Монголы и Русь и Иран и другие страны.

[Nevik Xukxo]

А в чем разница?

В преемственности. Хотя в отношении очень близких идиомов, наверное, строгую преемственность сложно выстроить, потому что они наползают друг на друга.

[Agabazar]

Как тогда османам удалось распространить турецкий на превосходящие по численности народы?

Превосходящие — в каком смысле?
Тут имеет значение ситуация  в локальных, пусть небольших,  сообществах.  А дальше уже — принцип домино начинает действовать.

[true]

Есть какие-нибудь конкретные цифры, хотя бы исторические свидетельства о численности монголов в войске Чингизхана, Батыя, Джучи.

Кажется, Рашид-ад-дин описывал как Чингиз разделил войско среди наследников. Хан получил около ста тысяч, остальные братья по пять. Плюс родне (вместе взятой) - пять. Итого 120 тысяч. Но это емнип.

[Bhudh]

Например, вот здесь: https://www.etymonline.com/word/*wer-?ref=etymonline_crossreference (в статье *wer- (2)), похоже, производные обоих корней свободно перемешаны (а то и трёх  корней).

Что-то не увидел. После «is provided by:» приведены рефлексы только корня *wert-.

[Lodur]

Например, вот здесь: https://www.etymonline.com/word/*wer-?ref=etymonline_crossreference (в статье *wer- (2)), похоже, производные обоих корней свободно перемешаны (а то и трёх  корней).

Что-то не увидел. После «is provided by:» приведены рефлексы только корня *wert-.

А после «It forms all or part of:» явно рефлексы и других корней: verbena, vermeil, vermin, warp, worm, wrap, wry (список неполный, наобум выбрал).

[Bhudh]

Это уже, похоже, тараканы создателя OED.

[bvs]

Возможно, жили и кто-нибудь ещё. Поэтому идеи, что всякие барласы\джалаиры\и т. д. были монголами, надо, имхо, перепроверять. Да, они пришли из чингисхановой Монголии, но где гарантии, что они вообще говорили на монгольских языках, а не на тюркских, тунгусо-маньчжурских или ещё каких-либо?

Барласы и джалаиры скорее всего были монголоязычными. Вот с кереитами и найманами сложнее.

[bvs]

Явно исконное слово с корнем от глагола "вертеть"

Тогда было бы *ковьртъ.