контрольная по математике 1 курс

Светлана1 · ноября 3, 2011, 08:28

Мне очень нужна ваша помощь ,в решении контрольной по математике первого курса
Задание 1.
Вычислите при каких действительных х и у числа z1=2х^2-iу-1-3/i и
z2=-у+х^2i-2i-3 будут равными

Задание 2.
Вычислите
| 2 -1 0 | | 3 1 2|
3A-B^2, если A= | 3 4 -2 | , B = | -2 1 3|
| -3 1 5 | | 0 2 4
|
Задание 3
Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами:
1) методом Гаусса;
2) по формулам Крамера:
система x+x+2x=2
x+2x+x=2
2x+x+x=1

Задание 4.
y=5x\4-x^2

Задание 5
Найдите частные производные первого порядка полный дифференциал функций и:
a) z=x^2+2xy+y^2 , Б) z=корень(y+3)+ x^2\2 в) z=cos(5x^2 -y)
г) y=x^3y+x^2 y^2-3yx^2+3y^2 д) z=( x^2 \корень(x^2+y) )+sin y

Задание 6
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями с помощью определенного интеграла (с точностью до 2-х знаков после запятой):

y=x^2 , y^2=8x

Квас · ноября 3, 2011, 09:26

Цитата: Вадимий от ноября 3, 2011, 09:10
А почему Вы с этим вопросом пришли на форум о лингвистике?

Потому что мы можем.

У меня гордость за ЛФ, что тут есть участники, привлечённые именно математикой.

Светлана, здравствуйте.

Вот чем мы можем вам помочь:
1) дать указания к решению того или иного задания;
2) проверить ответы.

Соответственно, я мог бы предложить вам следующее:
1) если есть конкретные вопросы — формулируйте;
2) если есть черновик решения — выкладывайте;
3) если непонятно, как делать то или иное задание — скажем, где почитать.

Математику попробуйте набирать в тегах [teх][/teх]. Если c TeXом вообще не дружите, можно и сканы выкладывать.

Успехов!

Светлана1 · ноября 3, 2011, 19:06

Задание1.
Вычислите при каких действительных х и у числа $[tex]z_1=2x^2-iy-1-\frac{3}{i}[/tex]$ , и $[tex]z_2=-y+x^2i-2i-3[/tex]$ будут равными ?
Решение:
$[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2-1=y-3 & & \\ 3-y=x^2-2 & & \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2=y-2 & & \\ 2x^2=10-2y & & \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2=y-2 & & \\ y=4 & & \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}y=4 & & \\x=\pm 1 & & \end{matrix}\right.[/tex]$

Задание2.
$[tex]3A-B^2[/tex]$ если $[tex]A=\begin{bmatrix}{2}-1\0 & & \\{3\4-2 & & \\ -3\1\5 & & \end{bmatrix}[/tex]$ , $[tex]B=\begin{bmatrix}3\1\2 & & \\ -2\1\3 & & \\ 0\2\4 & & \end{bmatrix}[/tex]$
Pешение:
$[tex]3*A=3*\begin{pmatrix}{2}-1\0 & & \\{3\4-2 & & \\ -3\1\5 & & \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{6}-3\0 & & \\{9\12-6 & & \\ -9\3\15 & & \end{pmatrix} , \mid 3*A\mid =\begin{vmatrix}{6}-3\0 & & \\{9\12-6 & & \\-9\3\15 & & \end{vmatrix}=6*12*15+(-3)*(-9)+9*3*0-0*(-9)*12+9*(-3)*15+3*(-6)*6=405[/tex]$
$[tex]B^2[/tex]$ я не знаю
Или матрицу в начале сложить ? а может нада по другому ?

Тайльнемер · ноября 5, 2011, 04:29

Цитата: Светлана1 от ноября 3, 2011, 19:06
Вычислите при каких действительных х и у числа $[tex]z_1=2x^2-iy-1-\frac{3}{i}[/tex]$ , и $[tex]z_2=-y+x^2i-2i-3[/tex]$ будут равными ?
Решение:
$[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2-1=y-3 & & \\ 3-y=x^2-2 & & \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2=y-2 & & \\ 2x^2=10-2y & & \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2=y-2 & & \\ y=4 & & \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}y=4 & & \\x=\pm 1 & & \end{matrix}\right.[/tex]$

Вы потеряли знак перед при записи первого уравнения системы.

$[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2-1=-y-3 \\ 3-y=x^2-2 \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2=-y-2 \\ 2x^2=10-2y \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}2x^2=-y-2 \\ y=12 \end{matrix}\right.[/tex]$ , $[tex]\left\{\begin{matrix}y=12 \\x=\pm i\sqrt{7} \end{matrix}\right.[/tex]$

Либо, наоборот, у вас в условии лишний минус оказался.

Тайльнемер · ноября 5, 2011, 04:39

Цитата: Светлана1 от ноября 3, 2011, 19:06
$[tex]B^2[/tex]$ я не знаю

$[tex]B^2 = B \cdot B[/tex]$

Матрицы умножают так:
Если , , то
и .

( — множество матриц с $[tex]m[/tex]$ строками и $[tex]n[/tex]$ столбцами).

Тайльнемер · ноября 5, 2011, 04:53

Цитата: Светлана1 от ноября 3, 2011, 08:28
Задание 4.
y=5x\4-x^2

А в чём заключается это задание?

Светлана1 · ноября 5, 2011, 15:27

Спасибо за помощь
4 ) задание
Провести полное исследование функции и построить ее график.
$[tex]y=\frac{5x}{4-x^2}[/tex]$

Тайльнемер · ноября 5, 2011, 17:05

Цитата: Светлана1 от ноября 5, 2011, 15:27
полное исследование

Смешное выражение, конечно, это «полное исследование». Обычно под ним понимают:
1) нахождение области определения и области значений;
2) исследование на непрерывность: нахождение областей непрерывности, разрывов и их типов;
3) нахождение пределов;
4) нахождение асимптот;
5) нахождение экстремумов, интервалов монотонности, точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости.

Возможно, ещё что-то...

Тайльнемер · ноября 5, 2011, 18:27

Ещё, может быть, указать, является ли функция чётной, нечётной, периодической.

Квас · ноября 5, 2011, 18:44

Цитата: Тайльнемер от ноября 5, 2011, 04:29
Либо, наоборот, у вас в условии лишний минус оказался.

Это скорее, потому что $[tex]x = \pm i \sqrt 7[/tex]$ не подходит (по условию x действительное).

В начале решения можно написать волшебные слова «комплексные числа равны, тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, поэтому получаем систему:...»

Квас · ноября 5, 2011, 18:48

Во втором задании определитель не нужно было считать, ответом должна быть матрица. В мэпле у меня получилось
$[tex] \left [\begin {array}{ccc} -1&-11&-17\\\noalign{\medskip}17&7&-17 \\\noalign{\medskip}-5&-7&-7\end {array}\right ] [/tex]$

Квас · ноября 5, 2011, 18:50

Цитата: Светлана1 от ноября 3, 2011, 08:28
Задание 3
Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами:
1) методом Гаусса;
2) по формулам Крамера:
система x+x+2x=2
x+2x+x=2
2x+x+x=1

И что тут за беда? Вы не знаете метод Гаусса или Крамера?

Метод Гаусса — это метод исключения неизвестных. При вычислениях расширенную матрицу системы приводят к ступенчатому виду, откуда до ответа рукой подать.

Метод Крамера — это когда много определителей считают.

Может, подробней вам рассказать?

Квас · ноября 5, 2011, 18:53

Полное исследование я обычно по такому плану делаю:
1) Область определения, непрерывность.
2) Чётность-нечётность, периодичность.
3) Точки пересечения графика с осями координат.
4) Монотонность и экстремумы (по первой производной).
5) Выпуклость и точки перегиба (по второй производной).
6) Пределы, асимптоты.
7) Множество значений.
8) График.

Фактически то же, что у Тайльнемера.

Если есть вопросы по пунктам, задавайте. Вычисления тоже можем проконтролировать.

Светлана1 · ноября 5, 2011, 21:20

Задание 3. Я решила так:
Метод Гаусса
$[tex]\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+2x_3=2 & & \\ x_1+2x_2+x_3=2 & & \\ 2x_1+x_2+x_3=1 & & \end{matrix}\right. detA=\begin{vmatrix}1\1\2 & & \\ 1\2\1 & & \\ 2\1\1 & & \end{vmatrix}=(1*2*1+1*1*2+1*1*2)-(2*2*2+1*1*1+1*1*1)=-4[/tex]$
$[tex]\begin{pmatrix}1\1\2\2 & & \\ 1\2\1\2 & & \\ 2\1\1\1 & & \end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1\1\2\2 & & \\ 0\1{-1}\0 & & \\ 0{-1}{-3}{-3} & & \end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1\1\2\2 & & \\ 0\1{-1}\0 & & \\ 0\0{-4}{-3} & & \end{pmatrix}[/tex]$
$[tex]\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+2x_3=2 & & \\ x_2-x_3=0 & & \\ -4x_3=-3 & & \end{matrix}\right.[/tex]$
$[tex]1) x_3=0,75 , 2) x_2=0,75 , 3) x_1=-0,25[/tex]$

по формуле Крамера:
$[tex]detA=\begin{vmatrix}1\1\2 & & \\ 1\2\1 & & \\ 2\1\1 & & \end{vmatrix}=(1*2*1+1*1*2+1*1*2)-(2*2*2+1*1*1+1*1*1)=-4[/tex]$
$[tex]\bigtriangleup _1=\begin{vmatrix}2\1\2 & & \\ 2\2\1 & & \\ 1\1\1 & & \end{vmatrix}=1 \\ \bigtriangleup _2=\begin{vmatrix}1\2\2 & & \\ 1\2\1 & & \\ 2\1\1 & & \end{vmatrix}=-3 \\ \bigtriangleup _3=\begin{vmatrix}1\1\2 & & \\ 1\2\2 & & \\ 2\1\1 & & \end{vmatrix}=-3 [/tex]$
$[tex]x_1=\frac{1}{-4}=-0,25 \\x_2=\frac{-3}{-4}=0,75 \\x_3=\frac{-3}{-4}=0,75[/tex]$

Квас · ноября 6, 2011, 09:42

Цитата: Тайльнемер от ноября 6, 2011, 07:31
Цитата: Светлана1 от ноября 5, 2011, 21:20Задание 3. Я решила так:
Кажется всё правильно.

Ответ правильный. В методе Крамера все определители посчитаны верно. Вычисления в методе Гаусса не проверял, но раз ответ тот же, должно быть всё нормально.

Когда будете оформлять решение методом Крамера, после вычисления определителя Δ хорошо бы написать: «Определитель системы отличен от 0, поэтому система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.» Дело в том, что метод Крамера не всегда применим: мало того что число неизвестных должно совпадать с числом уравнений, но и определитель системы должен быть ненулевым. Сами видите, что метод нерационален уже при n=3. На самом деле метод Гаусса практически всегда удобней; метод Крамера имеет смысл оставить для систем второго порядка и систем специального вида.

При оформлении метода Гаусса не забывайте писать одни и те же неизвестные строго друг под другом, даже если остаются большие пробелы.

Кстати, я учу студентов и обратный ход метода Гаусса (нахождение значений неизвестных после приведения к ступенчатому виду) выполнять матрично. Столбцы, соответствующие «углам ступенек», назовём базисными (в нашем случае это три первые столбца). Обратный ход заключается в том, чтобы в этих столбцах располагалась «бегающая единичка»: одна единица, остальные нули. Объяснение многословное, но по сути это просто. Например, в матрице
$[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\0&1&-1&0\\0&0&-4&-3\end{array}\right)[/tex]$
последнюю строку умножаем на -1/4, в третьем столбце получается единица. Затем зануляем все остальные числа в третьем столбце, прибавляя третью строку ко второй и к первой, умножив её соответственно на 1 и -2. Затем к первой строке прибавляем вторую, умноженную на такое число, чтобы во втором столбце получился 0. В результате слева от черты стоит единичная матрица, а справа от черты — ответ. Попробуйте! (В принципе, вы можете оставить как есть — решено то правильно.)

Светлана, вы герой!

Это видно уже по выкладкам в ТеХе.

Светлана1 · ноября 6, 2011, 10:18

Цитата: Квас от ноября 6, 2011, 09:42

Это видно уже по выкладкам в ТеХе.

Квас За ТеХе тебе особое спасибо . Если бы не ты , я бы не скоро для себя его открыла.

Квас · ноября 6, 2011, 12:19

Цитата: Светлана1 от ноября 6, 2011, 10:18
Цитата: Квас от ноября 6, 2011, 09:42
Это видно уже по выкладкам в ТеХе.
Квас За ТеХе тебе особое спасибо . Если бы не ты , я бы не скоро для себя его открыла

А-а, я просто лопаюсь от гордости.

В принципе, его вполне можно использовать в обычной жизни вместо вёрдов (в большинстве случаев). Красиво и бесплатно. Хотя иногда требует умственных усилий. (Зато не нужно вытворять акробатических трюков с мышкой.) If you want to learn more, пиши сюда: Вокруг TeX'а

Квас · ноября 6, 2011, 12:37

Офтоп по поводу чистоты ~~наших~~ ваших рядов: Лингвофорум для лингвистов!

Светлана1 · ноября 6, 2011, 21:29

Задание 5.
$[tex]a) z=x^2+2xy+y^2[/tex]$ , $[tex]b)z=\sqrt{y+3}+sin \frac{x^2}{2}[/tex]$ , $[tex]c)z=cos(5x^2-y)[/tex]$ , $[tex]d)z=x^3y+x^2y^2-3yx^2+2y^2[/tex]$ , $[tex]i)z={\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}+siny[/tex]$

Я решила только а и d
$[tex]a)z=x^2+2xy+y^2[/tex]$
$[tex]z{x}'=2x+2y[/tex]$
$[tex]z{y}'=2x+2y[/tex]$
$[tex]dz=(2x+2y)dx+(2x+2y)dy[/tex]$

$[tex]d)z=x^3y+x^2y^2-3yx^2+2y^2[/tex]$
$[tex]z{x}'=3x^2+2xy^2-6yx[/tex]$
$[tex]z{y}'=x^3+2x^2y-3x^2+4y[/tex]$
$[tex]dz=(3x^2+2xy^2-6yx)dx+(x^3+2x^2y-3x^2+4y)dy[/tex]$
А остальные я не знаю
А вот это мне подсказали:
$[tex]b)z=\sqrt{y+3}+sin \frac{x^2}{2}[/tex]$
$[tex]z{x}'=0+cos\frac{x^2}{2}(\frac{x^2}{2})'=xcos\frac{x^2}{2}[/tex]$
$[tex]z{y}'=\frac{1}{2\sqrt {y+3}}+0=\frac{1}{2\sqrt{y+3}}[/tex]$

$[tex]c)z=cos(5x^2-y) [/tex]$
$[tex]z{x}'=-sin(5x^2-y)\cdot(5x^2-y)x'=-sin(5x^2-y)\cdot(10x-0)=-10xsin(5x^2-y)[/tex]$
$[tex]z{y}'=-sin(5x^2-y)\cdot(5x^2-y)y'=sin(5x^2-y)[/tex]$

Тайльнемер · ноября 7, 2011, 01:47

Цитата: Светлана1 от ноября 6, 2011, 21:29
$[tex]d)z=x^3y+x^2y^2-3yx^2+2y^2[/tex]$
$[tex]z{x}'=3x^2+2xy^2-6yx[/tex]$

$[tex]z'_x=3x^2y+2xy^2-6yx[/tex]$

Цитата: Светлана1 от ноября 6, 2011, 21:29
А остальные я не знаю
А вот это мне подсказали

Производную корня не нужно отдельно запоминать. Она вычисляется так же как и остальные степени — по формуле :

$[tex]\left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{\frac12}\right)' = \frac12 x^{-\frac12} = \frac1{2\sqrt{x}}[/tex]$

Цитата: Светлана1 от ноября 6, 2011, 21:29
$[tex]i)z={\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}+siny[/tex]$

Производная частного:
$[tex]\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}[/tex]$

Таблицу производных элементарных функций можете смотреть здесь: (wiki/en) Table_of_derivatives

Светлана1 · ноября 7, 2011, 14:44

Тайльнемер большое спасибо за помощь

Светлана1 · ноября 15, 2011, 22:42

Цитата: Квас от ноября 5, 2011, 18:53
Полное исследование я обычно по такому плану делаю:
1) Область определения, непрерывность.
2) Чётность-нечётность, периодичность.
3) Точки пересечения графика с осями координат.
4) Монотонность и экстремумы (по первой производной).
5) Выпуклость и точки перегиба (по второй производной).
6) Пределы, асимптоты.
7) Множество значений.
8) График.
Фактически то же, что у Тайльнемера.

Я во всём , что вы подсказали , разобралась , только с иследованием функции и её графиком у меня не получается (совсем не понемаю).

Квас · ноября 15, 2011, 22:45

Ничего не понимаю. Область определения у вашей функции какая?

Светлана1 · ноября 15, 2011, 22:47

Цитата: Квас от ноября 15, 2011, 22:45
Ничего не понимаю. Область определения у вашей функции какая?

$[tex]y=\frac{5x}{4-x^2}[/tex]$

Квас · ноября 15, 2011, 22:49

Ну, какая область определения? При каких иксах будет значение у функции, а при каких нет? Раз есть знаменатель, то ограничения возникают из-за того, что знаменатель не имеет права обращаться в 0.

контрольная по математике 1 курс

Быстрый ответ