Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Линейная алгебра

Автор RawonaM, февраля 24, 2011, 22:03

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

RawonaM

Как-то вы странно rank в данном случае употребялете. Не матрица же. Метонимия такая получается.

RawonaM

Вопрос:
Существует ли оператор [tex]\inline T: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3[/tex] так что [tex]\inline \{0\} \subset kerT \subset ImT[/tex]? Имеется в виду обязательное включение, т.е. подмножества неравны.

Я говорю что да, ядро должно быть одномерное, образ двухмерный.
Напшыклад:
T(1,0,0)=0
T(0,1,0)=(1,0,0)
T(0,0,1)=(0,0,1)

Есть подозрение, что тут подвох. Зачем-то оператор комплексный.

Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 18:21
Я интуитивно так рассуждал:
допустим матрица А представляет трансформацию и матрица В тоже. А скидывает в ноль какие-то мерности (или никакие), В скидывает в ноль что-то (или ничего). Если перемножаем (т.е. наложение транформаций), то максимум скинутых в ноль это что А скинет и что В скинет, других нулей неоткуда взять.

Я точно так же.

Более формально можно так. Разложим пространство в прямую сумму
[tex]V = N(A) \oplus U,[/tex]
тогда A изоморфно отображает U на AV. Обозначим W подпространство, состоящее из таких [tex]v \in U[/tex], что BAv=0. Очевидно (то есть надо остановиться и осмыслить ;)), что
[tex]N(BA) = N(A) \oplus W.[/tex]
По нашему определению получается, что
[tex]AW = AV \cap N(B)[/tex],
поэтому
[tex]\dim AW \leqslant \dim N(B)[/tex].
Но в силу указанной выше изоморфности имеем
[tex]\dim AW = \dim W,[/tex]
поэтому окончательно
[tex]\dim N(BA) = \dim N(A) + \dim W \leqslant \dim N(A) + \dim N(B)[/tex]
Пишите письма! :)

RawonaM

Вообще вопрос, который это навеял, был таким: доказать или опровергнуть, что существуют матрицы А и В размером 3х3, так что AB=0 и rank(BA)=2.

Т.е. нужно доказывать, что не существуют. И вот как это делать-то?

Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 18:45
Как-то вы странно rank в данном случае употребялете. Не матрица же. Метонимия такая получается.

Ранг системы векторов — число векторов в произвольном базисе этой системы. Ранг матрицы — ранг системы её столбцов.

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 18:33
Вот еще вопрос:
Даны U и W подпространства некого чего-то. Доказать [tex](U \cap W)^{\perp}=U^{\perp}\cup W^{\perp}[/tex].

Тоже не осилил.
Опечатка: надо
[tex](U \cap W)^\perp = U^\perp + V^\perp[/tex]

Сначала покажем, что правая часть вложена в левую, а потом покажем, что размерность правой части не меньше размерности левой.

1)
[tex]v \in U^\perp + V^\perp \Rightarrow v = u+w,\ u \in U^perp,\ w \in W\perp[/tex]
Для произвольного [tex]x \in U\cap W[/tex] имеем:
[tex]<br />(v,x) = (u+w,x) = (u,x) + (w,x) = 0.<br />[/tex]
Таким образом, [tex]v \in (U\cap W)^\perp[/tex], включение доказано.

2) Из 1) следует неравенство
[tex]\dim (U\cap W) ^\perp \geqslant \dim(U^\perp+W^\perp)[/tex]
Размерность пространства будем обозначать через n. Получаем:
[tex]n-\dim U\cap W \geqslant \dim(U^\perp+W^\perp)[/tex]
[tex]\dim U\cap W \leqslant n-\dim(U^\perp+W^\perp)\qquad(*)[/tex]

3) Сравним размерности.
[tex]\dim (U^\perp + W^\perp) = \dim U^\perp + \dim W^\perp - \dim U^\perp \cap W ^\perp =\\= 2n - \dim U - \dim W- \dim U^\perp \cap W ^\perp [/tex]
Оценим [tex]\dim U^\perp \cap W ^\perp[/tex] с помощью неравенства (*), применённого для ортогональных дополнений:
[tex]\dim U^\perp \cap W ^\perp \leqslant n - \dim((U^\perp)^\perp + (W^\perp)^\perp) = n - \dim (U+W)[/tex]
Получаем:
[tex]\dim (U^\perp + W^\perp) \geqslant 2n - \dim U - \dim W- (n - \dim (U+W))  =\\= n - (\dim U + \dim W - \dim (U+W)) = n - \dim U\cap W = \dim (U\cap W)^\perp[/tex]
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 19:45
ЦитироватьКак-то вы странно rank в данном случае употребялете. Не матрица же. Метонимия такая получается.
Ранг системы векторов — число векторов в произвольном базисе этой системы.
А что такое система векторов? Я думал имеется в виду линейное пространство.

Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 19:02
Вопрос:
Существует ли оператор [tex]\inline T: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3[/tex] так что [tex]\inline \{0\} \subset kerT \subset ImT[/tex]? Имеется в виду обязательное включение, т.е. подмножества неравны.

Я говорю что да, ядро должно быть одномерное, образ двухмерный.
Напшыклад:
T(1,0,0)=0
T(0,1,0)=(1,0,0)
T(0,0,1)=(0,0,1)

Есть подозрение, что тут подвох. Зачем-то оператор комплексный.

Да всё правильно. А комплексные операторы не могут быть сложнее вещественных, у них жорданова форма.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 19:45
Опечатка: надо
[tex](U \cap W)^\perp = U^\perp + V^\perp[/tex]
А вот и не очепятка. Так и написано - подкова вверх! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 19:51
Да всё правильно.
Благодарю.

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 19:51
А комплексные операторы не могут быть сложнее вещественных, у них жорданова форма.
Не слышал про жорданову форму еще.

Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 19:22
Вообще вопрос, который это навеял, был таким: доказать или опровергнуть, что существуют матрицы А и В размером 3х3, так что AB=0 и rank(BA)=2.

Т.е. нужно доказывать, что не существуют. И вот как это делать-то?

Пусть есть такие матрицы. Если одна из них невырождена, то вторая — нулевая (т. к. AB=0), чего быть не может. Значит, обе вырожденные, ранги не больше 2. Если у одной ранг меньше 2, то невозможно rank(BA)=2. Значит, оба ранга равны 2. Тогда ядра соответствующих операторов одномерные и невозможно AB=0 по нашей с вами великой теореме. Или можно без теоремы следующим образом. Пусть U — дополнительное подпространство к Ker A, dim U=2. Так как dim Im B=2, то
[tex]<br />\dim \mathop{\mathrm{Im}} B \cap U =   \dim \mathop{\mathrm{Im}} B + \dim U - \dim(\mathop{\mathrm{Im}} B+U)\geqslant 2 + 2 - 3 = 1<br />[/tex]
Следовательно, существует ненулевой вектор [tex]\inline v \in \dim \mathop{\mathrm{Im}} B \cap U,[/tex] v = Bu. Имеем:
[tex]ABu = Av \neq 0[/tex],
так как [tex]\inline v \in U, \ v \neq 0[/tex].
Пишите письма! :)

Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 19:49
Цитата: Квас от Сегодня в 20:45
ЦитироватьЦитировать
ЦитироватьКак-то вы странно rank в данном случае употребялете. Не матрица же. Метонимия такая получается.
Ранг системы векторов — число векторов в произвольном базисе этой системы.
А что такое система векторов? Я думал имеется в виду линейное пространство.

Согласно нашим лекциям, система отличается от множества тем, что векторы в ней могут повторяться. Однако это несущественно. Базисы определяются не только для пространств, но и для любых систем (или множеств) векторов, в том числе конечных.
Пишите письма! :)

Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 19:52
Цитата: Квас от Сегодня в 20:45
ЦитироватьОпечатка: надо
[tex](U \cap W)^\perp = U^\perp + V^\perp[/tex]
А вот и не очепятка. Так и написано - подкова вверх! :)

Значит, у них очепятка. Хотя бы потому, что объединение подпространств не обязано быть подпространством.

Кажется, я никаких вопросов не пропустил?
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 20:08
Кажется, я никаких вопросов не пропустил?
Да вроде нет. Спасибо :) Щас еще будут :)

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 20:08
Значит, у них очепятка. Хотя бы потому, что объединение подпространств не обязано быть подпространством.
Хм... А я столько времени бьюсь об нее... Странно.

RawonaM

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 20:06
Согласно нашим лекциям, система отличается от множества тем, что векторы в ней могут повторяться. Однако это несущественно. Базисы определяются не только для пространств, но и для любых систем (или множеств) векторов, в том числе конечных.
А что такое базис для конечного множества?

Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 20:28
Цитата: Квас от Сегодня в 21:06
ЦитироватьСогласно нашим лекциям, система отличается от множества тем, что векторы в ней могут повторяться. Однако это несущественно. Базисы определяются не только для пространств, но и для любых систем (или множеств) векторов, в том числе конечных.
А что такое базис для конечного множества?

То же самое: линейно независимая подсистема, через которую выражается любой вектор исходной системы.

Это всё активно используется в теории матриц. Поэтому удобно работать с системами, ведь столбцы (или строки) могут быть одинаковыми.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 20:45
То же самое: линейно независимая подсистема, через которую выражается любой вектор исходной системы.
То есть как? Нужно ж задать правило какое-то, что ли. Непонятно.

RawonaM

Доказать, что не существует квадратных матриц А и В, так что АВ-ВА=I.
Не получается.

Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 20:52
Цитата: Квас от Сегодня в 21:45
ЦитироватьТо же самое: линейно независимая подсистема, через которую выражается любой вектор исходной системы.
То есть как? Нужно ж задать правило какое-то, что ли. Непонятно.

Выражаются в виде линейных комбинаций. Дословно то же самое определение.

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 21:08
Доказать, что не существует квадратных матриц А и В, так что АВ-ВА=I.
Не получается.

Ага, знаю такую. Есть свойство tr AB = tr BA (можно проверить прямым вычислением; след — сумма диагональных элементов), поэтому
tr(AB - BA) = 0, tr I = n.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 21:13
Выражаются в виде линейных комбинаций. Дословно то же самое определение.
Так и что, разве не пространство получается? Почему конечное множество-то?

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 21:13
Ага, знаю такую. Есть свойство tr AB = tr BA (можно проверить прямым вычислением; след — сумма диагональных элементов), поэтому
tr(AB - BA) = 0, tr I = n.
Да, там в первом пункте как раз надо было доказать tr AB = tr BA :)
Я правда не понял, что второй пункт через первый решается, не доперло.


Квас

Цитата: RawonaM от марта 25, 2011, 21:27
Цитата: Квас от Сегодня в 22:13
ЦитироватьВыражаются в виде линейных комбинаций. Дословно то же самое определение.
Так и что, разве не пространство получается? Почему конечное множество-то?

Откуда пространство получится? :??? Беру систему из трёх векторов (0,1,2,3,4), (0,1,2,3,5), (0,2,4,6,8). У этой системы есть базисы (например, первый и второй векторы: подсистема линейно независима, и все три вектора через неё линейно выражаются). Никакие другие векторы при этом не рассматриваются.
Пишите письма! :)

RawonaM

Цитата: Квас от марта 25, 2011, 21:38
Откуда пространство получится? :??? Беру систему из трёх векторов (0,1,2,3,4), (0,1,2,3,5), (0,2,4,6,8). У этой системы есть базисы (например, первый и второй векторы: подсистема линейно независима, и все три вектора через неё линейно выражаются). Никакие другие векторы при этом не рассматриваются.
А, ясно. Это же просто набор линейно зависимых векторов. Не понимаю слова "система".

Квас

Тогда, наверно, набор = система. Столбцы матрицы
[tex]<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 1\\<br />0 & 0<br />\end{pmatrix}<br />[/tex]
образуют систему из двух векторов, но если составить из них множество, получится одноэлементное {(1,0)}.
Пишите письма! :)

RawonaM

Система — это типа множества, но с возможными повторениями? :)

RawonaM

Тут вот некий странный вопрос попался.

Даны векторы u1, u2, v1, v2 и известно, что [tex]\inline Sp\{v_1,v_2\} \cap Sp\{u_1, u_2\} \ne \{0\}[/tex] и что [tex]\inline v_1 \notin Sp\{u_1,u_2,v_2\}[/tex]. Найти базис для [tex]\inline Sp\{v_1,v_2\}[/tex].

Ответ же [tex]\inline Sp\{v_1,v_2\}[/tex] дэска?
Не пойму в чем подвох.

RawonaM

Вот такой интересный вопрос попался:

Даны два подпространтсва Rn V={(a1...an)|a1+...+an=0} и U={(a1...an)|a1=a2=...=an}.

А также определяем для любого подпрастранства Rn W подпространство квадратных вещественных матриц [tex]W_d = \{A \in M^R| dA \in W\}[/tex], где dA — диагональ матрицы.

1) Верно ли [tex]M^R = U_d \oplus V_d[/tex]?
2) Верно ли [tex]M^R = U_d + V_d[/tex]?

На первый вопрос я легко ответил (пересечение неравно нулю), а вот со вторым застрял. Как вообще определить размерность таких пространств? Vd допустим (n-1)n, мне так кажется, а Ud тогда что? Запутался.

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр