Лингвофорум

Разумеется; в λ-исчислении правила вывода и аксиомы сильно отличаются, например. Но не слышал ни от кого этот «аппарат доказательств».

Ну, "аппарат доказательств" - это вообще неформальное понятие, как и "хорошая функция". В общении между собой математики со смаком используют такие "смутные" категории.
Но, конечно, любой математик может тут же уточнить, что он имеет в виду под "хорошей" функцией, если потребовать, чтобы он отвечал за базар.
Однако когда они рассуждают сами для себя в своем кругу, они не стремятся к формальной строгости. Это мешает интуиции.

В любом случае - ведь понятно, что не только аксиомы в разных теориях могут быть разными, но и сама логика (сиречь "правила вывода")

Интересное определение аппарата доказательств. Ни за что бы не подумал, что а нём скрыты правила вывода.

Цитата: arseniiv от ноября  4, 2012, 17:39это что-то паранормальное написано.

Чуть выше Вы рассуждали об одной половине аппарата доказательств - об аксиомах. Вторая половина - правила вывода.
Если аппарат сломанный (например, выводы из аксиом противоречат друг другу), то пользоваться им нельзя.

Примерно так.

Доказывать просто так нельзя. Доказывают исходя из системы аксиом. То, что доказуемо в одной системе аксиом, может быть недоказуемым в другой. Более того, в третьей системе аксиом может быть доказуемо отрицание данного утверждения.

Так что

Цитата: Солохин от ноября  4, 2012, 06:25
значит, ошибочен сам по себе аппарат доказательств

это что-то паранормальное написано.

Написанное здесь утверждение нельзя доказать

(1) Предположим, это не так.

Значит, его можно доказать.

Но если ложное утверждение можно доказать, значит, ошибочен сам по себе аппарат доказательств. Допустим, что он не является ошибочным. Тогда наше предположение (2) неверно.

Значит, написанное выше предложение не является ложным. Допустим, что все, что не ложно, является истинным. Тогда оно истинно!
Но если оно истинно, значит, его и вправду нельзя доказать!

Проблема тут в том, что мы пришли к парадоксу: доказать утверждение нельзя, а ведь мы его только что доказали.

Выйти из парадокса можно лишь более строго определив, что значит "доказать". Если пойти этим путем, то и получится приблизительно то, что называют обычно словосочетанием "теорема Геделя".

Написанное здесь утверждение истинно, однако его нельзя доказать.

Допустим, это утверждение ложно. Значит, чисто логически:

-  либо оно ложно
-  либо оно истинно, однако его можно доказать.

Предположим, что никакое ложное утверждение невозможно доказать. Тогда вторая возможность отпадает.

Следовательно, оно однозначно ложно - написанное выше утверждение.

-----------

Рассуждая подобным образом о различных утверждениях, которые нечто утверждают сами о себе, можно делать нетривиальные умозаключения в стиле теоремы Гёделя.
В этом нет ничего неправильного или неприличного.

Это не есть теорема Гёделя, но рассуждение по аналогии с теоремой. Часто это называют "по теореме Гёделя". Это название неточно, как и многие другие названия.
Но сам по себе принцип - вполне универсален.

Действительно, вне обсуждения формальных теорий (слитный термин) теоремы Гёделя засовывать не нужно — это будет просто-напросто псевдонаукой.

Цитата: rounin от октября 25, 2012, 12:18
Ну, и именно теорема Гёделя говорит нам, что не может быть никакой "теории всего".

Я могу ошибаться, но мне кажется, это как раз то самое, некорректное, использование теоремы.

От физической «теории всего», даже в самом идеальном и оптимистическом её варианте, никто не ждёт полноты в математическом смысле этого слова. Теория всего  должна подтверждаться всеми наблюдениями и предсказывать результаты любого физического эксперимента, то есть отвечать на вопросы вида «каким будет вероятностное распределение такой-то физической величины у такого-то объекта при таких-то условиях?», «что будет если в унитаз поезда на полном ходу бросить лом?» и т. п. Но отвечать на вопросы типа «а верна ли континуум-гипотеза?» или «а не противоречива ли эта теория?» физическая теория всего отвечать не обязана.

Цитата: rounin от октября 25, 2012, 11:13
Она утверждает, что любой формальный математический аппарат не может быть полностью непротеворечив.

Она этого не утверждает и вообще их две. Википедия в помощь.