- Добро пожаловать на Лингвофорум.
Автор Марбол
- сентября 1, 2012, 22:02Здравствуйте!
Я тоже так подумал.
Я тоже так подумал.
Автор arseniiv
- августа 30, 2012, 13:09Ого.
Автор Марбол
- августа 30, 2012, 06:56Здравствуйте!
Я наконец это доделал и применяю к своим вычислениям. Но оказывается, для случая функции многих переменных эта задача уже решена, и притом создан алгоритм расчета на компьютере, оптимальный по времени расчета.
Я наконец это доделал и применяю к своим вычислениям. Но оказывается, для случая функции многих переменных эта задача уже решена, и притом создан алгоритм расчета на компьютере, оптимальный по времени расчета.
Автор Марбол
- апреля 19, 2012, 21:28Здравствуйте!
Цитата: arseniiv от марта 22, 2012, 15:05Частные производные, конечно, потом понадобятся, но пока у меня недостает времени на продолжение и даже применение этого метода.
Или частные производные вы пока не хотели бы включать?
Автор arseniiv
- марта 22, 2012, 15:05Цитата: Марбол от марта 19, 2012, 19:55Лучше, мне думается, использовать суперпозицию трёх функций: этих и (x, y) ↦ xy. Или частные производные вы пока не хотели бы включать?
неприложимы три указанных представления: в виде суммы, произведения или суперпозиции двух функцийи
Автор Марбол
- марта 19, 2012, 20:01Цитата: Марбол от февраля 15, 2012, 21:05
Интересно, сколько времени займёт такой расчёт.
По моим выкладкам дальше получилось, что время вычисления производной
Автор Марбол
- марта 19, 2012, 19:55Здравствуйте!
В одном немаловажном случае, когда заданная функция имеет вид
![[tex]h(x)=f(x)^{g(x)},[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?h(x)=f(x)^{g(x)}, "h(x)=f(x)^{g(x)},")
неприложимы три указанных представления: в виде суммы, произведения или суперпозиции двух функций и ![[tex]g(x)[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?g(x) "g(x)")
. В таком случае, данная функция должна быть преобразована к виду
![[tex]p(q(x))=e^{q(x)},[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?p(q(x))=e^{q(x)}, "p(q(x))=e^{q(x)},")
где
![[tex]q(x)=g(x)\cdot ln f(x).[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?q(x)=g(x)\cdot ln f(x). "q(x)=g(x)\cdot ln f(x).")
В одном немаловажном случае, когда заданная функция имеет вид
неприложимы три указанных представления: в виде суммы, произведения или суперпозиции двух функций
где
Автор Марбол
- февраля 19, 2012, 08:38Здравствуйте!
комбинации производных f(i)(g(x0)) = dif/dgi|x0 и g(j)(x0) = djg/dxj|x0
Цитата: Марбол от февраля 18, 2012, 10:18Правильно:
комбинации производных f(i)(x0) = dif/dxi|x0 и g(j)(x0) = djg/dxj|x0
комбинации производных f(i)(g(x0)) = dif/dgi|x0 и g(j)(x0) = djg/dxj|x0
Автор Марбол
- февраля 18, 2012, 10:18Здравствуйте!
Допустим, имеем аналитическую функцию h(x). Она может быть выражена через две другие аналитические функции f(x) и g(x) в виде их суммы: h(x) = f(x) + g(x), - произведения: h(x) = f(x)g(x) - или суперпозиции: h(x) = f(g(x)). Допустим, что обе эти функции имеют производные всех порядков и что мы знаем значения этих производных в заданной точке x0. Тогда мы можем выразить производную h(n)(x0) = dnh(x)/dxn|x0 данной функции через комбинации производных f(i)(x0) = dif/dxi|x0 и g(j)(x0) = djg/dxj|x0, по соответствующим выражениям. Здесь i, j = 0, 1, 2, ..., n. В свою очередь, функции f(x) и g(x) также могут быть разложены на другие аналитические функции. При этом имеет смысл указать набор элементарных функций, задать для них формулы производных всех порядков и через них выражать все остальные, интересующие нас функции. Что я и сделал.
Допустим, имеем аналитическую функцию h(x). Она может быть выражена через две другие аналитические функции f(x) и g(x) в виде их суммы: h(x) = f(x) + g(x), - произведения: h(x) = f(x)g(x) - или суперпозиции: h(x) = f(g(x)). Допустим, что обе эти функции имеют производные всех порядков и что мы знаем значения этих производных в заданной точке x0. Тогда мы можем выразить производную h(n)(x0) = dnh(x)/dxn|x0 данной функции через комбинации производных f(i)(x0) = dif/dxi|x0 и g(j)(x0) = djg/dxj|x0, по соответствующим выражениям. Здесь i, j = 0, 1, 2, ..., n. В свою очередь, функции f(x) и g(x) также могут быть разложены на другие аналитические функции. При этом имеет смысл указать набор элементарных функций, задать для них формулы производных всех порядков и через них выражать все остальные, интересующие нас функции. Что я и сделал.
Автор Марбол
- февраля 15, 2012, 21:05Интересно, сколько времени займёт такой расчёт. Условно я считаю, что и сложение и умножение двух чисел занимают единичный отрезок времени. Я обозначу это условное время так: T(x+y) = T(x-y) = 1, T(x*y) = T(x/y) = 1 при T(x) = 0, T(y) = 0.
Тогда время вычисления производной заданного порядка равно:
![[tex]T({d^n f(g(x)) \over dx^n})=T(\sum_{k=1}^n{f^{(k)} \over k!} G_{n}^{k\diamondsuit}) = T(\sum_{k=1}^n) \cdot[T(G_{n}^{k\diamondsuit})+T(x \cdot y) + T(k!)+T({x \over y})][/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T({d^n f(g(x)) \over dx^n})=T(\sum_{k=1}^n{f^{(k)} \over k!} G_{n}^{k\diamondsuit}) = T(\sum_{k=1}^n) \cdot[T(G_{n}^{k\diamondsuit})+T(x \cdot y) + T(k!)+T({x \over y})] "T({d^n f(g(x)) \over dx^n})=T(\sum_{k=1}^n{f^{(k)} \over k!} G_{n}^{k\diamondsuit}) = T(\sum_{k=1}^n) \cdot[T(G_{n}^{k\diamondsuit})+T(x \cdot y) + T(k!)+T({x \over y})]")
В частности, по составляющим,
![[tex]T(\sum_{k=1}^n) = n[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T(\sum_{k=1}^n) = n "T(\sum_{k=1}^n) = n")
![[tex]T(k!) = k-2[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T(k!) = k-2 "T(k!) = k-2")
![[tex]T(x \cdot y) + T({x \over y}) = 1+1 =2[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T(x \cdot y) + T({x \over y}) = 1+1 =2 "T(x \cdot y) + T({x \over y}) = 1+1 =2")
Вычисление свёртки степени![[tex]k[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?k "k")
равносильно вычислению свертки степени 2, подряд ![[tex]k-2[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?k-2 "k-2")
раз, с последующим однократным вычислением n-го члена свёртки степени 2:
![[tex]T(G_n^{k\diamondsuit}) = T((G_n^{k-1\diamondsuit}\diamondsuit G)_n)=T(G^{2\diamondsuit}) \cdot (k-2)+T((x \diamondsuit y)_n)[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T(G_n^{k\diamondsuit}) = T((G_n^{k-1\diamondsuit}\diamondsuit G)_n)=T(G^{2\diamondsuit}) \cdot (k-2)+T((x \diamondsuit y)_n) "T(G_n^{k\diamondsuit}) = T((G_n^{k-1\diamondsuit}\diamondsuit G)_n)=T(G^{2\diamondsuit}) \cdot (k-2)+T((x \diamondsuit y)_n)")
В частности,
![[tex]T(G_n^{2\diamondsuit}) = T(\sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} g^{(i)} g^{(n-i)})[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T(G_n^{2\diamondsuit}) = T(\sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} g^{(i)} g^{(n-i)}) "T(G_n^{2\diamondsuit}) = T(\sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} g^{(i)} g^{(n-i)})")
![[tex]T({n \choose i} g^{(i)} g^{(n-i)}) = T({n \choose i}) +T(g^{(i)} g^{(n-i)}) + T(x \cdot y) = T({n \choose i})+2[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T({n \choose i} g^{(i)} g^{(n-i)}) = T({n \choose i}) +T(g^{(i)} g^{(n-i)}) + T(x \cdot y) = T({n \choose i})+2 "T({n \choose i} g^{(i)} g^{(n-i)}) = T({n \choose i}) +T(g^{(i)} g^{(n-i)}) + T(x \cdot y) = T({n \choose i})+2")
![[tex]T({n \choose i}) = T({n! \over i!}) + T((n-i)!) +T({x \over y}) = (n-i-1) +(n-i-2) +1=2n-2i-2[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T({n \choose i}) = T({n! \over i!}) + T((n-i)!) +T({x \over y}) = (n-i-1) +(n-i-2) +1=2n-2i-2 "T({n \choose i}) = T({n! \over i!}) + T((n-i)!) +T({x \over y}) = (n-i-1) +(n-i-2) +1=2n-2i-2")
![[tex]T({n \choose i} g^{(i)} g^{(n-i)}) = 2n-2i=2(n-i)[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T({n \choose i} g^{(i)} g^{(n-i)}) = 2n-2i=2(n-i) "T({n \choose i} g^{(i)} g^{(n-i)}) = 2n-2i=2(n-i)")
Поэтому, в целом,
![[tex]T(G_n^{2\diamondsuit}) = \sum_{j=1}^{n-1} 2(n-i) = 2 \sum_{j=1}^{n-1} (n-i) =2(1+ 2 +\dots +n-1)=2{(n-1)(n-1+1) \over 2}=n(n-1)[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T(G_n^{2\diamondsuit}) = \sum_{j=1}^{n-1} 2(n-i) = 2 \sum_{j=1}^{n-1} (n-i) =2(1+ 2 +\dots +n-1)=2{(n-1)(n-1+1) \over 2}=n(n-1) "T(G_n^{2\diamondsuit}) = \sum_{j=1}^{n-1} 2(n-i) = 2 \sum_{j=1}^{n-1} (n-i) =2(1+ 2 +\dots +n-1)=2{(n-1)(n-1+1) \over 2}=n(n-1)")
Для вычисления всей последовательности![[tex]G^{2\diamondsuit}[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?G^{2\diamondsuit} "G^{2\diamondsuit}")
нужно времени
![[tex]T(G^{2\diamondsuit})=\sum_{k=1}^n n(n-1),[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?T(G^{2\diamondsuit})=\sum_{k=1}^n n(n-1), "T(G^{2\diamondsuit})=\sum_{k=1}^n n(n-1),")
примерно ![[tex]{n^3\over 3}[/tex]](https://latex.codecogs.com/png.latex?{n^3\over 3} "{n^3\over 3}")
... Допишу потом.
Тогда время вычисления производной заданного порядка равно:
В частности, по составляющим,
Вычисление свёртки степени
В частности,
Поэтому, в целом,
Для вычисления всей последовательности
... Допишу потом.