Линейная алгебра

Bhudh · марта 1, 2011, 21:34

Offtop

RawonaM · марта 1, 2011, 21:49

Нужно найти трансформацию $[tex]T:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3[/tex]$ , так чтобы ImT=Sp{(1,1,0)} и kerT=Sp{(0,1,1,0),(1,1,0,0)}.
Как к этому подходить? Я нашел просто методом тыка, но не пойму систему, как нужно такое решать. Метод тыка не всегда работает.

RawonaM · марта 1, 2011, 22:07

Разве не любая обратимая трансформация — изоморфизм?

Квас · марта 1, 2011, 22:08

Линейный оператор задаётся на базисе.

Если оператор определён на базисных векторах, то он однозначно определён и на любом другом векторе:
$[tex]A(\xi_1 e_1 + \ldots + \xi_n e_n) = \xi_1 Ae_1 + \ldots + \xi_n A e_n [/tex]$
С другой стороны, можно произвольно задать оператор на векторах базиса, тогда вышеприведённая формула определяет линейный оператор на всём пространстве (проверка тривиальна). Таким образом, линейный оператор можно произвольно задавать на векторах некоторого базиса, после этого произвол заканчивается.

В нашем случае значение оператора на векторах (0,1,1,0), (1,1,0,0) уже задано (переводит их в нулевой вектор). Значит, надо дополнить эти два вектора до базиса и определить оператор на двух новых векторах. Как сделать? Очевидное решение — сделать так, чтобы они оба переходили в вектор (1,1,0).

Значит, если мы хотим задать оператор матрицей, то нам надо: 1) дополнить векторы (0,1,1,0), (1,1,0,0) до базиса; 2) дополнить (1,1,0) до базиса; 3) в полученных базисах оператор будет иметь матрицу
$[tex] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} [/tex]$
По матрице видно, что оператор искомый:
$[tex] \dim A = \dim \mathop{\mathrm{Im}} A = 1, [/tex]$
и вектор (1,1,0) принадлежит образу, поэтому образ равен Sp{(1,1,0)}; сумма размерностей ядра и образа равна размерности пространства, куда действует, поэтому размерность ядра равна 2. Значит, ядро будет Sp{(0,1,1,0),(1,1,0,0)}.

Кстати, оператор будет определяться неоднозначно.

Вопросы: 1) это понятно или нет? 2) это то, что нужно, или нет? 3) умеете ли вы дополнять векторы до базиса? 4) нужно ли выписывать матрицу в стандартных базисах?

Квас · марта 1, 2011, 22:09

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 22:07
Разве не любая обратимая трансформация — изоморфизм?

Любая. (Если обратный оператор определён на всём пространстве.)

RawonaM · марта 1, 2011, 22:14

Цитата: Квас от марта 1, 2011, 22:08
Вопросы: 1) это понятно или нет? 2) это то, что нужно, или нет? 3) умеете ли вы дополнять векторы до базиса? 4) нужно ли выписывать матрицу в стандартных базисах?

1) Пока что вроде все понятно, но дайте разобраться

2) да

3) ну а как же
4) не понял вопроса

Спасибо

RawonaM · марта 1, 2011, 22:16

Опять у меня формул не видно...(
Можете зашотить сообщение и приаттачить в сообщении?

Квас · марта 1, 2011, 22:29

Стоп! Размерность образа (ранг оператора) + размерность ядра (дефект) = размерности пространства, откуда действует! (Оператор некоторые измерения «схлопывает» в 0, а на дополнении к ядру действует как изоморфизм на образ. (Это одна из вещей, которые либо абсолютно непонятны, либо очевидны.)) Если мы хотим, чтобы образ был одномерный, а ядро — двумерное, то размерность отображаемого пространства должна быть 3! Противоречие, однако. Значит, такого оператора не существует.

Квас · марта 1, 2011, 22:34

Прошлое сообщение приаттачу (с язвительными ремарками), всё-таки там были и толковые мысли.

RawonaM · марта 1, 2011, 23:02

Цитата: Квас от марта 1, 2011, 22:29
Стоп! Размерность образа (ранг оператора) + размерность ядра (дефект) = размерности пространства, откуда действует!

Пардон, меа максима кульпа...
Должно быть ImT=Sp{(1,1,0),(0,1,1)}

Квас · марта 1, 2011, 23:06

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 23:02
Должно быть ImT=Sp{(1,1,0),(0,1,1)}

Оце дiло. Тогда, соответственно, каждый добавленные векторы к первому базису отображаем в эти два, и в матрице оператора будет небольшая единичная матричка закопана. Ранг равен 2, дефект = 4-2=2, так что всё сходится.

Мне кажется, такую проверку стоит сделать, чтобы обосновать, что ядро или образ не получились шире, чем требовалось.

RawonaM · марта 1, 2011, 23:07

Цитата: Квас от марта 1, 2011, 22:08
Значит, если мы хотим задать оператор матрицей, то нам надо: 1) дополнить векторы (0,1,1,0), (1,1,0,0) до базиса; 2) дополнить (1,1,0) до базиса; 3) в полученных базисах оператор будет иметь матрицу
$[tex] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} [/tex]$

Pas compris... откуда матрица-то нарисовалась?.. До слов "будет иметь матрицу" все понятно.

Квас · марта 1, 2011, 23:10

Ну, по общему правилу: образы векторов базиса $[tex]\mathbb R^4[/tex]$ раскладываем по базису в $[tex]\mathbb R^3[/tex]$ и «в столбцы — в столбцы — в столбцы. В линейной алгебре всё ставится в столбцы (если не оговорено противное)». ©

Квас · марта 1, 2011, 23:11

Только у меня неправильная, конечно, матрица. С учётом нового условия в правом верхнем углу будет единичная второго порядка, остальные — нули.

RawonaM · марта 1, 2011, 23:13

По какому базису?..
базис у нас там содержит что-то типа (1, 1, 0, 0), откуда тут берется (0,0,0,1)?

RawonaM · марта 1, 2011, 23:14

Цитата: Квас от марта 1, 2011, 23:11
Только у меня неправильная, конечно, матрица. С учётом нового условия в правом верхнем углу будет единичная второго порядка, остальные — нули.

Ну это я догадался. Я все одно не понимаю принципа пока что.

RawonaM · марта 1, 2011, 23:16

Из-за того что мы определили базис нестандартный, как теперь записать это в форме T(x,y,z,t)=(?,?,?)?

Квас · марта 1, 2011, 23:24

Пусть у нас первый базис $[tex]\mathbf e_1,\ \mathbf e_2,\ \mathbf e_3,\ \mathbf e_4[/tex]$ , а второй — $[tex]\mathbf f_1,\ \mathbf f_2,\ \mathbf f_3[/tex]$ (первые два вектора в каждом базисе — данные в условии). По нашему определению
$[tex] A\mathbf e_1 = \mathbf 0 = 0 \mathbf f_1 + 0\mathbf f_2 + 0 \mathbf f_3 + \mathbf f_4\\ A\mathbf e_2 = \mathbf 0 = 0 \mathbf f_1 + 0\mathbf f_2 + 0 \mathbf f_3 + \mathbf f_4\\ A\mathbf e_3 = \mathbf f_1 = 1 \mathbf f_1 + 0\mathbf f_2 + 0 \mathbf f_3 + \mathbf f_4\\ A\mathbf e_4 = \mathbf f_2 = 0 \mathbf f_1 + 1\mathbf f_2 + 0 \mathbf f_3 + \mathbf f_4 [/tex]$

Коэффициенты разложений и записываем в матрицу. Получается матрица оператора в базисах $[tex]\mathbf e,\ \mathbf f[/tex]$ .

Картинки не видно?

Квас · марта 1, 2011, 23:26

Нули перед f4 забыл поставить!

RawonaM · марта 1, 2011, 23:30

Че-то я туплю совсем, но не понимаю... Может время уже спать.

Когда я пытался это решить, тоже нарисовал себе:
1 1 0 0 >> 1 1 0
0 1 1 0 >> 0 1 1
0 0 1 0 >> 0 0 0
0 0 0 1 >> 0 0 0

Но я не смог это в трансформацию записать или матрицу найти.

Цитата: Квас от марта 1, 2011, 23:24
Картинки не видно?

Не видно

В картинке приаттачивать разве не проще? Не удобно в ридер бегать постоянно.

RawonaM · марта 1, 2011, 23:32

Пожалуй на сегодня хватит, мозг уже ничего не воспринимает. Спасибо и спокойной ночи

Квас · марта 1, 2011, 23:36

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 23:30
В картинке приаттачивать разве не проще?

Так её же сохранять надо в чём-то куда-то... Лучше я в ситмо буду.

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 23:30
Когда я пытался это решить, тоже нарисовал себе:
1 1 0 0 >> 1 1 0
0 1 1 0 >> 0 1 1
0 0 1 0 >> 0 0 0
0 0 0 1 >> 0 0 0

Нет, надо же первые два вектора в 0 загонять.

Матрица оператора в базисах определяется разложениями образов векторов первого базиса по второму базису. Координаты всех этих векторов в других базисах не имеют значения.

Цитата: RawonaM от марта 1, 2011, 23:32
Пожалуй на сегодня хватит, мозг уже ничего не воспринимает. Спасибо и спокойной ночи

«Хрен с ним, завтра докуём.» Спокойной ночи.

RawonaM · марта 2, 2011, 09:33

Цитата: Квас от марта 1, 2011, 23:36
ЦитироватьКогда я пытался это решить, тоже нарисовал себе:
1 1 0 0 >> 1 1 0
0 1 1 0 >> 0 1 1
0 0 1 0 >> 0 0 0
0 0 0 1 >> 0 0 0
Нет, надо же первые два вектора в 0 загонять.

Действительно, т.е. надо переложить так:
B1 B2
1 1 0 0 >> 0 0 0
0 1 1 0 >> 0 0 0
0 0 1 0 >> 1 1 0
0 0 0 1 >> 0 1 1

Теперь если я расположу это по столбцам, из них я смогу получить матрицу преобразования? Что-то у меня этого не вышло

Квас · марта 2, 2011, 11:37

Цитата: RawonaM от марта 2, 2011, 09:33
Теперь если я расположу это по столбцам, из них я смогу получить матрицу преобразования?

Mais non ! Что такое матрица преобразования? Векторы Ae вы раскладываете по базису f, и всё.

В вашем случае векторы — наборы чисел, то есть фактически они заданы координатами в стандартном базисе («бегающая единичка»). Эти числа не имеют никакого отношения к матрице оператора в базисах e, f. Вообще, с точки зрения теории линейных пространств все базисы равноправны, никакой из них не является почему-нибудь предпочтительным.

Вот я исправляю своё предыдущее сообщение:

Пусть у нас первый базис $[tex]\mathbf e_1,\ \mathbf e_2,\ \mathbf e_3,\ \mathbf e_4[/tex]$ , а второй — $[tex]\mathbf f_1,\ \mathbf f_2,\ \mathbf f_3[/tex]$ (первые два вектора в каждом базисе — данные в условии). По нашему определению
$[tex] A\mathbf e_1 = \mathbf 0 = 0 \mathbf f_1 + 0\mathbf f_2 + 0 \mathbf f_3 + 0\mathbf f_4\\ A\mathbf e_2 = \mathbf 0 = 0 \mathbf f_1 + 0\mathbf f_2 + 0 \mathbf f_3 + 0\mathbf f_4\\ A\mathbf e_3 = \mathbf f_1 = 1 \mathbf f_1 + 0\mathbf f_2 + 0 \mathbf f_3 + 0\mathbf f_4\\ A\mathbf e_4 = \mathbf f_2 = 0 \mathbf f_1 + 1\mathbf f_2 + 0 \mathbf f_3 + 0\mathbf f_4 [/tex]$

Коэффициенты разложений и записываем в матрицу. Получается матрица оператора в базисах $[tex]\mathbf e,\ \mathbf f[/tex]$ .
$[tex] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/tex]$
К стандартным базисам («бегающая единичка») эта матрица отношеня не имеет.

RawonaM · марта 2, 2011, 11:49

А если я хочу найти такую матрицу на стандартных базисах, что мешает?

Лингвофорум

Линейная алгебра

Bhudh

RawonaM

RawonaM

Квас

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

Квас

RawonaM

RawonaM

RawonaM

Квас

Квас

RawonaM

RawonaM

Квас

RawonaM

Квас

RawonaM

Быстрый ответ