Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Линейная алгебра

Автор RawonaM, февраля 24, 2011, 22:03

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

Ответить Печать
Вниз Страницы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Действия пользователя

Квас

#125
марта 4, 2011, 00:05
Bonne nuit. :)
Пишите письма! :)

Тайльнемер

#126
марта 4, 2011, 06:23
Цитата: RawonaM от марта  3, 2011, 23:55
диагонабельная (диагонируемая?..)
Диагонализируемая — ?

RawonaM

#127
марта 4, 2011, 08:23
Цитата: Тайльнемер от марта  4, 2011, 06:23
Цитироватьдиагонабельная (диагонируемая?..)
Диагонализируемая — ?
Вы меня спрашиваете? Я думал вы знаете точно :)

Квас

#128
марта 4, 2011, 09:27
Цитата: RawonaM от марта  3, 2011, 23:55
Если например у меня трехмерная диагонабельная (диагонируемая?..))) трансформация, дан базис, и даны два айгенвалью соответствующие двум элементам базиса, могу ли я заключить, что третий элемент базиса из подпространтсва третьего айгенвалью? Или он может быть вообще не принадлежащим ни к одному айгенвалью?

Да, может не быть собственным вектором. Попробуйте привести простой пример.

Цитата: RawonaM от марта  3, 2011, 23:55
Но ведь трансформация диагонабельная, значит все векторы принадлежат какому-то айгенвалью.

Вообще говоря, не принадлежат.

Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 08:23
Цитата: Тайльнемер от марта  4, 2011, 06:23
Цитироватьдиагонабельная (диагонируемая?..)
Диагонализируемая — ?
Вы меня спрашиваете? Я думал вы знаете точно :)


Да, диагонализируемый оператор — это такой, который в некотором базисе может быть представлен диагональной матрицей, то есть у которого есть базис из собственных векторов.

А вообще у нас суржик ещё тот. ;D
Пишите письма! :)

RawonaM

#129
марта 4, 2011, 09:36
Ну так научите меня русской терминологии :)
Трансформация — это оператор?
собственный вектор, собственное значение?..
Диагонализируемый я уже запомнил :)

Цитата: Квас от марта  4, 2011, 09:27
ЦитироватьНо ведь трансформация диагонабельная, значит все векторы принадлежат какому-то айгенвалью.
Вообще говоря, не принадлежат.
Почему же это? Если она диагонализируемая, значит базис может состоять только из собственных векторов, значит собственные подпространства покрывают все пространство. Чего я недопонимаю?

RawonaM

#130
марта 4, 2011, 10:10
Цитата: Квас от марта  3, 2011, 23:59
Пусть [tex]E_{ij}[/tex] — матрица, у которой на месте ij стоит 1, на остальных — нули. Эти матрицы и будут образовывать стандартный базис.

[tex] AE_{11}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = E_{11} + 3 E_{21} [/tex]
Какая же тут получится диагональная матрица?
Действительно, что-то тут не сходится :)

Квас

#131
марта 4, 2011, 10:18
Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 09:36
Ну так научите меня русской терминологии :)
Трансформация — это оператор?
собственный вектор, собственное значение?..
Диагонализируемый я уже запомнил :)

Суржик у нас классный! В особый восторг меня приводят ивритизмы. ;up:

Да, трансформация — это (линейный) оператор или (линейное) преобразование. Первый термин как-то привычней. Собственный вектор, собственное значение — так и есть. Множество собственных векторов, ассоциированных с некоторым собственным значением, плюс нулевой вектор называется собственным подпространством.

Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 09:36
Если она диагонализируемая, значит базис может состоять только из собственных векторов, значит собственные подпространства покрывают все пространство. Чего я недопонимаю?

Намёк: сумма собственных подпространств всегда прямая. То есть если сложить два собственных вектора с разными собственными значениями, мы точно получим не собственный вектор. А примеры можно простейшие придумать:
[tex]<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 0\\<br />0 & 2<br />\end{pmatrix}<br />\begin{pmatrix}<br />1\\<br />1<br />\end{pmatrix}<br />=<br />\begin{pmatrix}<br />1\\<br />2<br />\end{pmatrix}<br />[/tex]
Пишите письма! :)

RawonaM

#132
марта 4, 2011, 10:25
Получается, что вообще не бывает операторов, в которых все векторы — собственные?

Квас

#133
марта 4, 2011, 10:27
Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 10:25
Получается, что вообще не бывает трансформаций, в которых все векторы — собственные?

Когда вы задаёте себе вопрос «бывает-не бывает», полезно сразу опробовать на простейших примерах. Что у нас всегда под рукой? Нулевой оператор, тождественный...
Пишите письма! :)

RawonaM

#134
марта 4, 2011, 10:27
Цитата: Квас от марта  4, 2011, 10:18
Суржик у нас классный! В особый восторг меня приводят ивритизмы. ;up:
Вот вам парочка: диагонализируемая — лахсина (от алахсон=диагональ).
матрица — матри́ца. :)
мерхав — пространство. Менее пространственно чем русское слово, удобнее :)

RawonaM

#136
марта 4, 2011, 10:29
Цитата: Квас от марта  4, 2011, 10:27
ЦитироватьПолучается, что вообще не бывает трансформаций, в которых все векторы — собственные?
Когда вы задаёте себе вопрос «бывает-не бывает», полезно сразу опробовать на простейших примерах. Что у нас всегда под рукой? Нулевой оператор, тождественный...
Нулевой и тождественный получаются таки да, там 0 и 1 для всех векторов. В принципе, тогда берем любой скалярный оператор и у него тоже все пространство собственное. А еще есть такие?

Квас

#137
марта 4, 2011, 10:33
Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 10:29
Нулевой и тождественный получаются таки да, там 0 и 1 для всех векторов. В принципе, тогда берем любой скалярный оператор и у него тоже все пространство собственное.

Правильно рассуждаете. :yes: (Я думаю, такой подход и на экзамене может пригодиться.)

Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 10:29
А еще есть такие?

Больше нет. Раз все векторы собственные, то всё пространство является собственным подпространством оператора, соответствующим некоторому собственному значению a. Записав матрицу такого оператора в любом базисе, видим, что это оператор aI.
Пишите письма! :)

RawonaM

#138
марта 4, 2011, 10:35
Цитата: Квас от марта  4, 2011, 10:33
ЦитироватьА еще есть такие?
Больше нет. Раз все векторы собственные, то всё пространство является собственным подпространством оператора, соответствующим некоторому собственному значению a. Записав матрицу такого оператора в любом базисе, видим, что это оператор aI.
Значит если есть более одного собственного значения, то стопроцентов есть несобственные векторы?
Блин, хочется все это визуально представить. Где-то я встречал джава-аппликации с иллюстрациями этого всего.

Квас

#140
марта 4, 2011, 10:43
Здорово!
Пишите письма! :)

RawonaM

#141
марта 4, 2011, 10:45
Вот ссылка на ресурсы этого курса:
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/tools/

Было бы время, прослушал бы лекции. Просто, там намного обширнее материал, а когда знаешь слишком много, это плохо для экзамена. Да и времени нет слишком много знать.

RawonaM

#142
марта 4, 2011, 10:49
Действительно, после наглядного представления утрясается получше. Если оператор вырожден, то в двухмерном пространстве он будет иметь вид прямой либо вообще все ноль.

RawonaM

#143
марта 4, 2011, 10:54
Что такое дефектная матрица?? Не припоминаю такого.

Квас

#144
марта 4, 2011, 10:58
Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 10:54
Что такое дефектная матрица?? Не припоминаю такого.

Вырожденная, наверно? Это в объяснениях было? Не обратил внимания.
Пишите письма! :)

RawonaM

#145
марта 4, 2011, 11:00
Цитата: Квас от марта  4, 2011, 10:58
ЦитироватьЧто такое дефектная матрица?? Не припоминаю такого.
Вырожденная, наверно? Это в объяснениях было? Не обратил внимания.
Нет. Вот посмотрите: http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.06/tools/Applets_sound/eigen_sound_6.html
У этой матрицы дефектный айгенвалью.

Квас

#146
марта 4, 2011, 11:10
В русском языке таких терминов нет. Может, defective в обычном смысле, то есть одного вектора как бы не хватает?

Там матрица
[tex]<br />\begin{pmatrix}<br />2 & 1\\<br />0 & 2<br />\end{pmatrix},<br />[/tex]
характеристический многочлен для неё равен [tex](2-\lambda)^2[/tex], то есть алгебраическая кратность собственного значения [tex]\lambda = 2[/tex] равна 2. Этому значению соответствует одномерное собственное подпространство, то есть геометрическая кратность равна 1. Бывает. Общий закон в том, что геометрическая кратность не превосходит алгебраической.
Пишите письма! :)

RawonaM

#147
марта 4, 2011, 11:13
А-а, выходит дефективная — это та, которая не диагонабельная.

RawonaM

#148
марта 4, 2011, 11:15
Yeap:
Цитата: http://en.wikipedia.org/wiki/Defective_matrixIn linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable.

Квас

#149
марта 4, 2011, 11:19
Цитата: RawonaM от марта  4, 2011, 11:13
А-а, выходит дефективная — это та, которая не диагонабельная.

Ну, не знаю. Критерий диагонализируемости: оператор диагонализируем тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен раскладывается в основном поле на линейные множители, и алгебраическая кратность каждого собственного значения равна геометрической.

То есть существуют недиагонализируемые операторы, у которых алгебраические и геометрические кратности всех собственных значений совпадают. Примеры — поворот на плоскости или вокруг оси в пространстве.
Пишите письма! :)
Ответить Печать
Вверх Страницы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Действия пользователя

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр