Письмо о гиперкомплексных числах.

[Марбол]

Здравствуйте!

Я рассмотрел возможные коммутативные ассоциативные алгебры над множеством R⁴. Наверное, это тривиальные выкладки, но если вы укажете на недостатки, буду признателен.

[Dana]

Квадраты i и j суть векторы, что ли?

[Квас]

Чего-то не качается. А с Кантором—Солодовниковым как соотносится?

[arseniiv]

Квадраты i и j суть векторы, что ли?

Не суть.

[Квас]

Квадраты i и j суть векторы, что ли?

Наверно, да.

Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение. В теории гиперкомплексных систем стандартный базис четырёхмерной алгебры обычно обозначают 1, i, j, k.

[arseniiv]

Сильно не вчитывался. Думаю, вам бы подробнее написать про числа, не имеющие обратных. Ещё предлагаю поискать делители нуля.

Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение

А иногда и сокращение от алгебраической системы. В общем случае в ней могут быть всякие операции разной местности и даже предикаты.

Наверно, да.

Да нет же, это просто неудачное обозначение вариантов. Т. е. Марбол рассматривает 9 разных алгебр.

Важное замечание: вначале не определяется, что k = ji, но потом это используется. Однако из k = ij это ведь не следует.

[Квас]

Думаю, вам бы подробнее написать про числа, не имеющие обратных.

Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)

У Кантора—Солодовникова были какие-то теоремы о классификациях, я уж не помню.

[arseniiv]

Марбол, а вы сталкивались с геометрической алгеброй (geometric algebra)? Интересная штукенция, я так и не разобрался.

Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)

Скорее, второе, хотя я не очень понимаю, что за нормированные алгебры. Единица-то во всех этих есть: (1; 0; 0; 0).

P. S. А почему письмо, а не трактат?

[Квас]

Скорее, второе, хотя я не очень понимаю, что за нормированные алгебры. Единица-то во всех этих есть: (1; 0; 0; 0).

Единица — это ae = a = ea. В разных базисах она может иметь разные координаты.

Нормированная — в смысле существования такой нормы, что |uv|=|u||v| (для вещественных, комплексных чисел, кватернионов и октав это обычный модуль).

[arseniiv]

В разных базисах она может иметь разные координаты.

Алгебра — это векторное пространство, на котором задано билинейное умножение

А иногда и сокращение от алгебраической системы. В общем случае в ней могут быть всякие операции разной местности и даже предикаты.

Батюшки, быстрое цитирование сохраняет метаданные цитаты! С каких пор?

[hurufu]

А почему в таком б-го неугодном формате? У меня формулы отображаются некорректно .

[arseniiv]

Правильно. Марбол, перепишите в .

[Марбол]

Здравствуйте!

Квадраты i и j суть векторы, что ли?

Если называть векторами (четырехмерного пространства) числа вида, например, q = a + ib + jc + kd, то и число -1 = -1 + 0i + 0j + 0k, по-видимому.

Чего-то не качается. А с Кантором—Солодовниковым как соотносится?

Там коротко; в основном, перебираются выражения для компонент обратного 4-мерного вектора при различных сочетаниях значений квадратов мнимых единиц; умножение при этом определяется как коммутативное и ассоциативное.
О Канторе-Солодовникове я пока не читал.

Важное замечание: вначале не определяется, что k = ji, но потом это используется. Однако из k = ij это ведь не следует.

Нет-нет, я же пишу, что умножение мнимых единиц коммутативно: ij = ji.

Если рассматривать алгебры с единицей, то на R^4 она единственная — кватернионы. (Или это только для нормированных?)

Я не исключал систем с делителями нуля. А у кватернионов же умножение некоммутативное.

Марбол, а вы сталкивались с геометрической алгеброй (geometric algebra)? Интересная штукенция, я так и не разобрался.

Нет, я пока не знаю об этом.

P. S. А почему письмо, а не трактат?

Ну, трактат должен быть и пообъёмнее, и посерьёзнее.

[Марбол]

Здравствуйте!

Я забросил эту тему, но теперь буду добавлять в нее новые письма.