Условие неполное. Может быть как угодно. Это всё равно, что спросить: два пешехода вышли навстречу друг другу в 8 часов утра, когда они встретятся?
А и не спрашивается, когда. Здесь вопрос существования. Теоремы существования — это математическая импотенция: когда математик ничего не может сделать, он доказывает теорему существования. © :green:
Но согласитесь, что кестьё интересное :)
Пока что 5/5, какая-то половина будет удивлена, когда узнает правильный ответ :)
Цитата: Валентин Н от ноября 20, 2010, 23:56
Вышел в восемь, а в девять был уже около дерева в 100 метрах от финиша.
На седующий день тащился как черепаха - вышел в восемь, а в девять прошёл только 100 метров и был у того же дерева.
Да, есть и такой вариант.
Слишком мало входных данных. Сферический человек в вакууме. Не труъ.
Цитата: Алексей Гринь от ноября 21, 2010, 00:24
Слишком мало входных данных. Сферический человек в вакууме. Не труъ.
Для кого слишком мало данных, добавляйте свои условия и выбирайте третий вариант.
Цитата: sasza от ноября 20, 2010, 23:12
Шо-та не понимаю сложности. Допустим, что это происходит в один день, и из разных мест выходят с произвольной скоростью навстречу друг другу 2 человека. Естественно, в какой-то момент в каком-то месте они встретятся. При условии, конечно, что они идут по одной и той же дороге
Я рассуждал точно так же, соответственно, выбрал 1-й вариант.
Все можно определять состоянием часов
Вчера лёг спать и наконец додумался, что задача очень простая. Это всё равно что спросить: если два человека выйдут из двух селений навстречу друг другу, встретятся ли они? Ответ: конечно встретятся. А встретятся - значит: окажутся в одной точке в одно и то же время. А то, что в условии это один и тот же человек, идущий в разные дни, значения не имеет. :scl:
Прибежал сейчас, написал побыстрее, и стал смотреть, что другие говорят. И увидел, что sasza уже писал почти то же самое, но, в отличие от меня, с первого раза. :-[
Утешает только, что и Гринь в моей компании. :)
Простите, а что такое кестье?
Не кестье, а кестьё. Французский question c потерянной назальностью в конце. Хот это я понял.
При условии, что обратно он тем же путем идет, по любасу, будет такая точка, по-моему.
Цитата: Juif Eternel от ноября 21, 2010, 11:14
Вчера лёг спать и наконец додумался, что задача очень простая. Это всё равно что спросить: если два человека выйдут из двух селений навстречу друг другу, встретятся ли они? Ответ: конечно встретятся.
Помоему это не тоже самое, тк идут не одновременно.
Например: туда шёл 4 часа (по-пластунски), а обратно прибежал за 2 минуты. Таким образом совсем не факт, что что спустя полторы минуты движения они были в одной точке.
Цитата: Juif EternelПрибежал сейчас, написал побыстрее, и стал смотреть, что другие говорят. И увидел, что sasza уже писал почти то же самое, но, в отличие от меня, с первого раза.
Так я вообще сразу ответ написал. В виде графика ;D.
Ничо не пойму, если идёт с меняющимися скоростями, то в 1й раз он придёт на место в 9 часов например, а во 2й раз в 9 часов он будет сидеть в метре от старта :what:
Цитата: Валентин Н от ноября 20, 2010, 23:56
Цитата: RawonaM от ноября 20, 2010, 23:48
Может быть например как? Приведите варианты.
Вышел в восемь, а в девять был уже около дерева в 100 метрах от финиша.
На седующий день тащился как черепаха - вышел в восемь, а в девять прошёл только 100 метров и был у того же дерева.
Валентин, вы меня удивляете. Вы ведь сами дали уже такой ответ, как я вижу. То, что вы здесь написали, справедливо для любой скорости. Всегда найдётся такая точка, где он был в то же время на пути туда и обратно.
Цитата: Bhudh от ноября 20, 2010, 22:14
Х
И это вы называете графиком? Это же буква Хэ. :what:
Берём X, фиксируем концы в углах, берём за центр и начинаем таскать туда-сюда...
теперь дошло :D
Ну в общем все уже поняли. :)
Если взять второго человека, который проделает во второй день маршрут первого человека в первый день, то все становится ясно. График присоединяю. Очевидно, что с какой бы скоростью не ходили, графики пересекутся. :)
Давайте кто-нибудь интересную загадку теперь.
У Bhudha график красивее.
Цитата: RawonaMДавайте кто-нибудь интересную загадку теперь.
Тему сначала переименуй :eat:. А то я только интуитивно название понимал, а мозги думали, что это что-то вроде «кескесё»...
Цитата: Juif EternelУ Bhudha график красивее.
:D
Еще одна задачка. Математики опять пусть отдыхают :)
Есть квадрат со стороной 1, в него вписывается окружность (соответственно с диаметром 1). Следовательно: периметр квадрата = 4, длина окружности =2пиR=пи.
Делаем из квадрата многоугольник путем заворачивания углов в сторону окружности. См. рисунок. Первый этап - синим цветом. Многоугольник с использованием внутренних сторон синего квадрата имеет периметр такой же, как у большого квадрата, т.е. 4.
Второй этап красным, дальше делайте в уме. И так до бесконечности.
В бесконечности периметр многоугольника стремится к длине окружности. Следовательно длина окружности - 4. То есть, пи=4.
Прошу пардона за небрежную диаграмму, нет сил воевать с редактором. Если кто не понял условия или рисунок, попробую заново.
Собственно, задача: найти ошибку :)
Что, я совсем плохо изложил и никто ниче не понял? Или не антересант?
Ну вот допустим будем так загибать углы и дальше - длина периметра от этого не изменится же, зато форма будет стримиться к окружности.
Таким образом ошибка тут
Цитата: RawonaM от декабря 6, 2010, 17:28
В бесконечности периметр многоугольника стремится к длине окружности.Следовательно длина окружности - 4
Т.е стремиться к окружности будет только форма, но не длина.
Первое заворачивание ясно, а второе я совершенно не понял. Откуда там могут взяться квадраты?
Цитата: mnashe от декабря 6, 2010, 21:33
Первое заворачивание ясно, а второе я совершенно не понял. Откуда там могут взяться квадраты?
Скажем так: не заворачивание, а вырезание квадратов.
Эт точно. Как раз если углы заворачивать, то тогда и длина будет стремиться. А так — только форма.
Задачка-то известная, я её на гипотенузу встречал, о том, как балбес лесенку с бесконечно малыми ступенями строил...
Цитата: RawonaM от декабря 6, 2010, 17:28
В бесконечности периметр многоугольника стремится к длине окружности. Следовательно длина окружности - 4. То есть, пи=4.
В бесконечности периметр многоугольника стремится к длине окружности, т.е. к пи. Следовательно периметр многоугольника приблизится к пи, а не наоборот.
Цитата: RawonaM от декабря 6, 2010, 17:28
Прошу пардона за небрежную диаграмму, нет сил воевать с редактором.
mnashe, ваша картинка красива, но не точна. Должны быть все квадраты, а у вас прямоугольники.
Цитата: Juif Eternel от декабря 6, 2010, 22:30
ЦитироватьВ бесконечности периметр многоугольника стремится к длине окружности. Следовательно длина окружности — 4. То есть, пи=4.
В бесконечности периметр многоугольника стремится к длине окружности, т.е. к пи. Следовательно периметр многоугольника приблизится к пи, а не наоборот.
Покажите формулу периметра, у которой предел в бесконечности будет пи. Ведь при каждой ступени вырезания квадратиков периметр не меняется, когда вдруг он начинает становиться ближе к пи?
У вас условие не очень понятное. Вы загибаете, а потом вырезаете, что ли, и получаете что-то вроде звёздочек?
А решение моё вполне логичное. Это у вас нарушение логики: длина окружности = пи; периметр многоугольника стремится к длине окружности. Следовательно длина окружности = длине многоугольника. :donno:
Цитата: Juif Eternel от декабря 6, 2010, 22:50
У вас условие не очень понятное. Вы загибаете, а потом вырезаете, что ли, и получаете что-то вроде звёздочек?
Не загибаем, а вырезаем квадраты. Получаем многоугольник все с большим количеством углов каждый раз.
Цитата: Juif Eternel от декабря 6, 2010, 22:50
А решение моё вполне логичное. Это у вас нарушение логики: длина окружности = пи; периметр многоугольника стремится к длине окружности. Следовательно длина окружности = длине многоугольника. :donno:
ОК, тогда так: забудьте, что я написал длину окружности (и действительно, зачем она там? Она лишняя в условии). Если при каждом вырезании квадратиков периметр многоугольника остается четыре, то и в бесконечности он будет 4. Периметр круга значит = 4. Так понятнее?
Juif Eternel, смотрите на картинку мнаше. Вырезать поэтапно каждый цвет. Квадраты или другие прямоугольники не имеет значения.
Начиная со второго вырезания вы будете вырезать половины сторон предыдущих квадратов, из-за чего периметр многоугольников будет постоянно убывать до длины окружности в бесконечности.
Цитата: Juif Eternel от декабря 6, 2010, 23:01
Начиная со второго вырезания вы будете вырезать половины сторон предыдущих квадратов, из-за чего периметр многоугольников будет постоянно убывать до длины окружности в бесконечности.
Ну... Возьмите линейку и померяйте, если на глаз не видите :) Если при первом вырезании не уменьшился периметр, то и на втором не уменьшится. Там ведь получается просто вместо Г — L. И на тысячном не уменьшится.
Не морочьте мне голову́. Я ведь написал, что вы будете отрезать половины длин сторон предыдущих вырезов. Не согласны - повырезайте и посмотрите.
Откуда там половины длин? Он что, надрезать листок будет?
Цитата: Juif Eternel от декабря 6, 2010, 23:07
Не морочьте мне голову́. Я ведь написал, что вы будете отрезать половины длин сторон предыдущих вырезов. Не согласны — повырезайте и посмотрите.
;D Если бы тут можно было сказать "по-моему - так, а по-вашему - так", то вы бы так и сказали. Как это в философских спорах у нас. В данном случае кто-то один неправ и этот кто-то убедится в дальнейшем.
А пока ждем пока другие поломают головы и оформят какие-то мысли :)
Цитата: Bhudh от декабря 6, 2010, 23:09
Откуда там половины длин? Он что, надрезать листок будет?
Не
надрезать, а
вырезать (см. выше).
Ладно, убедили. БаянГармошка будет.
Цитата: RawonaM от декабря 6, 2010, 22:43
mnashe, ваша картинка красива, но не точна. Должны быть все квадраты, а у вас прямоугольники.
А, да???
Я сперва нажал Shift и принялся рисовать точные квадраты, а потом подумал, что понял неправильно, стёр квадраты и продолжил рисовать с отпущенным Shift'ом.
Цитата: mnashe от декабря 6, 2010, 23:27
Цитироватьmnashe, ваша картинка красива, но не точна. Должны быть все квадраты, а у вас прямоугольники.
А, да???
Я сперва нажал Shift и принялся рисовать точные квадраты, а потом подумал, что понял неправильно, стёр квадраты и продолжил рисовать с отпущенным Shift'ом.
Суть та же в общем-то.
У вас-то есть объяснение парадоксу?
Ещё не проверил, но по ощущениям, «лесенкой» ни на какой стадии нельзя пренебрегать. Даже если она и в микроскоп неразличима. Иначе противогаз был бы бесполезен. :)
Цитата: mnashe от декабря 6, 2010, 23:33
Ещё не проверил, но по ощущениям, «лесенкой» ни на какой стадии нельзя пренебрегать. Даже если она и в микроскоп неразличима. Иначе противогаз был бы бесполезен. :)
Как понять пренебрегать? Так и весь математический анализ можно на 1000 лет назад откинуть, если сказать, что в бесконечности точки никогда не образуют какую-то непрерывность :)
Ладно. Постараюсь забыть до завтра, а то не усну :)
Цитата: mnashe от декабря 6, 2010, 23:47
Ладно. Постараюсь забыть до завтра, а то не усну :)
Вы тоже этим страдаете? ;D Я вчера одну задачу аж до работы утром донес 8-)
Цитата: RawonaM от декабря 6, 2010, 23:42
Так и весь математический анализ можно на 1000 лет назад откинуть
математический анализ 1000 лет назад = русский язык в каменном веке
Между прочим, я уже перестроился. Вы заметили? Буду спать спокойно.
Цитата: mnashe от декабря 6, 2010, 23:33
Ещё не проверил, но по ощущениям, «лесенкой» ни на какой стадии нельзя пренебрегать.
Цитата: RawonaM от декабря 6, 2010, 23:42
Как понять пренебрегать?
Да, как понять пренебрегать? Сходимость в данном случае совершенно строго определяется так: «лесенки» сходятся к окружности, если любое кольцо, образованное концентрическими окружностями меньшего и большего радиусов, содержит все «лесенки» с достаточно мелкими ступеньками. Совершенно очевидно, что в этом смысле «лесенки» стремятся к окружности.
К вопросу об истории: то, что я написал, Архимеду было бы прекрасно понятно.
Цитата: Квас от декабря 7, 2010, 00:10
К вопросу об истории: то, что я написал, Архимеду было бы прекрасно понятно.
То есть, это отбросило бы на более 2000 лет назад? :)
Квас, от вас потребуется подробное объяснение сего явления, когда все будут готовы. Готовьтесь. ;D
Цитата: RawonaM от декабря 7, 2010, 00:17
Квас, от вас потребуется подробное объяснение сего явления, когда все будут готовы. Готовьтесь.
Всегда готов! (http://www.kolobok.us/smiles/personal/pioneer.gif)
Цитата: Квас от декабря 7, 2010, 00:10
Сходимость в данном случае совершенно строго определяется так:
Кстати, ни фига не так. Моё определение не соответствует геометрической интуиции. Пускай это тоже будет пища для раздумья. ;)
Цитата: Juif Eternel от декабря 6, 2010, 22:50
Это у вас нарушение логики: длина окружности = пи; периметр многоугольника стремится к длине окружности.
если мы будем последовательно вырезать углу, то поскольку там все лини параллельны, периметр не изменится.
Этоформа стремится к окружности, а периметр остаётся прежним :)
Ну таки шо же?
А он может идти по разным траекториям? Тогда последнее естественно.
Ну вот, опоздал.
А можно в следующем туре мою задачу (тоже математиков надо отдалить)? Червяк ползёт с постоянной скоростью по ленте, которая всё время равномерно растягивается с другой постоянной скоростью. Доползёт он до конца или нет? От чего это зависит?
А можно в следующем туре мою задачу (тоже математиков надо отдалить)? Червяк ползёт с постоянной скоростью по ленте, которая всё время равномерно растягивается с другой постоянной скоростью. Доползёт он до конца или нет? От чего это зависит?
Цитата: arseniiv от декабря 7, 2010, 21:37
Червяк ползёт с постоянной скоростью по ленте, которая всё время равномерно растягивается с другой постоянной скоростью.
Непросто, однако. А может быть, червяк растягивается вместе с лентой? :o
Зависит, я думаю, от разницы скоростей v₁ червяка и v₂ удлинения ленты.
Если v₂ > v₁, фиг он доползёт...
Я смотрю, про окружность уже неинтересно. Тогда завтра напишу, что я думаю по этому поводу.
Если трение червяка о ленту очень велико, то он порвётся. :'(
А если о-очень велико, то порвётся лента.
Цитата: Квас от декабря 7, 2010, 22:06
Я смотрю, про окружность уже неинтересно. Тогда завтра напишу, что я думаю по этому поводу.
Ждем :)
У меня сегодня математический блок. Смотрю на задания, которые решал неделю назад и ни черта не понимаю. Как будто не я писал. Все, ухожу завтра с работы в 4 часа, нефиг по ночам учиться.
Цитата: RawonaM от декабря 7, 2010, 22:36
Смотрю на задания, которые решал неделю назад и ни черта не понимаю. Как будто не я писал.
Со временем я пришёл к мысли, что изучение математики и иностранных языков во многом похожи. :)
Цитата: Bhudh от декабря 7, 2010, 22:00
Если v₂ > v₁, фиг он доползёт...
Даа? ::)
Цитата: Квас от декабря 7, 2010, 22:07
Если трение червяка о ленту очень велико, то он порвётся. :'(
:green:
а с окружностью-то что? Равноам молчит...
Цитата: Валентин Н от декабря 8, 2010, 16:36
а с окружностью-то что? Равноам молчит...
А я-то что? Ждем пока Квас объяснит. :)
С червяком интересная задачка, но я не берусь, чтобы не засосало. На первый взгляд кажется, что червяк обязан дойти до конца при любых скоростях (если ни резинка ни червяк не порвутся).
Цитата: arseniiv от декабря 7, 2010, 20:17
Червяк ползёт с постоянной скоростью по ленте, которая всё время равномерно растягивается с другой постоянной скоростью. Доползёт он до конца или нет? От чего это зависит?
Это похоже на апорию 3енона про Ахиллес и черепаху. А бежит, черепаха ползёт впереди - догонит ли он её когда-нибудь?
Вообще тут вопрос с трением не ясен - как растяжение ленты сказывается на движении червяка, она его смещает?
Цитата: Валентин Нкак растяжение ленты сказывается на движении червяка
На движении — никак. Оно сказывается на расстоянии до финиша.
Вообще, не подсказывайте Валентину. Я его тестирую.
Цитата: Bhudh от декабря 8, 2010, 18:01
На движении — никак. Оно сказывается на расстоянии до финиша.
значит улитка движется и передний край отдаляется, и чего тут решать????
Цитата: Валентин Н от декабря 8, 2010, 18:31
ЦитироватьНа движении — никак. Оно сказывается на расстоянии до финиша.
значит улитка движется и передний край отдаляется, и чего тут решать????
Червяка уже и улиткой и даже человеком обозвали.
Думать тут есть о чем, имхо. Конец как и отдаляется, так он и приближается, ибо он по ленте ползет. Червяк всегда будет двигаться вперед по ленте и отношение длина ленты/позиция червяка будет всегда расти, несмотря ни на какие растягивания, поэтому достигнет 1 рано или поздно. С первого взгляда кажется так.
Про окружность.
Логическую ошибку хорошо указал Валентин Н. Пусть у нас есть последовательность многоугольников (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(P_n)), которая в каком-то смысле стремится к окружности S, и пусть l — функционал длины, то есть (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=l(P_n)) — периметр многоугольника, l(S) — длина окружности. Из того, что(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%20P_n%20%5Cto%20S), вообще говоря, не следует, что (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=l(P_n)%20%5Cto%20l(S)) (иначе говоря, функционал l не обязан быть непрерывным в нашей топологии).
Хочется обратить внимание на содержательную геометрическую сторону вопроса. Ведь должна быть причина, по которой интуиция говорит нам обратное! Например, в элементарной геометрии длина окружности может быть определена как предел переметров вписанных или описанных правильных многоугольников. Почему в одном случае к пределу переходить нельзя, а в другом — можно?
Для простоты будем рассматривать не исходную задачу, а следующую: пусть на отрезке [a,b] задана последовательность функций (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(f_n)), которая в определённом смысле сходится к f. Нас интересует сходимость длин графиков функций из последовательностей к длине графика предельной функции.
Во-первых, подумаем, какие естественные ограничения следует наложить на рассматриваемые функции. Во-первых, им следует быть непрерывными, иначе могут возникнуть проблемы с определением длины графика. Во-вторых, лучше потребовать более сильное условие: кусочную гладкость функций (точное определение, которое можно не читать: функция на [a,b] называется кусочно-гладкой, если она непрерывна, и отрезок [a,b] может быть разбит на конечное число отрезков, внутри которых f имеет непрерывную производную, имеющую конечные односторонние пределы в концах отрезков разбиения). Непрерывные функции могут быть далеки от наших интуитивных представлений, а кусочно-гладкие функции имеют «человеческое лицо».
Сначала рассмотрим равномерную сходимость. Это значит, что графики функций (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f_n) целиком приближаются к графику f и при больших n попадают в любую полосу, полученную шевелением графика предельной функции вверх-вниз. Строго: для любого (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cvarepsilon%20%3E%200) при больших n должно выполняться неравенство
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7Cf_n(x)%20-%20f(x)%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon)
для всех x из [a,b].
Оказывается, равномерной сходимости недостаточно для сходимости длин. В качестве примера можно рассмотреть последовательность «пил» на [0,1]: первый график — прямой угол, опирающийся на [0,1], потом «загибаем вниз» вершину и получаем два угла, потом у них «загибаем вниз» вершины и получаем четыре угла и т. д. (Может, кто понял и охота будет нарисовать, но я не буду.) Длина каждой «пилы» равна (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=2%5Csqrt%7B2%7D), и они равномерно сходятся к тождественному нулю (длина графика равна 1).
Что делать?
Длина графика кусочно-непрерывной функции может быть найдена по формуле
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=l%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20y'%5E2%7D%5C%2Cdx)
(эта формула геометрически очевидна, если в духе Лейбница разбить ломаную на бесконечно малые отрезки, каждый из которых является гипотенузой треугольника с одним катетом dx и вторым катетом dy; по теореме Пифагора гипотенуза равна
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csqrt%7Bdx%5E2%20%2B%20dy%5E2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%5Cright)%5E2%7D%5C%2Cdx.)
Складывая бесконечно большое число бесконечно малых, получаем написанный выше интеграл.)
И пока смотрим на формулу, нас осеняет: производные! Надо, чтобы была какая-то сходимость производных, потому что длина выражается именно через них. И действительно, нетрудно показать, что если производные равномерно сходятся к производной предела, то и подынтегральные выражения тоже равномерно сходятся, а тогда по известной теореме анализа сходятся и сами интегралы, то есть длины. Таким образом, для сходимости длин графиков к длине предельного графика достаточно, чтобы функции и их производные равномерно сходились к предельной функции и её производной соответственно.
Теперь нам принципиально ясно и с окружностью. В нашем парадоксе рёбра ломаной не приближались к касательным, и в отсутствии сходимости длин ничего удивительного нет. А стороны описанных многоугольников лежат на касательных, поэтому сходимость есть.
Раз растяжение ленты на движение червяка не влияет, это равносильно тому, что червяк ползёт по дороге к еде с опр скоростью, а её отобдвигают с другой скоростью - вопрос догонит ли он еду?
:)
Цитата: Квас от декабря 7, 2010, 00:10
Сходимость в данном случае совершенно строго определяется так: «лесенки» сходятся к окружности, если любое кольцо, образованное концентрическими окружностями меньшего и большего радиусов, содержит все «лесенки» с достаточно мелкими ступеньками.
Цитата: Квас от декабря 7, 2010, 00:21
Кстати, ни фига не так. Моё определение не соответствует геометрической интуиции.
Потому что такое определение допускает, например, чтобы лестницы стягивались к единственной точке на окружности. А надо, чтобы они по ней «размазывались» всё-таки. По-научному: я дал определение в терминах полуотклонений, а надо было с помощью метрики Хаусдорфа. Поэтому я решил вам дальше голову не морочить с формализацией. :)
Ужас задачи с червяком в том, что скорость-то определяется по отношению к ленте, а лента (само «пространство») при этом меняется. Дело не в том, что конец отдаляется, а в том, что прямо под червяком точки разъезжаются. Сразу и не сообразишь, как определить мгновенную скорость червяка.
Притом если червяк не является материальной точкой, то он как-то взаимодействует с растяжением ленты. То ли сам растягивается, то ли как-то скользит. Этот момент мне вообще непонятен.
Спасибо, Квас, за объяснение. Когда закончу курс анализа, прочитаю ;D
Цитата: Квас от декабря 8, 2010, 19:14
Ужас задачи с червяком в том, что скорость-то определяется по отношению к ленте, а лента (само «пространство») при этом меняется. Дело не в том, что конец отдаляется, а в том, что прямо под червяком точки разъезжаются. Сразу и не сообразишь, как определить мгновенную скорость червяка.
Притом если червяк не является материальной точкой, то он как-то взаимодействует с растяжением ленты. То ли сам растягивается, то ли как-то скользит. Этот момент мне вообще непонятен.
Мне кажется, что нужно сделать какие-то допущения в рамках разумного, иначе задача бессмысленна или гораздо более сложна, чем кажется. Думаю, что технический способ движения червяка тут неважен, его можно заменить на человека/курицу/собаку или вотэва. Пусть арсений скажет, допустимо это или нет. Иначе нужно точно описать, как движется червяк. Либо сжатием-разжатием тела поочередно из зада в перед, либо сгибанием в середине как гусеница и т.п., это нужно будет все учесть.
Но имхо червяка просто можно заменить другим движущимся предметом.
Цитата: RawonaMДумаю, что технический способ движения червяка тут неважен, его можно заменить на человека/курицу/собаку или вотэва. Пусть арсений скажет, допустимо это или нет. Иначе нужно точно описать, как движется червяк. Либо сжатием-разжатием тела поочередно из зада в перед, либо сгибанием в середине как гусеница и т.п., это нужно будет все учесть.
Но имхо червяка просто можно заменить другим движущимся предметом.
Подозреваю, что червяк (видимо, дождевой и потому способ движения первый) тут не зря.
Каюсь, я тоже поначалу исходил из допущения простого увеличения длины ленты у её конца, пренебрежа словом «растяжение»...
С ним формула посложнее получается...
Цитата: RawonaM от декабря 8, 2010, 19:42
Когда закончу курс анализа, прочитаю ;D
Пропедевтика прежде всего! ;)
Цитата: Bhudh от декабря 8, 2010, 19:47
Каюсь, я тоже поначалу исходил из допущения простого увеличения длины ленты у её конца, пренебрежа словом «растяжение»...
С ним формула посложнее получается...
Не, я сразу понял юмор растяжения. Дело имхо такое: если червяк при растяжении ленты все-таки продвигается по ленте, то он когда-нибудь доползет. Дальше это уже конкретные детали его способа передвижения. Тут надо биологов подключать.
Цитата: RawonaMесли червяк при растяжении ленты все-таки продвигается по ленте
Если его скорость больше скорости растяжения, думаю, доползёт. То есть формула в принципе та же, но что в ней меняет растяжение, не до конца понятно...
Цитата: Bhudh от декабря 8, 2010, 19:58
Если его скорость больше скорости растяжения, думаю, доползёт.
Что такое скорость растяжения? Скорость с которой конец резинки удаляется от другого конца? Тогда не обязательно эта скорость должна быть ниже скорости червяка.
Только если скорость удаления разных точек на ленте выше, чем червяк переходит между ними, тогда он не дойдет. Как-то так.
Цитата: RawonaM от декабря 8, 2010, 20:01
Только если скорость удаления разных точек
Имеются в виду точки в пределах шага червяка.
Цитата: RawonaM от декабря 8, 2010, 20:01
Что такое скорость растяжения?
Если скорость растяжения равна v, то за время t длина ленты увеличивается на vt.
Кстати, интуитивно результат зависит от длины ленты. Если лента опоясывает земной шар, то даже значительная скорость растяжения, распределяясь по всей длине, даёт крошечную величину, которую червяк и не заметит.
Цитата: RawonaMИмеются в виду точки в пределах шага червяка.
:???
Цитата: Квас от декабря 8, 2010, 20:06
Кстати, интуитивно результат зависит от длины ленты.
Зависит, по-любому.
а давайте представим что червяк ползёт рядом с лентой... :-\
Цитата: Валентин Н от декабря 8, 2010, 22:31
а давайте представим что червяк ползёт рядом с лентой... :-\
А в чем смысл? Если рядом, то эта задача для первого класса.
Цитата: RawonaM от декабря 8, 2010, 22:40
А в чем смысл? Если рядом, то эта задача для первого класса.
Арсений же сказал, что лента на червяка не влияет...
Если бы червяк растягивался вместе с лентой, тогда растяжение ленты им не чувствовалось и было бы лишним в задаче. Червяка можно представить точечного.
Цитата: Валентин Н от декабря 9, 2010, 00:22
Арсений же сказал, что лента на червяка не влияет...
Она его не деформирует, и только. Всё же она его единственная в жизни опора.
Цитата: arseniiv от декабря 9, 2010, 14:04
Если бы червяк растягивался вместе с лентой, тогда растяжение ленты им не чувствовалось и было бы лишним в задаче. Червяка можно представить точечного.
О, я же сказал.
Все-таки даже если точечный, то все равно не ясен механизм растяжения. Допустим если будет ехать двухколесный велосипед, то он при любой скорости растяжения доедет. Если одноколесный, то не обязательно.
Короче я уже запутался. Все что я сказал выше отменяется и я уже ниче не знаю, надо заново все думать.
Я нагородил формул, пытаясь вычислить скорость червя в данный момент как интеграл его ускорения, и вконец запутался в них.
Дифференциальное уравнение.
Скорость червя на ленте = собственная скорость червя + скорость той точки ленты, где он сейчас находится.
Пусть собственное движение червя описывается функцией (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x(t)); движение червя на ленте - функцией (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=X(t)); и пусть (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=L(s%2Ct)) - параметризация растягивающейся ленты. Тогда записанная выше словесная формулировка превращается в уравнение:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=X'(t)%20%3D%20x'(t)%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20(X(t)%2C%20t))
В нашем случае:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x(t)%20%3D%20v_1%20t)
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=L(s%2Ct)%20%3D%20%5Cfrac%7Bs%7D%7Bl%7D%20(v_2%20t%20%2B%20l%20)) , (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=l) - длина ленты
Тогда (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bs%7D%7Bl%7D%20v_2), и уравнение принимает вид
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=X'(t)%20%3D%20v_1%20%2B%20%5Cfrac%7B%20X(t)%20%7D%7Bl%7D%20v_2)
Решая его при начальном условии (http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=X(0)%20%3D%200), получаем функцию движения червя по ленте:
(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=X(t)%20%3D%20l%20%5Cfrac%7Bv_1%7D%7Bv_2%7D(exp(%5Cfrac%7Bv_2%7D%7Bl%7Dt)-1))
Поскольку экспонента растёт быстрее линейной функции, червяк доползёт до конца ленты всегда.
Цитата: Juif Eternel от ноября 21, 2010, 11:14
Утешает только, что и Гринь в моей компании.
Да я понял решение сразу (ещё долго думал «так в чём заковыка-то?»). Просто не люблю такие вот задачи о сферических конях и людях в вакууме. В этом смысле люблю fuzzy logic, т.е. ответ будет «скорей всего да».
Цитата: svarog от декабря 10, 2010, 01:12
Поскольку экспонента растёт быстрее линейной функции, червяк доползёт до конца ленты всегда.
Это то, что я сначала и подумал. Но теперь я могу оспорить и ваше решение. Потом напишу.
Решение должно быть, в принципе, верным. Что не так?