Почему нельзя, а не неможно?

[Wolliger Mensch]

Дат. -льзѣ вытесняется формой льзя аналогично случаям: не ме́сто, не досу́г, не вре́мя.

Не вижу здесь ни формы "нельга", ни ст.-польск., ни словацк., ни, честно говоря, номинатива. Тут уже замена одной формы наречия на другую, IMHO.

Так можно долго муслить. Еще раз:

нельзя́ укр. не́льга, нiльга́, нельзя́; не́льга "холодная, сырая погода со снегопадом", блр. нельга́, нiльга́ "нельзя", др.-русск. нельзѣ (Изб. Святосл. 1073 г.) наряду с нельга "не дозволено", Илья Новгор. (см. Срезн. II, 64), нельзя, Румянц. псалт. (ХVI в.), Ипатьевск. летоп., нельза, Лютеранский катехизис 1562 г. (см. Соболевский, Лекции 87), льзѣ "можно", Смол. грам. 1229 г., часто (Напьерский, 444 и сл.), ст.-слав. не льзѣ οὑκ ἐνόν (Супр.), льзѣ (Клоц.), др.-серб. ıе льза, слвц. nielza, др.-польск. nielza. Первонач. *lьgа, откуда дат. ед. lь(d)zě аналогично трѣбѣ при отрицаниях; см. Мейе, Ét. 254; Соболевский, Лекции 249; РФВ 6, 215. Дат. -льзѣ вытесняется формой льзя аналогично случаям; не ме́сто, не досу́г, не вре́мя. Исходное *lьga связано с лёгкий. Ср. по́льза наряду с по́льга, о котором см. Мейе, Ét. 165.

Фасмер считает, что не льзѣ в старославянском и древнерусском — форма датива. Однако это не датив, — в древнерусском были формы нельзе (ср. укр. диал. нелзе, русск. диал. нельзе) и нельзи (русск. диал. нельзи), показывающие обычные наречные -е/-и < -о/-ы после палатального. В этом свете др.-русск. нельзѣ скорее является аналогическим преобразованием формы нельзя (тоже засвидетельствованной) по наречиям на ѣ — добрѣ, зълѣ и под.
Старослав. не льзѣ, отмеченное в Клоцевом сборнике (глаголическом) и Супрасльской рукописи (где после согласных пишется и ѣ в значении ɪа), вообще отражает /нельз'ӕ/ = нельзɪа, естественно совпадая, таким образом, с наречиями на ѣ.

[kobzar]

Наверное, было слово льзя, да вымерло? 

Не вымерло. Русск. диал. и белорусск. льга, льзя «возможность», и в наречном употреблении — «можно», «льзя».

Но вы же не будете утверждать, что если я приду в магазин и скажу там "льзя", на меня не посмотрят косо или очень косо?

[Bhudh]

Смотря в какой шибко диалектной волости будет то сельпо, в которое Вы зайдёте.

[Zavada]

Но вы же не будете утверждать, что если я приду в магазин и скажу там "льзя", на меня не посмотрят косо или очень косо?

Смотря в какой шибко диалектной волости будет то сельпо, в которое Вы зайдёте.

Есть во многих словарях говоров.

(Google) "льзя"

[Awwal12]

Было прилагательное нужьныи «необходимый».

Вроде бы изначально "недостающий"?

[Intialainen]

"Неможно" есть у Гоголя в Тарасе Бульбе (никто не помнит, что ли?)

— Ну, так положи меня в воз с рыбою!
— Неможно, пан; ей-богу, неможно. По всей Польше люди голодны теперь, как собаки: и рыбу раскрадут и пана нащупают.

[From_Odessa]

"Неможно" есть у Гоголя в Тарасе Бульбе (никто не помнит, что ли?)

— Ну, так положи меня в воз с рыбою!
— Неможно, пан; ей-богу, неможно. По всей Польше люди голодны теперь, как собаки: и рыбу раскрадут и пана нащупают.

Возможно, это элемент украинского/малороссийского, которых у Гоголя полно. В украинском и сейчас нельзя - это "не можна".