Математика как гуманитарная наука

[myst]

При желании, даже сознание можно упрощенно описать языком математики.

И до сих пор ни у кого так и не возникло желание сделать это, да?

[Damaskin]

Интересно, можно ли перевести второе определение на естественный язык?

Можно, конечно.

В чём состоит задание «правила/закона»? Нужно каким-то способом каждому x приписать y. Если бы X было конечным множеством, можно было бы таблицу написать: каким x какие y становятся в соответствие. Отбрасывая бумагу и конечность множества, получаем, что задание соответствия эквивалентно заданию пар, на первом месте которых стоят всевозможные элементы из X, а на втором — те элементы из Y, которые им соответствуют. «Эквивалентно» в том смысле, что интуитивное понятие соответствия и набор упорядоченных пар несут одинаковую информацию.

Пары уже намекают на декартово произведение, то есть мы поняли, что в качестве отображения можно взять его подмножество. Какое? Нужно, чтобы каждому x ставился в соответствие единственный y. Мы добились этого, заложив соответствующее требование в определение: если иксу ставятся в соответствие два игрека, то они совпадают. А моя последняя добавка гарантирует, что каждому x кто-то поставлен в соответствие.

Понятно объяснил?

Конечно, математики в основом мыслят отображения именно как «соответствия», но формальное определение быть должно. Это общее место: есть какие-то интуитивные соображения, к ним подбираются адекватные формальные конструкции. Мыслят интуитивно, потом облекают доказательства в логическую форму. И всё-таки «математик никогда не знает, что он говорит, и верно ли то, что он говорит» (не помню, кто сказал). Отношения формальных конструкций и интуиции, а также реальности может быть разным. Здесь можно вспомнить о евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского и геометрии физического пространства.

Вы объясняете, а меня интересует, можно ли ли это перевести и как это будет выглядеть на естественном языке. 

[hurufu]

И всё-таки «математик никогда не знает, что он говорит, и верно ли то, что он говорит» (не помню, кто сказал).

Это слова Бертрана Рассела.

Вы объясняете, а меня интересует, можно ли ли это перевести и как это будет выглядеть на естественном языке. 

Вы имеете ввиду не используя математические символы и терминологию? Тогда на определение чего-либо не тривиального нужно будет писать целую книгу Тем более естественные языки, в общем случае, противоречивы, а вольность толкования – не самое лучшее что может произойти.

Поэтому математический подъязык – самый лучший вариант.

[Damaskin]

Вы имеете ввиду не использую математических символов и терминологии? Тогда на определение чего-либо не тривиального нужно будет писать целую книгу Тем более естественные языки, в общем случае, противоречивы, а вольность толкования – не самое лучшее что может произойти.

Нет, я имею ввиду не это.
Я о другом. В естественных языках существует абстрагирование: мы берем группу реальных вещей и называем их неким общим словом, например "дерево". Математика предполагает еще более высокий уровень абстрагирования. Перевод с языка математики на естественный возможен только при снижении уровня абстрагирования. Правда, я не очень представляю как это будет выглядеть и возможен ли такой перевод в принципе. Наверное, x = x можно перевести как "дерево - это дерево". 

[Квас]

Мне кажется, определение отображение можно было бы перевести словом «таблица», причём в этой таблице участвует каждый элемент из X, и под одним и тем же x всегда написан один и тот же y. Это не то?

[Wulfila]

вспомнилось из детства:
сумма углов треугольника 180 - Евклид
меньше 180 - Лобачевский
больше 180 - Риман..
это упрощение или действительно эти 3 геометрии
так и соотносятся?

[Damaskin]

Мне кажется, определение отображение можно было бы перевести словом «таблица», причём в этой таблице участвует каждый элемент из X, и под одним и тем же x всегда написан один и тот же y. Это не то?

Это не то. Я имею ввиду перевод математических символов в слова естественного языка.
Я бы сказал так.
У нас есть слово catta. Первое определение, которое вы привели, - это как если бы вы стали объяснять, что catta - это такой зверь, покрытый шерстью... в общем описание кошки на русском языке. Второе определение - как если бы вы дали описание кошки, но на латыни. Я же подразумеваю третий вариант: "catta - это кошка". Понятно, что так адекватно с языка математики на русский перевести нельзя, потому что слова естественного языка более конкретны. То есть примерно как если бы мы переводили русские фразы на язык, в котором для каждого конкретного предмета есть отдельное слово, а общих слов нет в принципе. И я не уверен, что такой перевод вообще можно сделать.     

[antbez]

С углами- да, но не только в этом дело!

Что же касается математики как "гуманитарной науки", то давайте так: заставим гуманитариев её изучать, а математикам предоставим языки, хотя бы на два года. При таком эксперименте кто-то вернётся в "противоположный лагерь", кто-то будет "совмещать", а некоторые (многие) не осилят ни того, ни другого...

[Damaskin]

С углами- да, но не только в этом дело!

Что же касается математики как "гуманитарной науки", то давайте так: заставим гуманитариев её изучать, а математикам предоставим языки, хотя бы на два года. При таком эксперименте кто-то вернётся в "противоположный лагерь", кто-то будет "совмещать", а некоторые (многие) не осилят ни того, ни другого...

Гуманитариев сейчас очень мало, в связи с упадком гуманитарных наук. Математиков явно больше.

[Квас]

А школьное определение отображения не пойдёт в качестве перевода? Конечно, это тоже объяснение, но абсолютно без математики, только словами обыденного языка.

[Damaskin]

А школьное определение отображения не пойдёт в качестве перевода? Конечно, это тоже объяснение, но абсолютно без математики, только словами обыденного языка.

Не подойдет, потому что это не перевод, а объяснение.

(Я, собственно, не пытаюсь понять, что такое отображение. Мне интересно увидеть, как выглядит с языка математики на естественный язык. Если это вообще возможно).

[Квас]

Тогда я не понимаю. Есть математические объекты, есть термины, их обозначающие. Как переводить? Как с «геологического языка» перевести слово «карст»? Терминология вроде как является частью естественного языка, хотя и не всем понятной.

[Квас]

Что же касается математики как "гуманитарной науки", то давайте так: заставим гуманитариев её изучать, а математикам предоставим языки, хотя бы на два года. При таком эксперименте кто-то вернётся в "противоположный лагерь", кто-то будет "совмещать", а некоторые (многие) не осилят ни того, ни другого...

Языкознание в смысле? Лучше историю, в качестве наказания за прегрешения отдельных.

Если серьёзно, то между гуманитарными и естественными науками нет пропасти, просто одни направлены внутрь человека, другие — во внешний мир. Поэтому и противопоставлять их вроде бы ни к чему. Любая наука, сколько бы бла-бла не было на поверхности, имеет проблематику, задачи, решения, идеи. В связи с этим некоторые гуманитарные науки предъявляют высокие требования к культуре исследователя: нужна дисциплина и особая строгость мышления, чтобы заниматься содержательными проблемами, а не пустословием. В этом плане математикам и естественникам, как правило, проще: сразу видно, делом человек занимается или ерундой.

[Damaskin]

Тогда я не понимаю. Есть математические объекты, есть термины, их обозначающие. Как переводить? Как с «геологического языка» перевести слово «карст»? Терминология вроде как является частью естественного языка, хотя и не всем понятной.

По-моему, разница есть (может быть я ошибаюсь). "Карст" - это реально существующее явление. Математические объекты существуют только в человеческом сознании. Меня интересует, как они связаны с существующей независимо от человека реальностью (то есть с естественными языками).

[Квас]

Меня интересует, как они связаны с существующей независимо от человека реальностью

Примеры приложений, наверно? Очень много, потому что понятие широкое. Простые примеры из учебников:
 • температура неравномерно нагретого тела  (отображение точек тела во множество действительных чисел);
 • географические координаты точек на земной поверхности (отображение земной поверхности без полюсов во множество наборов из двух чисел, которые можно отождествить с точками координатной плоскости);
 • движущаяся материальная точка определяет отображение отрезка вещественной прямой (времени) в пространство: каждому моменту ставится в соответствие точка пространства, где она находится;
 • проекция (тень, например) задаёт отображение пространства на плоскость;
 • во время киносеанса определено отображение множества зрителей во множество кресел, при котором каждому ставится в соответствие кресло, на котором тот сидит.

В жизни и в математике часто встречаются соответствия одних объектов другим, и часто их можно описать с помощью понятия отображения. Кстати, большая часть законов природы записывается через дифференциальные уравнения: эти уравнения связывают функции, частный случай отображений.

[Damaskin]

Вам, наверное, скучно объяснять такие элементарные вещи, но все-таки, вы бы не могли пояснить смысл фразы "во время киносеанса определено отображение множества зрителей во множество кресел, при котором каждому ставится в соответствие кресло, на котором тот сидит". Что именно при такой операции было определено и какую информацию можно получить в итоге?

(Помнится, наш преподаватель логики все на футболе объяснял. Видимо, поэтому я логику так и не выучил - представления о футболе у меня более чем смутные )

[hurufu]

Вам, наверное, скучно объяснять такие элементарные вещи, но все-таки, вы бы не могли пояснить смысл фразы "во время киносеанса определено отображение множества зрителей во множество кресел, при котором каждому ставится в соответствие кресло, на котором тот сидит". Что именно при такой операции было определено и какую информацию можно получить в итоге?

Это означает что мы можем однозначно сказать, что Петров сидит в первом ряду на кресле номер 1, а Иванова – в четвером ряду на кресле номер 2 и т.д.

[Damaskin]

Вам, наверное, скучно объяснять такие элементарные вещи, но все-таки, вы бы не могли пояснить смысл фразы "во время киносеанса определено отображение множества зрителей во множество кресел, при котором каждому ставится в соответствие кресло, на котором тот сидит". Что именно при такой операции было определено и какую информацию можно получить в итоге?

Это означает что мы можем однозначно сказать, что Петров сидит в первом ряду на кресле номер 1, а Иванова – в четвером ряду на кресле номер 2 и т.д.

Спасибо. Значит, я понял правильно. Вот примерно это я и подразумевал под "переводом". 

[Квас]

Цитата: Damaskin от Сегодня в 19:21

Вам, наверное, скучно объяснять такие элементарные вещи, но все-таки, вы бы не могли пояснить смысл фразы "во время киносеанса определено отображение множества зрителей во множество кресел, при котором каждому ставится в соответствие кресло, на котором тот сидит". Что именно при такой операции было определено и какую информацию можно получить в итоге?

Это означает что мы можем однозначно сказать, что Петров сидит в первом ряду на кресле номер 1, а Иванова – в четвером ряду на кресле номер 2 и т.д.

Даже проще, без чисел: каждый зритель сидит на определённом кресле, поэтому зрителю можно поставить в соответствие само кресло.

А вопрос об информативности в этом случае очень правильный. На самом деле она практически нулевая. Дело в том, что и зрителей, и кресла мы рассматриваем просто как конечные множества, на которых не задано никакой структуры. С таким же успехом можно рассматривать отображение множества первых, скажем, ста чисел во множество первых ста пятидесяти чисел (произвольно занумеруем зрителей и стулья, да и всё). Можно, пожалуй, посчитать способы рассадить зрителей по свободным местам как число отображений конечных множеств, при которых разным элементам соответствуют разные образы (двое-то на одном месте не сидят), но на этом моя фантазия заканчивается.

Гораздо больше информативность тогда, когда отображаемые множества обладают некоторой структурой, а сами отображения определённым образом согласованы с этой структурой. Например, проекции: зная свойства фигуры, можно что-то сказать о её проекции. Скажем, параллельной проекцией окружности (тень от солнца) может быть только эллипс (и окружность в частном случае), а центральной проекцией окружности (например, тень от края абажура) может быть эллипс, парабола или ветвь гиперболы. Зная конкретные углы наклона плоскостей и пр., можно и точно вычислить параметры проекций: например, если прямоугольник является проекцией квадрата, можно вычислить его стороны и углы.

В качестве другого примера можно привести нагретый стержень. Предположим, что он теплоизолирован, кроме концов, в начале имеет нулевую температуру по всей длине, а на концах действует некоторый режим нагревания (скажем, они поддерживаются при фиксированной температуре). Здесь мы фактически имеем дело с числовой величиной (температура), которая зависит от двух числовых величин: координаты точки стержня и времени. В физике выводится закон изменения температуры, записывающийся в виде дифференциального уравнения (при некоторых предположениях суть закона состоит в том, что в каждой точке температура «старается» усредниться по сравнению с соседними точками). Решая это уравнение с начальными и граничными условиями, мы находим распределение тепла в произвольный момент времени. Уже хлебушек.

Вот пример отображения множеств с алгебраической структурой. Пусть n — целое число. Каждому целому числу можно поставить в соответствие остаток от деления на n. Оказывается, сумме чисел соответствует сумма остатков (возможно, снова поделённая на n). Эта арифметика используется в календаре. Здесь n = 7 (число дней в неделе). Если сегодня вторник, (день № 2), то какой день будет чере 25 дней? 21 отбрасываем (кратно 7), остаток 4, 2+4=6 (суббота). А ещё через 11 дней? 6 + 11 ≡ 6 + 4 = 10 ≡ 3 (среда), а можно 6+11=17≡3 (всё равно среда, как ни считай). В старину люди были весьма изощрены в такой арифметике, когда дело касалось расчёта церковных праздников и т. д.

Вам, наверное, скучно объяснять такие элементарные вещи...

Отнюдь! По-моему, замечательный разговор.

[Κωνσταντινόπουλου]

Да-да, это так. Всё, что изучает математика, находится в человеческом сознании. Математику абсолютно не интересует ничто за пределами сознания, внешний мир для неё не существует.

Нет-нет, это не так.  Всё, что изучает математика, находится за пределами человеческого сознания... подавляющего числа жителей этой планеты. Да и математике абсолютно не интересно ничего, что находится в пределах сознания. Ибо сознание НЕматериально! Измерить, взвесить, доказать, пощупать, понюхать сознание НЕ возможно. Для математики как раз интересно всё, что за пределами человеческого сознания, материальный мир. Точнее, лишь познаваемая и уже познанная часть.

Или имеете сказать за то, что всё познаваемо? )))

Формулы, теоремы, циферки – это уже оформления мыслей. Продукт, так сказать. Как петроглифы на камнях. Но ведь их, петроглифы, нельзя назвать сознанием. Продуктом да, но самим сознанием - нет.
Математика – это ЯЗЫК цифр, мер, весов, опытов, экспериментов, графиков, которые самим сознанием как таковым не являются.
Можно проводить опыты над реакциями человека и знаками, которыми он оформляет то или это. Но измерить мысль, замысел, идею невозможно.

«Гуманитарной» (в кавычках!) математику  делают методы измерения, применяемые, например, в науках об обществе (т.е. гуманитарных).

[Κωνσταντινόπουλου]

Математика не изучает человека в целом. Но всё то, с чем она работает непосредственно, находится у человека в голове. И пример другой такой науки привести трудно, если возможно.

В кардиохирургии математика работает, объясняет процессы.
А вот в сознании и  мышлении многое НЕ объясняет и НЕ объяснит. Не объясняет то, что вне рамок опыта, за гранью познаваемого.

Математика - скорее не наука. Она, как и философия, «царица наук», то есть наднаучна, хотя не вненаучна.
Грубо говоря, философия, задаёт извечные вопросы( {не}материального и {не}познаваемого). А математика (как язык) на них отвечает или не отвечает в науках.

Уверен, что многих людей нельзя мучить математикой класса эдак...с 8-го. Если она не идёт у подрастающего человека - значит нечего насиловать. Ни к какому порядку это не приведёт. Даже если тратить много денег, нервов и времени – что очень часто неоправданно. По состоянию на 8-й класс математика в запущенном состоянии и/или вызывает отторжение – нечего зря стараться.
Есть люди более способные, даже предрасположенные к математике, даже сдвинутые на ней ( в хорошем или плохом смысле).
Но есть совсем наоборот.
И ни о какой «гимнастике ума», ни о каких «полезных мозговых упражнениях» тогда говорить не приходится. И времени (драгоценного и стремительного!) больше свободного (на спорт, историю, литературу, живопись) у «нематематиков». И у старших математиков больше времени и внимания на юных математиков. )

[hurufu]

Согласно Вам, математика оперирует только познаваемым материальным миром, ранее же Квас определил понятие отображения, где оно находится в материальном мире?
Оно находится только в сознании людей, которые поняли это понятие и больше нигде т.е. оно как будт-то бы несуществует.

[Aleksey]

математика человеку не нужна
человеком, не знающим математику на базовом уровне, легче управлять.

[Κωνσταντινόπουλου]

Оно находится только в сознании людей...

Существующее «отражаемое» человеком существует и без «отражения» человеком.

[Κωνσταντινόπουλου]

математика человеку не нужна

А как же лечить, строить, ездить, летать?

человеком, не знающим математику на базовом уровне, легче управлять.

А разве знающими математику тяжело управлять как винтиками?

Я не против, а за математику.
Но математику-математиково. ))