геометрия сферы в линейных 3D (x; y; z) координатах.

[Alexandra A]

Какое уравнение имеет окружность в 3-мерном пространстве, в линейных 3D координатах?

Как определить линейное (по прямой!) расстояние в линейных 3D координатах между двумя точками на сфере?

И дополнительный вопрос: какое уравнение имеет прямая в пространстве?

[Alexandra A]

Как определить линейное (по прямой!) расстояние в линейных 3D координатах между двумя точками на сфере?

Вообще не совсем хороший вопрос.

Перевести сферические координаты (в углах) в линейные координаты - это не проблема.

Вопрос должен звучать так: как определить расстояние между двумя точками в пространстве, в линейных координатах? (то что две точки находятся на одной сфере - это другой вопрос).

[Тайльнемер]

Расстояние между двумя точками и вычисляется по теореме Пифагора: .

Уравнение прямой а пространстве:

где — точка на прямой, — вектор, направленный вдоль прямой.

Уравнение окружности а пространстве:

где — центр окружности, — вектор, нормальный к плоскости окружности, — радиус окружности.
(Первое уравнение задаёт плоскость, второе — сферу с центром на этой плоскости. Их пересечение — это окружность)

[maristo]

Канонические уравнения мне всегда казались неудобоваримыми.

[Alexandra A]

Расстояние между двумя точками и вычисляется по теореме Пифагора:

Это я потом сама в уме вывела (вспомнив теорему Пифагора).

Уравнение прямой а пространстве:

где — точка на прямой, — вектор, направленный вдоль прямой.

Я не понимала в школьном курсе что такое вектор.

Я помню что уравнение прямой на плоскости - это y = ax +b (кажется). А вот как в пространстве... Неужели нельзя обойтись без вектора?

[Alexandra A]

И вообще... Я надеялась, что вот эти формулы помогут мне в решении моей задачи (для себя, сама придумала).
Но надежды были направсные, я вряд ли пойму эти формулы.

Задача: даны две точки на поверхности Земли, с широтой и долготой.
Найти окружность на которой будут располагаться все точки, равноудалённые от двух данных. Чтобы можно было найти координаты любой точки подобной окружности (Планета Земля - идеальный шар).

[Ильич]

Расстояние между двумя точками и вычисляется по теореме Пифагора:

Это я потом сама в уме вывела (вспомнив теорему Пифагора).

Вообще-то удобней считать эту формулу определением расстояния. Иначе длину отрезка замучаешься определять. Пифагор, кстати, это первым понял.

[Mewok kuwok]

Задача: даны две точки на поверхности Земли, с широтой и долготой.
Найти окружность на которой будут располагаться все точки, равноудалённые от двух данных. Чтобы можно было найти координаты любой точки подобной окружности (Планета Земля - идеальный шар).

Формулы записать не смогу (не помню их), а основная идея в следующет. ГМТ, равноудалённых от двух данных - плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего их и перпендикулярная этому отрезку. Соответственно, надо записать уравнение этой плоскости, уравнение шара (начало координат в его центр отправить) и решить систему.

[Ильич]

Неужели нельзя обойтись без вектора?

Запросто. Вы просто забудьте, что это координаты вектора. Просто три числа a, b и c.

[Alexandra A]

Уравнение прямой а пространстве:

где — точка на прямой, — вектор, направленный вдоль прямой.

Уравнение окружности а пространстве:

где — центр окружности, — вектор, нормальный к плоскости окружности, — радиус окружности.
(Первое уравнение задаёт плоскость, второе — сферу с центром на этой плоскости. Их пересечение — это окружность)

Почему тут употребляется x-ноль?

Я помню из школьного учебника что праямая на плоскости - это просто y = ax + b, без какого-либо x-ноль.

В общем - я вообще запуталась.

[Alexandra A]

Задача: даны две точки на поверхности Земли, с широтой и долготой.
Найти окружность на которой будут располагаться все точки, равноудалённые от двух данных. Чтобы можно было найти координаты любой точки подобной окружности (Планета Земля - идеальный шар).

Формулы записать не смогу (не помню их), а основная идея в следующет. ГМТ, равноудалённых от двух данных - плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего их и перпендикулярная этому отрезку. Соответственно, надо записать уравнение этой плоскости, уравнение шара (начало координат в его центр отправить) и решить систему.

Если даны две точки на плоскости, то место точек равноудалённых от двух - это прямая, которую можно задать уравнением типа y = 2x + 3 или y = 3x + 4.

А вот если я дам координаты (широту и долготу) двух точек на поверхности Земли.... Я хочу получить уравнение/уравнения окружности на которой будут расположены точки удалённые от двух данных.

Например: найдите окружность где расположены все точки удалённые от Мадрида и Франкфурта на Майне. Формулу! (Или формулы)

[Марбол]

Здравствуйте!

Попробую и я свои соображения написать. Допустим, город А имеет абсолютные декартовы координаты (xA, yA, zA), а город B - аналогичные координаты (xB, yB, zB). Значит, искомые точки (x, y, z) сферы должны соответствовать двум уравнениям:

1)   x² + y² + z² = R² - здесь R - радиус земного шара; точки должны быть на расстоянии R от центра Земли; под это уравнение подходят и точки A, B;

2)   (x - xA)² + (y - yA)² + (z - zA)² = (x - xB)² + (y - yB)² + (z - zB)² - квадраты расстояний от искомой точки до точек А и B должны быть равны один другому.

Теперь Вы можете раскрыть скобки в уравнении (2) и получите, что

2*xA*x + 2*yA*y + 2*zA*z = 2*xB*x + 2*yB*y + 2*zB*z.

Остальные слагаемые выброшены, потому что они дают и в левой, и в правой частях равенства одно и то же слагаемое вида R² + R².

Окончательно, получаем:

3)   (xA - xB)*x + (yA - yB)*y + (zA - zB)*z = 0.

Задав две координаты из трех, Вы сразу вычислите третью. Поскольку это должны быть не любые точки, а только подходящие под уравнение (1), то какую-нибудь координату (например, z) можно по уравнению (3) или (1) выразить через две другие: x и y, - а тогда получится связь только между x и y. То есть, задав x, вычислим y, а потом - и z.

[Mewok kuwok]

Александра просила уравнение окружности, а у вас ни одного квадрата.

[Ильич]

Александра просила уравнение окружности, а у вас ни одного квадрата.

Квадраты в первом уравнении.
То есть, решение дано в виде системы двух уравнений: первого и последнего.

[Ильич]

Тут непонятно другое.
Alexandra A, скорей всего не сможет воспользоваться этим верным решением, раз её даже нолик в виде индекса смущает. Так что непонятно, что ей нужно получить. Список городов?

[Alexandra A]

Я не поняла зачем x-ноль в уравнении прямой.

А x-ноль в уравнении окружности - это центр шара? Так он не нужен - понятно что центр шара находится в точке 0.

[Ellidi]

Здравствуйте!

Попробую и я свои соображения написать. Допустим, город А имеет абсолютные декартовы координаты (xA, yA, zA), а город B - аналогичные координаты (xB, yB, zB). Значит, искомые точки (x, y, z) сферы должны соответствовать двум уравнениям:

1)   x² + y² + z² = R² - здесь R - радиус земного шара; точки должны быть на расстоянии R от центра Земли; под это уравнение подходят и точки A, B;

2)   (x - xA)² + (y - yA)² + (z - zA)² = (x - xB)² + (y - yB)² + (z - zB)² - квадраты расстояний от искомой точки до точек А и B должны быть равны один другому.

Теперь Вы можете раскрыть скобки в уравнении (2) и получите, что

2*xA*x + 2*yA*y + 2*zA*z = 2*xB*x + 2*yB*y + 2*zB*z.

Остальные слагаемые выброшены, потому что они дают и в левой, и в правой частях равенства одно и то же слагаемое вида R² + R².

Окончательно, получаем:

3)   (xA - xB)*x + (yA - yB)*y + (zA - zB)*z = 0.

Задав две координаты из трех, Вы сразу вычислите третью. Поскольку это должны быть не любые точки, а только подходящие под уравнение (1), то какую-нибудь координату (например, z) можно по уравнению (3) или (1) выразить через две другие: x и y, - а тогда получится связь только между x и y. То есть, задав x, вычислим y, а потом - и z.

А вот если я дам координаты (широту и долготу) двух точек на поверхности Земли.... Я хочу получить уравнение/уравнения окружности на которой будут расположены точки удалённые от двух данных.

Например: найдите окружность где расположены все точки удалённые от Мадрида и Франкфурта на Майне. Формулу! (Или формулы)

Александре придется еще перейти из сферических координат (широта, долгота, радиус) в декартовы и учесть, что углы в формулах преобразований 0 ≤ θ ≤ π и 0 ≤ φ < 2π . Так например если Северный полюс лежит на положительной оси z, угол θ Порту-Алегри (примерно 30° ю. ш.) будет не -π/6, а 2π/3.

[Марбол]

Я не поняла зачем x-ноль в уравнении прямой.

Потому, что одно и то же линейное выражение можно записать в двух видах:

ax+b

или

ax+ax₀ = a(x-x₀).

Во втором случае всего-навсего вынесено а за скобку.

[Mihailov]

Задача: даны две точки на поверхности Земли, с широтой и долготой.
Найти окружность на которой будут располагаться все точки, равноудалённые от двух данных. Чтобы можно было найти координаты любой точки подобной окружности

Обозначим широту ваших двух заданных точек - φ1 и φ2 , долготу - λ1 и λ2.
Широту и долготу искомых точек на равноудаленной окружности - φ и λ без индексов.
φ и λ связаны уравнением:

tg φ(sinφ2-sinφ1) = cosλ (cosφ1cosλ1-cosφ2cosλ2)+sinλ (cosφ1sinλ1-cosφ2sinλ2)

В правой части варьируете долготу λ (остальные величины там фиксированные), делите результат на разность sinφ2-sinφ1, получаете на выходе тангенс широты.

[Alexandra A]

Задача: даны две точки на поверхности Земли, с широтой и долготой.
Найти окружность на которой будут располагаться все точки, равноудалённые от двух данных. Чтобы можно было найти координаты любой точки подобной окружности

Обозначим широту ваших двух заданных точек - φ1 и φ2 , долготу - λ1 и λ2.
Широту и долготу искомых точек на равноудаленной окружности - φ и λ без индексов.
φ и λ связаны уравнением:

tg φ(sinφ2-sinφ1) = cosλ (cosφ1cosλ1-cosφ2cosλ2)+sinλ (cosφ1sinλ1-cosφ2sinλ2)

В правой части варьируете долготу λ (остальные величины там фиксированные), делите результат на разность sinφ2-sinφ1, получаете на выходе тангенс широты.

Спасибо!

Кажется, это то что мне нужно.

[Alexandra A]

Задача: даны две точки на поверхности Земли, с широтой и долготой.
Найти окружность на которой будут располагаться все точки, равноудалённые от двух данных. Чтобы можно было найти координаты любой точки подобной окружности

Обозначим широту ваших двух заданных точек - φ1 и φ2 , долготу - λ1 и λ2.
Широту и долготу искомых точек на равноудаленной окружности - φ и λ без индексов.
φ и λ связаны уравнением:

tg φ(sinφ2-sinφ1) = cosλ (cosφ1cosλ1-cosφ2cosλ2)+sinλ (cosφ1sinλ1-cosφ2sinλ2)

В правой части варьируете долготу λ (остальные величины там фиксированные), делите результат на разность sinφ2-sinφ1, получаете на выходе тангенс широты.

Я ещё не пробовала решать...

Это уравнение можно решать, ни разу не вычисляя синусы и косинусы? А только делая перобразования типа cos 90 sin 80 - cos 70 sin 120 = cos...

Или нужно обязательно вычислять числовые значения косинусов широты и долготы, а потом из полученного обычного числа получить тангенс искомого угла, и потом сам угол (гироту)?

[Mihailov]

Или нужно обязательно вычислять числовые значения косинусов широты и долготы, а потом из полученного обычного числа получить тангенс искомого угла, и потом сам угол (гироту)?

Именно так. Обязательно вычислять. Если у вас есть Excel в компьютере, он вам все посчитает, ваше дело только набрать колонку цифр с углами. Только Excel не понимает градусов, ему надо градусы переводить в радианы, а ответ переводить из радианов в градусы. Но и для этих дел есть там специальные функции.

[Alexandra A]

Задача: даны две точки на поверхности Земли, с широтой и долготой.
Найти окружность на которой будут располагаться все точки, равноудалённые от двух данных. Чтобы можно было найти координаты любой точки подобной окружности

Обозначим широту ваших двух заданных точек - φ1 и φ2 , долготу - λ1 и λ2.
Широту и долготу искомых точек на равноудаленной окружности - φ и λ без индексов.
φ и λ связаны уравнением:

tg φ(sinφ2-sinφ1) = cosλ (cosφ1cosλ1-cosφ2cosλ2)+sinλ (cosφ1sinλ1-cosφ2sinλ2)

a cos λ + b sin λ + c tg φ + d = 0

Это есть уравнение большой окружности на шаре? В географических координатах?

А как будет уравнение малой окружности (любой окружности которая меньше экватора, не важно как она наклонена к экватору и широтам)

?

[Mihailov]

Уравнение окружности в географических координатах:
cos(λ-λ0)cosφ0 cosφ=cosR-sinφ0 sinφ
λ и φ – координаты точек на окружности
λ0  и φ0 – координаты центра (здесь не получается представить нули в виде нижних индексов)
R – радиус окружности в угловых единицах.
Удобнее задавать сначала φ, затем вычислять λ, чем наоборот.

[Bias]

Векторы - это естественно. Особенно, когда линейные совйства на лицо.