Линейная алгебра

[RawonaM]

Ну я думаю что не пространство. Если на число подомножить, то уже не решает.

[Квас]

Mon Dieu ! А почему не рассмотреть систему

? Моментально решаются все вопросы. Вот более сложный пример:

Зато тут можно картинку на плоскости нарисовать и наглядно убедиться, что не пространство.

[RawonaM]

Зато тут можно картинку на плоскости нарисовать и наглядно убедиться, что не пространство.

Это как?

Вот более сложный пример:

У меня как раз такое было и из этого и возник вопрос. Просто неоднородные были в са-амом начале курса, я уже оттуда ниче не помню, по привычке хотел ответ записать через базис... И тут меня осенило, а ведь ни хрена не пространство же

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 21:44

Зато тут можно картинку на плоскости нарисовать и наглядно убедиться, что не пространство.

Это как?

Геометрически подпространства представляют собой плоскости (любой размерности), проходящие через нуль. Конечно, какую-то наглядность это имеет в случае размерности пространства не больше 3.

Моё уравнение в задаёт прямую, не проходящую через начало координате ⇒ не подпространство.

[RawonaM]

Моё уравнение в задаёт прямую, не проходящую через начало координате ⇒ не подпространство.

Что-то я смутно припоминаю, но не пойму, как это задает прямую.

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 21:51

Моё уравнение в задаёт прямую, не проходящую через начало координате ⇒ не подпространство.

Что-то я смутно припоминаю, но не пойму, как это задает прямую.

Уравнение задаёт прямую, которая ось ординат пересекает в точке (0,b); k называется угловым коэффициентом, он равен углу наклона прямой к оси Ox.

Вертикальные прямые не могут быть так заданы.

Каждая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида , в котором a и b не обращаются в 0 одновременно; каждое такое уравнение задаёт прямую.

Это начала аналитической геометрии, их знать не мешает.

[RawonaM]

Это начала аналитической геометрии, их знать не мешает.

Не помешает, спасибо Я помню, что вроде как насчет прямой где-то у нас в начале учебника было, но там было сказано, что это не нужно для нашего курса и можно успешно забыть.

[Квас]

Прямые на плоскости — это классика. Как и кривые второго порядка, а в пространстве — прямые, плоскости и поверхности второго порядка. Например, у инженера Гарина был не гиперболоид, а эллиптический параболоид.

[RawonaM]

Это вы сейчас с кем разговаривали? 

[RawonaM]

Я тут для поддержки свежести мозга решаю задачки, но свежесть мозга исчезает за два дня. Альцгеймер уже близко?..

Вопрос: получается, что у любой вырожденной матрицы или неизоморфической трансформации есть собственное значение 0? Вроде банально, но для меня почему-то это только щас стало открытием.

[Квас]

Вопрос: получается, что у любой вырожденной матрицы или неизоморфической трансформации есть собственное значение 0? Вроде банально, но для меня почему-то это только щас стало открытием.

У вырожденной матрицы — да. У линейного оператора, не являющегося изоморфизмом, не обязательно: например, можно рассмотреть стандартное вложение .

[RawonaM]

У вырожденной матрицы — да. У линейного оператора, не являющегося изоморфизмом, не обязательно: например, можно рассмотреть стандартное вложение .

Ну да, я какбы подразумевал что с одинаковыми размерностями.

[RawonaM]

Вопрос: зачем нужен Грам-Шмидт?
Допустим я хочу найти ортонормальный базис. Беру первый вектор, нормирую его — это первый вектор нового базиса. Нахожу к нему ортогональное дополнение и даю ему стандартный базис (или любой другой ортонормальный).
Чем это будет отличаться от результата Грам-Шмидта?

[Квас]

Вопрос: зачем нужен Грам-Шмидт?

Из любой системы эффективно делает ортогональную. Полученная ортогональная сохраняет некоторую связь с исходной: линейные оболочки любых первых k векторов этих систем одинаковые. Кстати, если некоторый вектор линейно выражается через предыдущие, Грамм—Шмидт загоняют его в 0. Так что в целом полезно. Кроме того, при обычном изложении теории именно процесс Грамма—Шмидта доказывает существование ортогональных базисов.

Допустим я хочу найти ортонормальный базис. Беру первый вектор, нормирую его — это первый вектор нового базиса. Нахожу к нему ортогональное дополнение и даю ему стандартный базис (или любой другой ортонормальный).

Процесс Грамма—Шмидта практически в этом и состоит.

Сначала заметим, что без базиса при вычислениях в любом случае не обойтись.

Вы говорите, нужно взять взять ненулевой вектор. Грамм и Шмидт в этом качестве предлагают первый вектор базиса. В ортогональном дополнении стандартного базиса нет (потому что в линейных пространствах все базисы равноправны), поэтому построение ортогонального базиса в дополнении — та же самая задача. По-вашему, нужно выбрать там ненулевой вектор и рассмотреть его дополнение (в дополнении). Грамм и Шмидт предлагают в качестве этого ненулевого вектора взять подправленный второй вектор базиса. И продолжаем в том же духе.

UPD: хотя бы «ассимптота» пока не пишу.

[RawonaM]

Квас, Грам с одной м должно быть.

[RawonaM]

Что-то я пока что не очень понял. Надо поразмыслить.

[Квас]

Квас, Грам с одной м должно быть.

И то правда.

[Квас]

Что-то я пока что не очень понял. Надо поразмыслить.

А попробуйте своим способом найти какой-нибудь ортогональный базис.

[RawonaM]

линейные оболочки любых первых k векторов этих систем одинаковые

Это что значит?

Что-то я пока что не очень понял. Надо поразмыслить.

А попробуйте своим способом найти какой-нибудь ортогональный базис.

Ну вот смотрите. Дан базис {(1,1), (1,0)}.
Берем любой из этих векторов. Допустим (1,1).
Находим к нему ортогональное дополнение: х(1,-1), значит ортогональный базис — {(1,-1), (1,1)}

попытка нубмер два: {(1,1,1), (1,0,0), (0,1,0)}.
Берем первый вектор: (1,1,1) (нарочно беру небанальные случаи).
Ортогональное дополнение к (1,1,1) = нулевое пространтво матрицы
1 1 1
0 0 0
0 0 0
Значит (1,-1,0) и (1,0,-1).
Ага, эти векторы неортогональны, берем первый вектор (1,-1,0), находим к нему ортогональное дополнение из пространтва Sp{(1,-1,0), (1,0,-1)}.

э-э... понятно, зачем Грам-Шмидт Без рекурсии не обойдешся.

Но мне кажется алгоритм неоправданно усложнили.

[Квас]

Но мне кажется алгоритм неоправданно усложнили.

Вы усложнили, да. Мало что фундаментальные решение уже считаете, так вот это ещё

Ага, эти векторы неортогональны, берем первый вектор (1,-1,0), находим к нему ортогональное дополнение из пространтва Sp{(1,-1,0), (1,0,-1)}.

как вы имплементировать собираетесь? А Грам—Шмидт — алгоритм в принципе простейший: подставить в формулы, получить ответ. Его геометрический смысл тоже прозрачный и является частным случаем вашего подхода.

Вот ещё пример. В пространстве многочленов степени, меньшей n, можно рассмотреть скалярное произведение

Если к базису применить процесс ортогонализации, получаются так называемые многочлены Лежандра. Благодаря общим свойствам ортогонализации получается, что k-й многочлен Лежандра не зависит от выбора пространства , и что многочлены Лежандра образуют базис в при любом k.

[RawonaM]

А Грам—Шмидт — алгоритм в принципе простейший: подставить в формулы, получить ответ.

Так там же сложные рекурсивные формулы!
Я какбе уже не оспариваю его надобность, но просто он как-то прячет интуитивное понимание на машинальное вычисление формул, это мне и мешает.

Ага, эти векторы неортогональны, берем первый вектор (1,-1,0), находим к нему ортогональное дополнение из пространтва Sp{(1,-1,0), (1,0,-1)}.

как вы имплементировать собираетесь?

Дайте подумать. Разве не любое двухмерное подпротранство — плоскость? Эх, чем больше знаешь, тем больше понимаешь, что ты ниче не знаешь

[Квас]

Так там же сложные рекурсивные формулы!

Какая рекурсия? Для вычисления каждого вектора используются только ранее вычисленные векторы (и исходная система). Геометрически тоже прозрачно: в качестве первого вектора берём e1, потом e2 делаем ортогональным к e1, двигая его конец по прямой, параллельной e1; потом e3 делаем ортогональным к плоскости e1e2, двигая его свободный конец параллельно этой плоскости, и т. д. Кстати, отсюда вывод: если первые несколько векторов ортогональны, то Грам—Шмидт оставляют их в покое; иначе говоря, можно ортогональные системы дополнять до ортогональных базисов.

Цитата: Квас от Сегодня в 18:50

Цитировать

Ага, эти векторы неортогональны, берем первый вектор (1,-1,0), находим к нему ортогональное дополнение из пространтва Sp{(1,-1,0), (1,0,-1)}.

как вы имплементировать собираетесь?

Дайте подумать. Разве не любое двухмерное подпротранство — плоскость?

Ну да, плоскость. И посчитать это ортогональное дополнение, конечно, можно. Мне просто интересно, как вы это собираетесь делать.

[RawonaM]

Закончились вопросы с ответами, теперь буду приставать с вопросами на которые не знаю ответа.

Вот меня мучает такое:
Есть нескалярная матрица А и трансформация Т(Х)=АХ.
Доказать или опровергнуть: если Х собственный вектор, то Х сингулярная матрица.

По-моему верно. Собственный вектор, это значит что для любого х и некоторого собственного значения л выполняется АХ=ЛхХ, подомножим на обратную от Х слева выходит А=лх для любого х, но ведь это может быть только если А=0, а нам сказали что А нескалярна. Значит Х сингулярна и у нее нет обратной.
Я правильно рассуждаю?

[RawonaM]

Какая рекурсия? Для вычисления каждого вектора используются только ранее вычисленные векторы

Ну так это и есть рекурсия. Чтобы вычислить второй, надо вычислить первый.

[Квас]

Цитата: Квас от Сегодня в 19:34

Какая рекурсия? Для вычисления каждого вектора используются только ранее вычисленные векторы

Ну так это и есть рекурсия. Чтобы вычислить второй, надо вычислить первый.

Ну, первый так и так надо было считать. Я не думал, что использование предыдущих результатов — непременно рекурсия.

Вот меня мучает такое:
Есть нескалярная матрица А и трансформация Т(Х)=АХ.
Доказать или опровергнуть: если Х собственный вектор, то Х сингулярная матрица.

По-моему верно. Собственный вектор, это значит что для любого х и некоторого собственного значения л выполняется АХ=ЛхХ, подомножим на обратную от Х слева выходит А=лх для любого х, но ведь это может быть только если А=0, а нам сказали что А нескалярна.
Я правильно рассуждаю?

Просто безупречно!