Теория о кубике Рубика; система нотации и определения

[Тайльнемер]

а нижними индехсами буду обозначать кол-во повторов

Если бы я придумывал нотацию, я бы обозначил это через верхний индекс (т. е. степень), как принято в алгебре. Точно так же и двойной поворот.

R² U R U R' U' R' U' R' U R'  z² R U' R U R U R U' R' U' R² x (M² U²)²

[Вадимий]

Точно так же и двойной поворот.

Кстати, где-то видел такое...

Если бы я придумывал нотацию, я бы обозначил это через верхний индекс (т. е. степень), как принято в алгебре

Что-то мне не очень нравится, можно попробовать,  в принципе...

z²

Ох, как-то, по-моему, перехват с верхним индексом не очень хорошо выглядит...

[Вадимий]

Вообще при любом натуральном x справедливо это равенство:

F (R U R' U')_x F'= F (U R U' R')_6-x F' = Fw (R U R' U')_6-x Fw' y2= Fw (U R U' R')_x Fw' y2

Если ввести определение, что алгоритм* — это развёрнутый наоборот алгоритм (тогда x+x*=0; давайте нулём обозначать алгоритм, в котором ничего в кубике не меняется), i — число повторений алгоритма с исходной позиции, от которого кубик собирается (например, для пиф-пафа i=6; давайте введём такое обозначение: (алгоритм).i=i, например, (R U R' U').i=6, (R).i=4), то тогда логично будет предположить, что алгоритм_-x=алгоритм*_x.

Вообще, у меня в голове не очень большая теоретическая база, которую, видимо, придётся сюда выкладывать.

Придётся ввести ещё два определения (для удобства записей и доказательств): пусть суммой алгоритмов будет называться алгоритм, составленный из алгоритмов-слагаемых (понятно, что в данном случае операция суммы некоммутативна; будем обозначать плюсом) и разности (x-y=x+y*).
Так вот, докажем, что алгоритм_-x=алгоритм*_x.

Очевидно (по определению), что x_y+x_z=x_y+z, где x - алгоритм, а y и z - целые числа.
По определению также x₀=0, где x - любой алгоритм.
x_y+*x_y=0, где x - любой алгоритм, y - целое число
Также x_y+x_-y=x₀=0, следовательно, *x_y=x_-y, q. e. d.

Итого, то равенство справедливо при любом целом x.
Эхх, придётся под это отдельную тему делить

[Тайльнемер]

Вадимий, вы настоящий алгебраист!

алгоритм* — это развёрнутый наоборот алгоритм

У вас уже есть обозначение через штрих, так что символ «звёздочка» — лишний.
Например: (R U R' U')' = U R U' R'

пусть суммой алгоритмов будет называться алгоритм, составленный из алгоритмов-слагаемых (понятно, что в данном случае операция суммы некоммутативна; будем обозначать плюсом)

Такая операция называется композицией. Символ операции можно не писать (что и делается в нотации кубика рубика). Просто A B обозначает композицию A и B.

[Вадимий]

У вас уже есть обозначение через штрих, так что символ «звёздочка» — лишний.
Например: (R U R' U')' = U R U' R'

О, правильно!

Такая операция называется композицией. Символ операции можно не писать (что и делается в нотации кубика рубика). Просто A B обозначает композицию A и B.

[Вадимий]

Выделю, пожалуй; ещё надо выяснить число i для любого алгоритма; вообще-то визуально это делать я уже научился, но можно упростить как-то, видимо.

[Вадимий]

Например: (R U R' U')' = U R U' R'

через что легко доказать, что

F (R U R' U')_x F'= F (U R U' R')_6-x F'

, но вот следующее за этим выражение

F (R U R' U')_x F'= F (U R U' R')_6-x F' = Fw (R U R' U')_6-x Fw' y2= Fw (U R U' R')_x Fw' y2

тоже, кажется, можно доказать чисто теоретически.

[Тайльнемер]

давайте нулём обозначать алгоритм, в котором ничего в кубике не меняется

Обычно, когда рассматривают группы подстановок с операцией композиции, то такой элемент называют единичным и обозначают 1 или e или Id (от identity).

i — число повторений алгоритма с исходной позиции, от которого кубик собирается

А это число в теории групп называется порядком элемента (в данном случае — порядком алгоритма).
Порядок алгорима A обозначается ord A

A^{ord A} = e

[Тайльнемер]

Вообще группой называется непустое  множество G с определённой на нём бинарной операцией, которая удовлетворяет трём условиям:
1) ассоциативность;
2) наличие нейтрального элемента;
2) Наличие обратного элемента для каждого элемента группы.

В нашем случае множеством G будет множество всех (достижимых из начальной позиции) позиций кубика Рубика. Или, что то же самое, множество всех алгоритмов; при этом алгоритмы, дающие одинаковый результат считаются равными (то есть являются одним и тем же элементом группы).
Здесь возникает вопрос: считать ли перехват кубика изменением его позиции? Можно считать, а можно и не считать. Во втором случае у нас будет множество поменьше, чем в первом. Давайте обозначим большое множество G, а маленькое, скажем, G₀. Далее будем рассматривать их оба.

Операция, определённая на этом множестве — это композиция алгоритмов. Если a и b — два алгоритма, то их композиция — a b — это алгоритм, состоящий из выполнения a и, затем, выполнения b.

Посмотрим, выполняются ли свойства 1—3:
1) Ассоциативность — это независимость результата от порядка применения операции (т. е. от «расстановки скобок»). Для любых элементов a, b и c должно выполняться равенство: (a b) c = a (b c).
В нашем случае это, очевидно, так: как (a b) c, так и a (b c) обозначают одну и ту же последовательность действий над кубиком.
2) Нейтральным элементом группы называется такой элемент e, что для любого элемента a выполняется: a e = e a = a.
В случае с кубиком нейтральным элементом будет алгоритм, ничего с кубиком не делающий.
3) Элемент b называется обратным элементу a, если a b = b a = e. В группе каждый элемент должен иметь обратный.
В нашем случае для любого алгоритма есть развёрнутый наоборот алгоритм, который возвращает кубик в исходное положение.

Таким образом, множество алгоритмов кубика составляет группу.

Обратный элемент для элемента a обозначается a⁻¹, хотя в нотации кубика Рубика принято писать a' (так короче).

Степень элемента определяется следующим образом:
a⁰ = e;
aⁿ⁺¹ = a aⁿ, для натуральных n;
a⁻ⁿ = (a⁻¹)ⁿ, для натуральных n.
(Например, a⁻⁴ — это алгоритм, обратный к a, сделанный 4 раза.)

Порядок элемента a (обозн.: ord a) — это минимальное натуральное число n, такое что aⁿ = e.

Порождающим множеством называется такое подмножество группы, что любой элемент группы можно получить композицией некоторых степеней элементов порождающего множества.
Например, множество {L, M, R, D, E, U, B, S, F} всех поворотов граней и средних слоёв является порождающим для группы G.
А множество {L, R, D, U, B, F} всех поворотов граней является порождающим для группы G₀.

Подмножество группы, само являющееся группой, называется подгруппой.
Рассмотрим, например, нашу группу G и множество всех перехватов H в нём. Множество перехватов содержит композиции всех своих элементов, м условия 1—3 выполняются для неё, значит H — это подгруппа G (пишут: H ⩽ G).

Наименьшая подгруппа, содержащая множество {a₁, ..., a_n}, называется подгруппой, порорждённой этим множеством, и обозначается ‹a₁, ..., a_n›.
Например, H = ‹x, y›.

[Вадимий]

Спасибо! (Несмь подкован в матчасти; меня Арсений подковывал, но подковы отлетели уже

Здесь возникает вопрос: считать ли перехват кубика изменением его позиции? Можно считать, а можно и не считать. Во втором случае у нас будет множество поменьше, чем в первом. Давайте обозначим большое множество G, а маленькое, скажем, G₀. Далее будем рассматривать их оба.

Однако любой алгоритм, выполненный с перехватами, исключая перехваты в самом конце, и при помощи движений из множества {L, R, D, U, B, F}  (как приятно, что можно не печатать самому, а копировать! ), можно представить в виде алгоритма из моножества  {L, R, D, U, B, F} без перехватов; а любой алгоритм с движениями {L, M, R, D, E, U, B, S, F} можно представить в виде алгоритма с движениями  {L, R, D, U, B, F}  и перехватами, из чего, конечно же, следует, что любой алгоритм в кубике 3x3 можно представить в виде алгоритма с движениями  {L, R, D, U, B, F}; проблема в перехватах в конце — собственно ориентация кубика Рубика после окончания алгоритма.  (типа B U z). стандартная позиция (например, при скрамблинге на соревнованиях) — фронтальная стороа зелёная,а верхняя — белая (в случае нестандартных расцветок верхняя — наиболее светлая, фронтальная — наиболее тёмная).
Можно положить кубик любой стороной к себе, а их шесть, и одной из четырёх прилегающих вверх, а их четыре; т.е. G₀*6*4=G₀*24=G

Давненько не случалось перечитывать одного и того же текста по десять раз

Скоро напишу единственный известный мне способ определить порядок данного алгоритма, не повторяя его, пока не соберётся; порядок довольно очевиден, но придётся мне въезжать самому и других приглашать въезжать в (не особо сложные) понятия из слепой сборки