Линейная алгебра

[RawonaM]

По идее должно быть верно, ведь V+U=Rn, почему бы им не покрывать все матрицы. Но до конца не понимаю, что тут происходит.

[Квас]

На первый вопрос я легко ответил (пересечение неравно нулю), а вот со вторым застрял. Как вообще определить размерность таких пространств? Vd допустим (n-1)n, мне так кажется, а Ud тогда что? Запутался.

Я думаю, проще не  через размерности, а просто попробовать представить данную матрицу A в виде суммы матрицы с нулевым следом и с одним элементом на диагонали. Это просто: в качестве второй матрицы достаточно взять -(tr A)/nI.

Размерность можно было бы посчитать как размерность образа плюс размерность ядра, но необходимости нет.

[Квас]

Тут вот некий странный вопрос попался.

Даны векторы u1, u2, v1, v2 и известно, что и что . Найти базис для .

Ответ же дэска?
Не пойму в чем подвох.

Вопрос в ранге системы {v1, v2}. Если бы он был 0, то оба вектора были бы нулевые, что противоречит первому условию. Если он 1, то из первого условия следует, что Sp{v1, v2} содержится в Sp{u1, u2}, а это противоречит второму условию. Значит, он равен 2, и v1, v2 образуют базис.

[Квас]

Система — это типа множества, но с возможными повторениями?

Ага. У нас в лекциях было так и не без причины. Хотя понятие не очень стандартное; что там в учебниках, сейчас не вспомню.

[RawonaM]

Я думаю, проще не  через размерности, а просто попробовать представить данную матрицу A в виде суммы матрицы с нулевым следом и с одним элементом на диагонали. Это просто: в качестве второй матрицы достаточно взять -(tr A)/nI.

Ага, кажется понял. Правда неясно, как разложение делать.
(х1,х2..хn) =??

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 12:10

Я думаю, проще не  через размерности, а просто попробовать представить данную матрицу A в виде суммы матрицы с нулевым следом и с одним элементом на диагонали. Это просто: в качестве второй матрицы достаточно взять -(tr A)/nI.

Ага, кажется понял. Правда неясно, как разложение делать.

Со знаком обдёрнулся.

[RawonaM]

0 1
0 0

Эта матрица ведь не диагонализируема, правильно?

Тут вопрос такой: если у двух матриц одинаковый хар. многочлен, и одна из них диагонализируема, то вторая тоже или не обязательно?
Вроде как понятно, что они не обязательно подобны, но вдруг вторая подобна другой диагональной матрице.

Я привел в контрпример.
0 0
0 0
и
0 1
0 0

Правильно?

[Квас]

0 1
0 0

Эта матрица ведь не диагонализируема, правильно?

Да. У неё собственное значение 0, а если бы она была диагонализируема, то на диагонали было бы отличное от 0 число (т. к. ранг равен 1), то есть было бы ненулевое собственное значение.

Тут вопрос такой: если у двух матриц одинаковый хар. многочлен, и одна из них диагонализируема, то вторая тоже или не обязательно?
Вроде как понятно, что они не обязательно подобны, но вдруг вторая подобна другой диагональной матрице.

Я привел в контрпример.
0 0
0 0
и
0 1
0 0

Правильно?

Абсолютно.

[RawonaM]

Да. У неё собственное значение 0, а если бы она была диагонализируема, то на диагонали было бы отличное от 0 число (т. к. ранг равен 1), то есть было бы ненулевое собственное значение.

И то правда.

Благодарю.

[RawonaM]

В симметричной матрице по диагонали располагаются собственные значения?

[Квас]

В симметричной матрице по диагонали располагаются собственные значения?

Вообще говоря, нет. В диагональной.

[RawonaM]

В симметричной матрице по диагонали располагаются собственные значения?

Вообще говоря, нет. В диагональной.

В диагональной оно понятно. А что в симметричной?
Что-то я смутно припоминаю.

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 19:12

Цитировать

В симметричной матрице по диагонали располагаются собственные значения?

Вообще говоря, нет. В диагональной.

В диагональной оно понятно. А что в симметричной?
Что-то я смутно припоминаю.

В симметричной может быть всё что угодно. Насчёт них приходит на ум: в вещественном пространстве оператор симметрический тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортогональном базисе симметрическая; любой симметрический оператор имеет в некотором ортогональном базисе диагональный вид; на матричном языке это означает, что любая симметрическая матрица подобна диагональной, причём подобие осуществляется ортогональной матрицей; на языке квадратичных форм это означает, что квадратичная форма на евклидовом пространстве в некотором ортогональном базисе имеет канонический вид.

[RawonaM]

На вики пишут еще, что у симметричной матрицы ортогональные собственные пространства (и наоборот, т.е. iff).
Что-то Стрэнг говорил про симметничные матрицы интересное, не могу вспомнить. У какой-то матрицы были в диагонали собственные значения (кроме диагональной). Может у треугольной?

[Квас]

На вики пишут еще, что у симметричной матрицы ортогональные собственные пространства (и наоборот, т.е. iff).

Ортогональные пространства — да, это следует из ортодиагонализируемости (основное свойство самосопряжённых операторов). В обратную сторону? Если предположить диагонализируемость...

Что-то Стрэнг говорил про симметничные матрицы интересное, не могу вспомнить. У какой-то матрицы были в диагонали собственные значения (кроме диагональной). Может у треугольной?

Да, у треугольной, потому что определитель — произведение диагональных элементов.

[RawonaM]

На вики пишут еще, что у симметричной матрицы ортогональные собственные пространства (и наоборот, т.е. iff).

Ортогональные пространства — да, это следует из ортодиагонализируемости (основное свойство самосопряжённых операторов). В обратную сторону? Если предположить диагонализируемость...

Ну вот, так пишут:

Another way of stating the real spectral theorem is that the eigenvectors of a symmetric matrix are orthogonal. More precisely, a matrix is symmetric if and only if it has an orthonormal basis of eigenvectors.

[RawonaM]

Что-то Стрэнг говорил про симметничные матрицы интересное, не могу вспомнить. У какой-то матрицы были в диагонали собственные значения (кроме диагональной). Может у треугольной?

Да, у треугольной, потому что определитель — произведение диагональных элементов.

Ага, это полезно помнить.

[RawonaM]

Блин, боюсь экзамена.

[Квас]

a matrix is symmetric if and only if it has an orthonormal basis of eigenvectors

Это я и назвал непроизносимым словом «ортодиагонализируемость». В такой формулировке верно.

Просто, например, если собственных подпространств вообще нет (оператор поворота на плоскости, например), то все собственные подпространства ортогональны.

[Квас]

Блин, боюсь экзамена.

Все боятся, ничего не поделаешь. Не переживайте.

[RawonaM]

Блин, боюсь экзамена.

Все боятся, ничего не поделаешь. Не переживайте.

Я никогда не боялся. Только инфи и вот алгебру че-то. Потому как если не сдам, надо опять целый семестр терять на нее. Вроде как и знаю, вроде как и не знаю. На везение.

[RawonaM]

a matrix is symmetric if and only if it has an orthonormal basis of eigenvectors

Это я и назвал непроизносимым словом «ортодиагонализируемость». В такой формулировке верно.

Просто, например, если собственных подпространств вообще нет (оператор поворота на плоскости, например), то все собственные подпространства ортогональны.

Что-то я не въезжаю в разницу. Симметричная матрица всегда же диагонализируема, значит всегда есть собственные подпространства. А если базис пространств ортогональный, значит это симметричная матрица. Не так?

[Квас]

Неверно, что если все собственные подпространства ортогональны, то оператор самосопряжённый. Пример: оператор поворота на плоскости на угол, не кратный пи.

[RawonaM]

Пример: оператор поворота на плоскости на угол, не кратный пи.

Как это в матрице выглядит? А-то у меня понятия нет, как операторы поворота представлять.

Неверно, что если все собственные подпространства ортогональны, то оператор самосопряжённый.

А что такое самосопряженный?

Я все-таки не пойму... Написано же, что если у матрицы ортонормальный базис, значит она симметрична, не так разве?

[Квас]

Я все-таки не пойму... Написано же, что если у матрицы ортонормальный базис, значит она симметрична, не так разве?

Да.

На вики пишут еще, что у симметричной матрицы ортогональные собственные пространства (и наоборот, т.е. iff).

Нет.

Цитата: Квас от Сегодня в 19:58

Пример: оператор поворота на плоскости на угол, не кратный пи.

Как это в матрице выглядит? А-то у меня понятия нет, как операторы поворота представлять.

В каком смысле представлять? Берёте плоскость, поворачиваете на 30° вокруг начала координат — вот и оператор поворота. Ясно, что никакие векторы не сохраняют направление, если угол поворота не кратен пи. Матрица поворота на угол фи (в положительном направлении) в ортонормированном базисе имеет вид

Матрица заслуженная, полезно её хотя бы приблизительно представлять. Из геометрических соображений получается на раз.

Цитата: Квас от Сегодня в 19:58

Неверно, что если все собственные подпространства ортогональны, то оператор самосопряжённый.

А что такое самосопряженный?

(Ax, y) = (x, Ay)
В вещественном случае называется симметрическим, в комплексном — эрмитовым.