Лингвофорум

Ну да, это он и есть, закон Бенфорда.

Среди множества всех чисел от нуля до бесконечности (при условии равномерного распределения по их логарифмам), доля, начинающихся на на цифру N будет пропорциональна ln((N+1)/N).

Соответственно, имеем:

1 — 30,1%
2 — 17,6%
3 — 12,5%
4 — 9,7%
5 — 7,9%
6 — 6,7%
7 — 5,8%
8 — 5,1%
9 — 4,6%

Цитата: лад от июня 22, 2016, 19:23
с середины прошлого века

А звездные-то величины - с Античности. Вот оно как!

Цитата: Солохин от июня 22, 2016, 15:00
И похоже, что закон Бенфорда намекает нам на естественность логарифмической меры.

Я давно думаю об этом (о её естественности)

А это было известно еще с середины прошлого века. Это всё еще Шеннон установил. Шенонова информация измеряется в логарифмах от обратной вероятности.

Цитата: Toman от июня 22, 2016, 02:31с охватом нескольких порядков всё хорошо

Да, так.
И похоже, что закон Бенфорда намекает нам на естественность логарифмической меры.

Я давно думаю об этом (о её естественности)

Вот неслучайно ведь человеческие глаз и ухо воспринимает всё именно логарифмически. Поэтому громкость звука меряют в децибелах, а яркость источников - в звездных величинах. То и другое - логарифмические шкалы, хотя звездные величины были выдуманы в незапамятные времена, когда люди и логарифмов-то ещё не знали.

Кстати, количество денег тоже надо оценивать в логарифмической шкале.
2 000 000 рублей отличаются от 1 000 000 так же, как 2 000 от 1 000, и как 200 от 100.

Цитата: Bhudh от июня 21, 2016, 18:55

Цитата: Волод от июня 21, 2016, 15:34Может так:
      1<9
    1*<9*
  1**<9**
1***<9***
..................

Почему не так:
      1*>9
    1**>9*
  1***>9**
1****>9***
       ?

1<9<1*<9*<1**<9**<1***<9***<....
Когда цепочка достаточно длинная то даже отбрасывание единицы слева на общий результат серьёзно не повлияет ведь ведь 9<19 всего в два с .. раза, а в то время как  1***...<9***... в шесть с ... раз.

Цитата: Солохин от июня 20, 2016, 21:44
Цифра 1 на первом месте встречается в несколько раз чаще, чем цифра 9!
Такая картина наблюдается в любом справочнике!

Если предположить, что разброс величин более-менее ровный в логарифмической шкале и охватывает несколько порядков, то всё интуитивно понятно: шаг от 1,0 до 1,(9), например, в десятичных логарифмах очень близок к 0,3. От 2,0 до 2,(9) - уже менее 0,2. От 4,0 до 4,(9) - очень близко к 0,1. А о 9,0 до 9,(9) - близко к 0,05.

Цитата: Солохин от июня 20, 2016, 21:40
На самом деле распределения могут быть самые разные, но они при этом будут давать все тот же закон Бенфорда.

Однако же если разброс охватывает в основной своей массе менее одного порядка - то тут уже как повезёт, на какие именно цифры он попадёт, в зависимости от выбранных единиц измерения. Допустим, если взять распределение людей по скорости пешей ходьбы в км/ч - цифра 1 окажется где-то в глубокой дыре, т.к. попадёт только на совсем крайние, редко встречающиеся, значения.

Для структур, напоминающих  фракталы, вроде какой-нибудь речной сети, с охватом нескольких порядков всё хорошо, равно как и с подобием по масштабам (что подразумевает именно логарифмические соотношения по масштабам связанных друг с другом объектов), и закон должен выполняться весьма точно.

Цитата: Волод от июня 21, 2016, 15:34Может так:
      1<9
    1*<9*
  1**<9**
1***<9***
..................

Почему не так:
      1*>9
    1**>9*
  1***>9**
1****>9***
       ?