Роутер/раутер

[Andrej82]

Американцы говорят "раутер", потому что "route" (маршрут, дорога, путь) они тоже чаще произносят как "раут", чем как "рут".  Даже галлицизм "en route", часто используемый для краткости сообщений, особенно по рации и в околополицейских сводках, произносится как "эн раут".  (Только совсем интеллигенты говорят "ан рут"; простой полицеский по рации так не скажет.)

Соответственно, русскоязычные иммигранты в США и Канаде тоже говорят "раутер".  В России обычно говорят "роутер".

[Pogrebnoj-Alexandroff]

Применимы все варианты. 

Электронно-техническое средство для разделения и перенаправления интернет-сигнала -- англ. router (произн. раутер) от англ. route "маршрут" + суфф. -er -- в русском синонимичном соответствии конечно же именуется "маршруторизатор", однако в профессионально-диалектическом употреблении и обороте слов и терминов, также может произноситься и как "раутер" (согласно речевому заимствованию), и как "роутер" (по транслитерации текстов технических справочников и иностранной литературы).