Что всегда так, что это правило без исключений - как установили? И есть ли что-то такое, что дает нам полную гарантию того, что мы однозначно не можем встретить исключение?
По логике сумма углов четырехугольника должна быть 360... Кто возьмется проверить?
А теоремы соответствующей в школе не было?
Цитата: KW от ноября 21, 2021, 12:06
А теоремы соответствующей в школе не было?
Была. Я забыл, подумал, что это было представлено как аксиома. Спасибо. Щас посмотрел. Там, собственно, доказано. Благодарю.
Мне интересно не только доказательство, а то, как к этому вообще пришли, как это приходило в голову и так далее... Если кто-то знает подробности или, может, кто-то что-то думает по этому поводу.
Знаю, что число 180 как-то связано с шумерской 60-ричной системой счисления, восходом и заходом солнца. В подробности не вникал.
360° = 360 шагов Солнца по небу (https://www.nkj.ru/archive/articles/22597/) = 360 дней в году
Страничка из Кванта http://kvant.mccme.ru/pdf/1997/01/09.pdf
А зачем градусы, если есть радианы?
Слишком много дробей в формулах.
Цитата: Bhudh от ноября 21, 2021, 12:30
360° = 360 шагов Солнца по небу (https://www.nkj.ru/archive/articles/22597/) = 360 дней в году
Астрономические расчёты появились всё-таки позже земных бытовых.
Цитата: From_Odessa от ноября 21, 2021, 12:08
Цитата: KW от ноября 21, 2021, 12:06
А теоремы соответствующей в школе не было?
Была. Я забыл, подумал, что это было представлено как аксиома.
Когда устанавливали такие факты, аксиом скорее всего ещё не было как концепции.
Было.
Если пьешь с ворами, опасайся за свой кошелек. Это сказал фараон.
Цитата: From_Odessa от ноября 21, 2021, 12:00
Что всегда так, что это правило без исключений - как установили?
Это равносильно пятому постулату, поэтому не может быть доказано или опровергнуто остальными аксиомами планиметрии. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов.
Соответственно, ответ на вопрос топикстартера — история пятого постулата: об этом в интернете можно почитать довольно много.
Великий мРра :green: говорит мне, что вопрос сформулирован неправильно, не 180°, а два прямых угла.
В такой формулировке практически содержится ответ.
Начинать нужно с квадрата или прямоугольника. Эти фигуры очень даже в хозяйстве землемера необходимые и имеют в наличии четыре прямых угла. Если такую фигуру поделить диагональю пополам, получаться два одинаковых прямоугольных треугольника, каждому из которым достаётся не только половина площади прямоугольника, но и половина суммы его углов = 4/2 прямых угла.
Тут же становится очевидным, что если сумма углов прямоугольного треугольника = 2 прямых угла, то сумма его острых углов = 1 прямой угол.
Ну а произвольный треугольник, можно разделить перпендикуляром к самой длинной его стороне, опущенным из противолежащей вершины, на два прямоугольных треугольника. Причём площадь произвольного треугольника будет равняться сумме площадей двух прямоугольных, а сумма его углов будет равняться сумме острых углов двух прямоугольных треугольников, то-есть 1прямой угол+1прямой угол.
Много букв. Просто проводим еще одну прямую, параллельно любой стороне через соотв. вершину и все сразу становится очевидно.
Цитата: Karakurt от ноября 21, 2021, 19:44
Много букв. Просто проводим еще одну прямую, параллельно любой стороне через соотв. вершину и все сразу становится очевидно.
Это доказательство, похоже на то, как решают задачу, предварительно посмотрев ответ.
А мой вариант вытекает из простой практики разбивки земельных участков и не требует знания никаких аксиом.
Единственная аксиома: "У прямоугольника - четыре прямых угла".
Цитата: Волод от ноября 22, 2021, 09:38
Единственная аксиома: "У прямоугольника - четыре прямых угла".
А что такое прямоугольник?
А что такое 180, и что такое градус?
Цитата: Волод от ноября 22, 2021, 10:07
А что такое 180, и что такое градус?
180 — натуральное число, следующее за 179.
Градус — 1/360 полной окружности.
А что такое окружность?
:green: Это 360о градусов?
Цитата: Волод от ноября 22, 2021, 10:25
А что такое окружность?
:green: Это 360о градусов?
Нет. Окружность — это множество точек, расположенных на одном расстоянии от некоторой заданной точки (центра этой окружности).
:green: И где в этом множестве углы и градусы?
Цитата: Волод от ноября 22, 2021, 10:41
:green: И где в этом множестве углы и градусы?
Чтобы добраться до градусов, надо сначала определить, что такое дуга окружности (или что такое угол).
Цитата: Волод от ноября 22, 2021, 09:38
Это доказательство, похоже на то, как решают задачу, предварительно посмотрев ответ.
А мой вариант вытекает из простой практики разбивки земельных участков и не требует знания никаких аксиом.
Единственная аксиома: "У прямоугольника - четыре прямых угла".
Априори, чтобы, не зная ответа, узнать, какова сумма углов некоторого многоугольника, я бы начал с того, что у всякого многоугольника на плоскости сумма поворотных углов равна углу полной окружности, и вот это самое главное. А каждый угол многоугольника - это половина окружности минус соответствующий поворотный угол. Итого, сумма углов n-угольника на плоскости равна n/2-1 окружностей.
А дальше уже можно, зная ответ, придумывать и выбирать доказательства покрасивее, исходящие непосредственно из аксиом.
Цитата: Bhudh от ноября 21, 2021, 12:30
360° = 360 шагов Солнца по небу (https://www.nkj.ru/archive/articles/22597/) = 360 дней в году
Всё-таки не совсем так, интеркаляция дело весьма древнее. Все прекрасно знали, что в году не 360 дней. Тут в делителях дело.
Основой популярности шестидесятеричной системы являлось то, что она наипростейшим образом позволяет вести учет в зарождающемся государстве. 60=3x4x5, очень легко вести справедливую бухгалтерию при распределении продукта.
Да, соответственно, есть ещё варианты делить окружность на 64 части (и далее можно на 6400) и на 63 и далее на 6300. Но с количеством разных делителей тут поскромнее. Но некоторые практические удобства для приближённого счёта собственно углов и всякой тригонометрии из них в десятичной системе есть, ибо более или менее близко к 1/10 и 1/1000 радиана соотв.
И оба варианта деления окружности - и на 6400, и на 6300 - традиционно применялись артиллеристами в разных странах в качестве основной артиллерийской единицы угла - "тысячной" (подразумевается - приближённого радиана).
Цитата: Andrey Lukyanov от ноября 22, 2021, 10:32
Цитата: Волод от ноября 22, 2021, 10:25
А что такое окружность?
:green: Это 360о градусов?
Нет. Окружность — это множество точек, расположенных на одном расстоянии от некоторой заданной точки (центра этой окружности).
Я вот это определение в школе ненавидел. Для меня это был ничего не значащий набор слов, который я в 6 или 7 классе тупо механически зазубрил. Окружность - это замкнутая линия, а не какое-то б...дское множество точек.
(на всякий случай: экспрессия направлена не на вас, а на автора определения).
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:21Окружность - это замкнутая линия
Но не простая, а в которой все точки расположены на одном расстоянии от центра. И это расстояние зовётся радиусом.
Цитата: Bhudh от ноября 22, 2021, 18:24
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:21Окружность - это замкнутая линия
Но не простая, а в которой все точки расположены на одном расстоянии от центра. И это расстояние зовётся радиусом.
Вот да, потом я увидел определение окружности, в котором было сказано, что окружность - это замкнутая линия, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от центральной точки, как-то примерно так. И у меня возник вопрос: какого ... школьникам уродуют мозги вот этим "множеством точек", если есть на свете человеческое определение?
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:28
И у меня возник вопрос: какого ... школьникам уродуют мозги вот этим "множеством точек", если есть на свете человеческое определение?
А я как-то никогда и не замечал разницы между ними с чисто практической точки зрения. Ну, множество точек, ну линия - да какая нафиг разница.
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:28
Цитата: Bhudh от ноября 22, 2021, 18:24
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:21Окружность - это замкнутая линия
Но не простая, а в которой все точки расположены на одном расстоянии от центра. И это расстояние зовётся радиусом.
Вот да, потом я увидел определение окружности, в котором было сказано, что окружность - это замкнутая линия, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от центральной точки, как-то примерно так. И у меня возник вопрос: какого ... школьникам уродуют мозги вот этим "множеством точек", если есть на свете человеческое определение?
Так формально линия -- это ж и есть мн-во точек! Другое дело, что для школьных мозгов это всё равно что левой пяткой правое ухо чесать, это да.
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:21
Я вот это определение в школе ненавидел. Для меня это был ничего не значащий набор слов, который я в 6 или 7 классе тупо механически зазубрил. Окружность - это замкнутая линия, а не какое-то б...дское множество точек.
А с точки зрения введённой в школе аксиоматики к моменту когда доходят до окружности линия — ничего не значащее слово.
Цитата: zwh от ноября 22, 2021, 21:29
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:28
Цитата: Bhudh от ноября 22, 2021, 18:24
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:21Окружность - это замкнутая линия
Но не простая, а в которой все точки расположены на одном расстоянии от центра. И это расстояние зовётся радиусом.
Вот да, потом я увидел определение окружности, в котором было сказано, что окружность - это замкнутая линия, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от центральной точки, как-то примерно так. И у меня возник вопрос: какого ... школьникам уродуют мозги вот этим "множеством точек", если есть на свете человеческое определение?
Так формально линия -- это ж и есть мн-во точек! Другое дело, что для школьных мозгов это всё равно что левой пяткой правое ухо чесать, это да.
Вот я нарисую десять точек на равном расстоянии от центра - это будет множество точек, но ни хрена не окружность. Да и вообще, то, что на линии можно брать точки, не делает линию совокупностью точек.
Я вообще потом уже в институте понял, что математиков определение предназначено не для того, чтобы по нему можно было визуализировать суть явления, а больше для того, чтобы отразить какие-то его конкретные характерные свойства. Если вы по математическому определению поняли, о чём идёт речь - вы гений. Нормальным людям надо объяснить человеческим языком или показать на конкретном примере.
Цитата: kemerover от ноября 22, 2021, 22:14
Цитата: злой от ноября 22, 2021, 18:21
Я вот это определение в школе ненавидел. Для меня это был ничего не значащий набор слов, который я в 6 или 7 классе тупо механически зазубрил. Окружность - это замкнутая линия, а не какое-то б...дское множество точек.
А с точки зрения введённой в школе аксиоматики к моменту когда доходят до окружности линия — ничего не значащее слово.
И зачем нужна такая ублюдочная аксиоматика?
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 15:03Вот я нарисую десять точек на равном расстоянии от центра - это будет множество точек, но ни хрена не окружность.
Множество по умолчанию бесконечное.
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 15:03то, что на линии можно брать точки, не делает линию совокупностью точек
Делает.
Цитата: Bhudh от ноября 23, 2021, 15:20
Цитата: злой от Вот я нарисую десять точек на равном расстоянии от центра - это будет множество точек, но ни хрена не окружность.
Множество по умолчанию бесконечное.
Для математиков - да, наверно очевидно, что если множество не задано явно, то оно скорее бесконечное. Но шестикласснику разве от этого легче? Ему же кто-то это должен объяснить. Для ребёнка всё по умолчанию конечное - в часе 60 минут, в килограмме 1000 грамм и так далее. С чего вдруг множество должно быть бесконечным? Для человека с бытовым мышлением это совершенно неочевидно. Учитель может забыть объяснить, или ученик может засмотреться в окно на воробьёв, пока учитель говорит. Короче говоря, для школьника более ужасное определение придумать трудно.
Цитата: Bhudh от ноября 23, 2021, 15:20
Цитата: злой от то, что на линии можно брать точки, не делает линию совокупностью точек
Делает.
Есть абстракция "линия", существующая в голове, и есть абстракция "точка", тоже существующая в голове. И та, и другая абстракция к реальности имеет опосредованное отношение, а ребёнок не настолько умеет хорошо отделять реальность от умозрительных примеров, тем более когда ему всё демонстрируют на конкретных примерах (по крайней мере, у меня в 6 классе мышление было довольно предметным, уж точно менее абстрактным, чем в последующие годы). Так вот, если даже брать чисто умозрительные явления "точка" и "линия", равенство "множества точек" и "линии" можно только явно декларировать постулатом, я не вижу другого способа приведения одного самостоятельного понятия к другому. А это - принцип "один дядя сказал". Да, допустим, такое отождествление ничему не противоречит, но это всё равно результат "волевого решения".
При чём тут абстракции? Точка, ткнутая карандашом, вполне конкретна, имеет какую-то маленькую ширину, и вполне понятно даже школьнику, что если натыкать таких точек близко друг к другу очень-очень много, они сольются в линию.
Которая будет состоять из этих самых точек.
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 16:11
Так вот, если даже брать чисто умозрительные явления "точка" и "линия", равенство "множества точек" и "линии" можно только явно декларировать постулатом, я не вижу другого способа приведения одного самостоятельного понятия к другому.
Проблема в том, что для общего случая линии там надо будет ещё дать условия, ограничивающее это множество точек - и вот от формулировки этих условий для общего случая школьник уж точно удавится. А вот частные случаи вроде той же окружности и др. этим условиям уже удовлетворяют, так что такое честное определение для этого частного случая получается всё же намного проще, чем определение линии/кривой, необходимое для того, чтобы потом этим понятием пользоваться в определении, например, той же окружности. (И да, общее определение линии/кривой всё равно придётся начать "множество точек такое, что...").
Цитата: Toman от ноября 23, 2021, 17:20
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 16:11
Так вот, если даже брать чисто умозрительные явления "точка" и "линия", равенство "множества точек" и "линии" можно только явно декларировать постулатом, я не вижу другого способа приведения одного самостоятельного понятия к другому.
Проблема в том, что для общего случая линии там надо будет ещё дать условия, ограничивающее это множество точек - и вот от формулировки этих условий для общего случая школьник уж точно удавится. А вот частные случаи вроде той же окружности и др. этим условиям уже удовлетворяют, так что такое честное определение для этого частного случая получается всё же намного проще, чем определение линии/кривой, необходимое для того, чтобы потом этим понятием пользоваться в определении, например, той же окружности. (И да, общее определение линии/кривой всё равно придётся начать "множество точек такое, что...").
Зачем выражать линию через множество точек? Можно же просто сказать, что линия - это линия. Я вот например линию себе как раз представляю как линию, а точку - как точку. Это разные вещи, зачем их сводить к одному?
Цитата: Bhudh от ноября 23, 2021, 16:32
При чём тут абстракции? Точка, ткнутая карандашом, вполне конкретна, имеет какую-то маленькую ширину, и вполне понятно даже школьнику, что если натыкать таких точек близко друг к другу очень-очень много, они сольются в линию.
Которая будет состоять из этих самых точек.
Мне жизненный опыт как раз показывает, что линия получается, когда ведёшь карандаш по бумаге непрерывно, а сколько точек рядом не тыкай, линия не получается. Даже струйный принтер создаёт линию из перекрывающихся клякс, а не из точек.
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 17:36сколько точек рядом не тыкай, линия не получается
Возьмите листочек, линейку, карандаш и натыкайте точек по линейке на расстоянии примерно 0,2 мм друг от друга.
Ваш жизненный опыт после этого обогатится.
Цитата: Bhudh от ноября 23, 2021, 17:38
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 17:36сколько точек рядом не тыкай, линия не получается
Возьмите листочек, линейку, карандаш и натыкайте точек по линейке на расстоянии примерно 0,2 мм друг от друга.
Ваш жизненный опыт после этого обогатится.
Это будут не абстрактные точки, а очень небольшие отрезки. У абстрактной точки длина - ноль, у линии (хоть абстрактной, хоть конкретной) - не ноль. Не может из нулей получиться не ноль, хоть их там будет бесконечность.
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 17:42Это будут не абстрактные точки, а очень небольшие отрезки.
Цитата: Bhudh от ноября 23, 2021, 16:32При чём тут абстракции? Точка, ткнутая карандашом, вполне конкретна, имеет какую-то маленькую ширину
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 15:03
Вот я нарисую десять точек на равном расстоянии от центра - это будет множество точек, но ни хрена не окружность.
Ну это вы уловили промах в определении (от которого отталкивались). Более корректно было бы что-нибудь вроде "множество
всех точек на плоскости, которые бла-бла-бла", что нормальный учебник, скорее всего и даст.
Для этого часто используется специфический термин "геометрическое место точек".
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 15:03
Да и вообще, то, что на линии можно брать точки, не делает линию совокупностью точек.
"Делает" или "не делает" - вопрос глубоко философский. В обычной геометрии это, считай, определение. Есть и другие подходы к геометрии, в которых линия (прямая или кривая) представляет собой нечто большее, чем просто совокупность точек, удовлетворяющих какому-то свойству, но они школьнику тем более будут не по плечам. Подход через "множество точек" - стандартный и наиболее разработанный. Нестандартные подходы к геометрии на школьном уровне попробуй-ка внедрить.
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 16:11
Есть абстракция "линия", существующая в голове, и есть абстракция "точка", тоже существующая в голове. И та, и другая абстракция к реальности имеет опосредованное отношение, а ребёнок не настолько умеет хорошо отделять реальность от умозрительных примеров
Математика вся только и состоит из абстракций, который пытаются имитировать какие-то аспекты реальности (и отвечать каким-то из наших интуитивных представлений о ней).
Понятие абстракции ребёнку поначалу плохо доступно, но что тут поделать? Умение выделять и понимать абстракции - дело долгое и очень личное, но объяснять-то геометрию с чего-то надо начинать.
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 15:03
Я вообще потом уже в институте понял, что математиков определение предназначено не для того, чтобы по нему можно было визуализировать суть явления, а больше для того, чтобы отразить какие-то его конкретные характерные свойства. Если вы по математическому определению поняли, о чём идёт речь - вы гений. Нормальным людям надо объяснить человеческим языком или показать на конкретном примере.
Цитата: злой от ноября 23, 2021, 15:05
И зачем нужна такая ублюдочная аксиоматика?
Это хорошо уметь дойти до чего-то интуитивно. Но ещё лучше уметь дойти до чего-то интуитивно, а потом это ещё и чётко доказать без размахивания руками. А ещё хорошо, увидев, что ничего доказать не можешь, мочь понять, что интуиция была не верна, и доказать обратное; или понять, что вообще тут вопрос сложный, несмотря на интуицию.
Умению строгой аргументации в чистом виде в школе только геометрия и учит. Очень полезный навык в итоге.
Цитата: kemerover от ноября 23, 2021, 23:44Умению строгой аргументации в чистом виде в школе только геометрия и учит.
А алгебра не учит, что ли? Геометрия к этому добавляет разве что наглядность.
Цитата: Bhudh от ноября 23, 2021, 23:56
А алгебра не учит, что ли?
Ээээ... Нет. Между задачами по алгебре и геометрии всегда была и остается огромная разница - во втором случае играет роль максимально короткий путь доказательства.
В первом у каждого поколения получается выписать вторичные формулы под тип задач, и решать банальной подстановкой. А в геометрии ернаны)
Это типа в геометрии нет отдельных типов задач, каждая задача сама по себе как сферический конь в вакууме?
Bhudh, это в целом Вам виднее)
А в частности - да, конечно, и в геометрии такое есть.
Цитата: Bhudh от ноября 24, 2021, 00:06
Это типа в геометрии нет отдельных типов задач, каждая задача сама по себе как сферический конь в вакууме?
В геометрии было больше творческих задач на доказательства, насколько я помню. А алгебра была более унылой в этом плане.