Нумерация с нуля

[Drundia]

Есть набор функций {f', f'', f''',...}

Есть набор функций {f, f', f'', f''',...}.

[Квас]

Есть набор функций {f', f'', f''',...}

Есть набор функций {f, f', f'', f''',...}.

Нет. Функция f не является производной, и в счёте производных не участвует.

[arseniiv]

На самом деле тут всё из-за того, что невозможно выбрать между floor и ceiling единственно правильный вариант.

[Квас]

На самом деле тут всё из-за того, что невозможно выбрать между floor и ceiling единственно правильный вариант.

floor и ceiling ни при чём, потому что они определены для вещественных чисел, которые в принципе применяются гораздо реже, чем натуральные.

[arseniiv]

Я о назывании интервалов между 0:00 и 1:00.

[Квас]

Я о назывании интервалов между 0:00 и 1:00.

Интервалы — это те же самые вагоны, или столы, или камни. Лепить сюда действительные числа — лишнее.

[Drundia]

Нет. Функция f не является производной, и в счёте производных не участвует.

Да-да, а числа n и 1 не являются степенями числа n.

[Квас]

Нет. Функция f не является производной, и в счёте производных не участвует.

Да-да, а числа n и 1 не являются степенями числа n.

Вы думаете, я не знаю, что существует соглашение считать функцию f своей нулевой производной? Это в самом деле не более чем удобное соглашение (которое, кстати сказать, всегда отдельно оговаривается). А ещё говорят, что функции из гёльдеровского пространства имеют полторы производные — что ж теперь, делать многозначительные выводы о том, что дробные числа используются для счёта предметов? Или, если угодно, элементарный пример со степенями: число 3 тоже является степенью числа 2 (иррациональной, правда), и что с того?

[Drundia]

Если что, то я имел в виду целочисленные степени.

Это в самом деле не более чем удобное соглашение (которое, кстати сказать, всегда отдельно оговаривается).

Зачем? Разве оно не вытекает из того, что m-ая производная от n-ой производной функции f — (m+n)-ая производная функции f? Конечно, можно требовать положительности m и n (и потом отдельно оговаривать), а можно просто обойтись неотрицательностью (и ничего оговаривать не нужно). КО говорит, что надо ещё вспомнить факториал нуля.

[Квас]

Если что, то я имел в виду целочисленные степени.

А почему вы ограничиваетесь только целочисленными? Ведь уже целочисленная степень определяется в три приёма: натуральная как произведение некоторого числа одинаковых сомножителей, нулевая, которая по определению равна 1, и отрицательная, которая определяется как обратная к положительной. Если работать со степенями положительных чисел, то почему останавливаться и не определить рациональную, а затем иррациональную степени и доказать для них свойства, выполняющиеся для натуральной?

Это в самом деле не более чем удобное соглашение (которое, кстати сказать, всегда отдельно оговаривается).

Зачем? Разве оно не вытекает из того, что m-ая производная от n-ой производной функции f — (m+n)-ая производная функции f?

Не вытекает, потому что m-я и n-я производная определяются для положительных m и n. Какое определение? Производной функцией функции f:U→R  называется функция

Видите, никаких чисел пока нет: есть функция, и есть производная функция. Потом говорят: производная производной называется второй производной; производная k-й производной — (k+1)-й производной (k=1,2,...). Нулевая производная никак сюда не вписывается, и её надо определять отдельно.

КО говорит, что надо ещё вспомнить факториал нуля.

КО говорит, что факториал определён и для иррациональных чисел (с помощью гамма-функции). И добавляет, что не следует всякому математическому соглашению придавать мировоззренческий статус.

[Drundia]

Ведь уже целочисленная степень определяется в три приёма: натуральная как произведение некоторого числа одинаковых сомножителей, нулевая, которая по определению равна 1, и отрицательная, которая определяется как обратная к положительной.

Целочисленную определяйте хоть рекурсивно. x⁰=1, xⁿ=x*x^n-1.

Не вытекает, потому что m-я и n-я производная определяются для положительных m и n.

Просто неудобное соглашение.

Потом говорят: производная производной называется второй производной; производная k-й производной — (k+1)-й производной (k=1,2,...). Нулевая производная никак сюда не вписывается, и её надо определять отдельно.

Она не вписывается, потому что вы искусственно решаете 0 туда не ставить. А потом приходится эту глупость компенсировать другой. Ничто не мешает разрешить k=0 и даже разрешить ему быть отрицательным. Минус четвёртая относительно минус пятой и первая относительно нулевой ничем не отличается от десятой относительно девятой.

[Квас]

Ведь уже целочисленная степень определяется в три приёма: натуральная как произведение некоторого числа одинаковых сомножителей, нулевая, которая по определению равна 1, и отрицательная, которая определяется как обратная к положительной.

Целочисленную определяйте хоть рекурсивно. x⁰=1, xⁿ=x*x^n-1.

Можно. Однако это определение более узко по кругу охватываемых им алгебраических структур.

Потом говорят: производная производной называется второй производной; производная k-й производной — (k+1)-й производной (k=1,2,...). Нулевая производная никак сюда не вписывается, и её надо определять отдельно.

Она не вписывается, потому что вы искусственно решаете 0 туда не ставить. А потом приходится эту глупость компенсировать другой. Ничто не мешает разрешить k=0 и даже разрешить ему быть отрицательным. Минус четвёртая относительно минус пятой и первая относительно нулевой ничем не отличается от десятой относительно девятой.

Mon Dieu. Я же напомнил вам определение всех производных. Как вы в это определение собираетесь засунуть нулевую производную? А того пуще минус четвёртую? (Мало того, что вы определяете минус четвёртую через не существующую минус пятую, так и производных-то таких не бывает.)

[Drundia]

Можно. Однако это определение более узко по кругу охватываемых им алгебраических структур.

Какие же из целочисленных степеней мы так не определяем?

Mon Dieu. Я же напомнил вам определение всех производных. Как вы в это определение собираетесь засунуть нулевую производную? А того пуще минус четвёртую? (Мало того, что вы определяете минус четвёртую через не существующую минус пятую, так и производных-то таких не бывает.)

Вы представили определение f'
А дальше рекурсия f⁽ⁿ⁾=(f^(n-1))'

[Квас]

Целочисленную определяйте хоть рекурсивно. x⁰=1, xⁿ=x*x^n-1.

Дело ещё в чём. Одно дело — содержательная сторона, другое дело — формализация, или implementation. Например, ничто не мешает мне определить экспоненту как сумму ряда

не только для целых, но единообразно для всех комплексных показателей. Однако «архетипом» для всяких степеней служат именно произведение одинаковых множителей. Хорошо, когда есть хорошее топологическое пространство комплексных чисел — вон какую можно определить экспоненту; однако при минимальных алгебраических требованиях (полугруппа без единицы) мы остаёмся там, откуда всё начиналось: натуральная степень, равная произведению одинаковых множителей.

[Квас]

Mon Dieu. Я же напомнил вам определение всех производных. Как вы в это определение собираетесь засунуть нулевую производную? А того пуще минус четвёртую? (Мало того, что вы определяете минус четвёртую через не существующую минус пятую, так и производных-то таких не бывает.)

Вы представили определение f'
А дальше рекурсия f⁽ⁿ⁾=(f^(n-1))'

Хе-хе.



...
Зациклилась, однако, рекурсия.

[Drundia]

Однако «архетипом» для всяких степеней служат именно произведение одинаковых множителей.

Да, началось всё просто. Но степени далеко от этого ушли.

Зациклилась, однако, рекурсия.

Однако нет. Что вас не устраивает в том, что отрицательные производные — это банальные интегралы?

[Bhudh]

Что вас не устраивает в том, что отрицательные производные — это банальные интегралы?

То, что из формулы производной формулу первообразной не вывести.
Вам известно, что существуют интегралы, не берущиеся (в отличие от производных) в элементарных функциях?

[Drundia]

То, что из формулы производной формулу первообразной не вывести.

Это другая проблема.

Вам известно, что существуют интегралы, не берущиеся (в отличие от производных) в элементарных функциях?

Ну не берутся, и что?

[Bhudh]

Ну и как Вы рекурсивно выведите Вашу ƒ⁽⁻¹⁾ из ƒ⁽⁰⁾ и ƒ⁽¹⁾, если интеграла не существует?

[Тайльнемер]

Множество состоит из k предметов в точности тогда, когда оно равномощно множеству {1,...,k}, и всякая биекция является нумерацией элементов множества; предмет с номером i называется i-м.

Множество состоит из предметов в точности тогда, когда оно равномощно множеству , и всякая биекция является нумерацией элементов множества; предмет с номером называется -м.

[Drundia]

Ну и как Вы рекурсивно выведите Вашу ƒ⁽⁻¹⁾ из ƒ⁽⁰⁾ и ƒ⁽¹⁾, если интеграла не существует?

А что её выводить?



Или, если хотите, можно определённый интеграл заменить суммой пределов.

[Марбол]

Здравствуйте!

Гагарин — нетошный космонавт.
Титов — первый космонавт.
Николаев — второй космонавт.

Квас, кстати, можете интерпретировать моё высказывание о Колмогорове ("абсолютный нуль", в теме о советских учёных) в этом ключе: как №1.

[Квас]

А что её выводить?



Или, если хотите, можно определённый интеграл заменить суммой пределов.

Хе-хе. А почему не

? Если F — первообразная для f, то внезапно F и F+1 оказываются в том же отношении к f, что f к f'.

Вообще, изобретать всякие отрицательные производные — студенческое занятие.

[Bhudh]

Ага. Как в онегдоте про блондинку: «+ константа!»

[Drundia]

Хе-хе. А почему не

? Если F — первообразная для f, то внезапно F и F+1 оказываются в том же отношении к f, что f к f'.

А вот потому что! Я внезапно понимаю, что есть вредное неопределённое +C, но оно нам совершенно не нужно, мы ведь выбираем такое x₀, что f^(-1)(x₀)=0, чем ваша +C и симулируется если так надо.

Вообще, изобретать всякие отрицательные производные — студенческое занятие.

Вероятно в своё время про теорию относительности так тоже кто-то говорил...