Почему знаменатель обыкновенной дроби в показатели степени - это степень корня?

[From_Odessa]

Собственно, упрощенно, почему число в степени 1/2 - это квадратный корень из этого числа (или же, почему а в степени b/c - это корень с-ой степени из а в степени b)? Имею в виду: это просто так формально решили, так условились обозначать, или тому есть какое-то объяснение, есть какая-то математическая причина?

[Andrey Lukyanov]

Это следует из правила умножения степеней: a^x*a^y=a^x+y.

Соответственно a^1/2*a^1/2=a^1/2+1/2=a.

[Toman]

это просто так формально решили, так условились обозначать, или тому есть какое-то объяснение, есть какая-то математическая причина?

Если для целых степеней перемножение основания в степени m и его же в степени n даёт основание в степени m+n, то же самое должно работать и в более общем случае - для нецелых степеней.

[From_Odessa]

Это следует из правила умножения степеней: a^x*a^y=a^x+y.

Соответственно a^1/2*a^1/2=a^1/2+1/2=a.

А, да, как-то не подумал, что надо с этой стороны подойти, спасибо. А к этому вот так и пришли?

[Rusiok]

А к этому вот так и пришли?

Мне тоже интересен этот вопрос: как математики приходят к обобщениям?
Я его уже поднимал в соседней теме.
На этот вопрос мне ответил kemerover:

в математике всё тоже не так гладко

Статью прочитал, спасибо за наводку.

Его ответ в том, что математические обобщения не всегда удачные. Неудачные часто отвергаются практикой, но иногда продолжают использоваться, что в каждом случае нуждается в предостережении. В статье, например, говорится, что (перевод google):

один и тот же символ (знак умножения ×) используется с разными свойствами.
Умножение чисел ассоциативно и коммутативно.
Умножение матриц ассоциативно, но не коммутативно.
Векторное умножение не является ни ассоциативным, ни коммутативным.

Интересно было бы прочитать комментарий профессиональных преподавателей математики. Но одна из них обиделась и занимается только латинскими языком в своём блоге тут.

[Волод]

Возможно, что никакого обобщения то и нет?
А есть стремление написать более короткую инструкцию для пользователей.

[Python]

Предположим, мысль математиков погла другим путем, и они решили приравнять x^1/n не к ⁿ√x, а к чему-то другому. Но тогда к чему?

[_Swetlana]

Название квадратного корня - из геометрического способа построения квадратных корней. Как это делалось, можно посмотреть в диалогах Платона: "Менон" и "Теэтет". Например, как строили корень из двух. Строили единичный квадрат, длина диагонали этого квадрата, по уже известной теореме Пифагора, была равна корню из двух.

[RawonaM]

Название квадратного корня - из геометрического способа построения квадратных корней. Как это делалось, можно посмотреть в диалогах Платона: "Менон" и "Теэтет". Например, как строили корень из двух. Строили единичный квадрат, длина диагонали этого квадрата, по уже известной теореме Пифагора, была равна корню из двух.

Интересно, я не знал. Это объясняет слово "квадратный", а слово "корень" откуда?

[RawonaM]

Задумался, а есть ли у кубического корня геометрическое представление? Не получилось представить слету.

[_Swetlana]

Задумался, а есть ли у кубического корня геометрическое представление? Не получилось представить слету.

Я даже думать не стала))  сразу нагуглила:
Кубический корень из a — это длина ребра куба, объём которого равен a.

[_Swetlana]

Из википедии:
Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»)[37].

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень[38] символом Rx, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году[39]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Показатель степени появился в знаке корня благодаря Валлису и «Универсальной арифметике» Ньютона (XVIII век)

[Волод]

Задумался, а есть ли у кубического корня геометрическое представление? Не получилось представить слету.

Я даже думать не стала))  сразу нагуглила:
Кубический корень из a — это длина ребра куба, объём которого равен a.

У гугла какая-то, мягко говоря - вражеская, грубо выражаясь - не наша геометрия.

[_Swetlana]

Задумался, а есть ли у кубического корня геометрическое представление? Не получилось представить слету.

Я даже думать не стала))  сразу нагуглила:
Кубический корень из a — это длина ребра куба, объём которого равен a.

У гугла какая-то, мягко говоря - вражеская, грубо выражаясь - не наша геометрия.

В смысле? Не кубами, а литрами штоля мерять?

[Волод]

А попробуйте геометрически построить из ребра литрового куба, ребро пол литрового.

[RawonaM]

Совершенно разные для куба и квадрата несовместимые определения получаются:

Строили единичный квадрат, длина диагонали этого квадрата, по уже известной теореме Пифагора, была равна корню из двух.

Я даже думать не стала))  сразу нагуглила:
Кубический корень из a — это длина ребра куба, объём которого равен a.

1) Для берется куба объемом x ==> длина ребра = y.

2) Для берем квадрат с ребром x ==> диагональ = y.

У куба с объемом 1 длина ребра тоже 1, не сходится.
Скорее всего диагональ куба.

[RawonaM]

А блин, это я запутался.
Если объем куба a, то его ребро , все правильно.
Если площадь квадрата а, то его ребро , тоже все правильно.

А что там с диагоналями щас еще подумаю...

[RawonaM]

Ну да, легко вычисляется той же теоремой Питагороса, что диагональ единичного куба - это квадратный корень из трех.

[RawonaM]

Значит определения верны, прошу пардона

[Волод]

А блин, это я запутался.
Если объем куба a, то его ребро , все правильно.
Если площадь квадрата а, то его ребро , тоже все правильно.

А что там с диагоналями щас еще подумаю...

Ребро квадрата, который имеет площадь в 2,... или 1/2, ... и т.д раза больше/меньше
 заданного можно построить геометрически.

А вот у куба с геометрией проблемы.

[RawonaM]

А вот у куба с геометрией проблемы.

Какие проблемы?

[Волод]

У вас есть куб на литр, а надо построить куб на пол литра, пользуясь только геометрией.

[RawonaM]

У вас есть куб на литр, а надо построить куб на пол литра, пользуясь только геометрией.

А как вы построите квадрат, который имеет площадь 1/2 или 2?

[Волод]

Если задан квадрат, то возьму его диагональ и построю квадрат, сторона которого - это диагональ заданного квадрата. (его площадь будет в 2 раза больше площади заданного). Аналогично, квадрат со стороной в половину диагонали заданного будет иметь площадь равную половине площади заданного квадрата.

[kemerover]

Я так понимаю, речь о задачах про построение фигур циркулем и линейкой. Удвоение куба это одна из неразрешимых задач такого типа.