Главное меню
Мы солидарны с Украиной. Узнайте здесь, как можно поддержать Украину.

Ахиллес и черепаха

Автор Wolliger Mensch, ноября 22, 2017, 11:02

0 Пользователи и 1 гость просматривают эту тему.

Валентин Н

ЗАБАНИЛ ВИКИПЕДИЮ
Нижниь ıндэкс в ҷıсʌах — степень тıсяҷı
Препинания авторские!

Валентин Н

Упёрся в другой объект - встал, если перескочил м ачнт дальше.
ЗАБАНИЛ ВИКИПЕДИЮ
Нижниь ıндэкс в ҷıсʌах — степень тıсяҷı
Препинания авторские!

Bhudh

Упираются объекты друг в друга не пикселями, а электронными оболочками.
А объектам под названием "нейтрино" пофиг на эти оболочки, они не факт, что друг в друга-то упираются, не говоря уж об объектах под названием "фотоны".
Или употребляйте слово "макрообъект", или не запутывайте себя и остальных.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Валентин Н

Нет ни каких обектов, есть активный пиксель и не активный. При быстром "движении" пиксель просто не успевает зажигаться и пропускается и кажется, что объект перескакивает, так и через другой объект перепрыгнет.
ЗАБАНИЛ ВИКИПЕДИЮ
Нижниь ıндэкс в ҷıсʌах — степень тıсяҷı
Препинания авторские!

Bhudh

Так Вы вроде про небыстрые объекты писали, которые куда-то упираются.
С быстрыми-то всё понятно, можно о них больше не упоминать.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Валентин Н

ЗАБАНИЛ ВИКИПЕДИЮ
Нижниь ıндэкс в ҷıсʌах — степень тıсяҷı
Препинания авторские!

KW

Правильный ответ был дан ещё на первой странице. В самом условии задачи дан конечный промежуток времени, за который Ахиллес точно не догонит черепаху. А дальше этот промежуток просто делят на бесконечное число временных отрезков, что никак не меняет их общей суммы. Если бы время добавлялось, то всё стало бы на свои места:  быстрый обгоняет медленного.

Easyskanker

Проблема в том, что слово "никогда" обозначает бесконечный отрезок времени, а не конечный.

KW

На самом деле, это простая школьная задачка про поезда, идущие с разной скоростью в одном направлении. Для её решения нужно знать только разницу в скорости и расстояние между объектами на данный момент времени, всё остальное от лукавого.

Волод

Святая простота!

Вы верите в какие-то скорости?



Цитата: Волод от ноября 24, 2017, 08:37
....................................................

У епископа Беркли есть сочинение:
"Аналитик, или рассуждение адресованное неверующему математику, где исследуется являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчётливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми,  чем религиозные таинства и положения веры."

:green: Запарился пока одно название набирал, но в принципе работа вполне доступна, на грани лёгкого чтива.

Agnius

Цитата: kemerover от ноября 24, 2017, 17:59
Я считаю, что парадокс Зенона никакого прямого отношения к сумме рядов не имеет. Дело в том, что Зенон говорит, что Ахиллу, чтобы догнать черепаху надо совершить бесконечную серию действий. Суть именно в том, что вот этот переход неправомерен. Потому что если бы Ахилл действительно совершал эти действия (сокращал дистанцию вдвое целенаправленно), он бы действительно никогда бы не догнал черепаху. Из той же серии - Лампа Томпсона.
+100500, вся нетривиальная суть апории об этом - в матлогике невозможна работа с бесконечными цепочками утверждений, т.е. получать из них конкретный ответ. Даже когда мы суммируем бесконечный ряд (как в данной апории) мы не совершаем никаких бесконечных действий, а определяем его предел по Коши

Agnius

Хотя я не совсем согласен с тем, что он не мог их совершать целенаправленно. Почему? Мог. И можно доказать, что к определенному времени отрезок будет меньше любого положительного числа, а значит ноль

Agnius

Цитата: _Swetlana от ноября 24, 2017, 15:48
Не знает он ещё, что мера счётно-аддитивна, что меры несчётных множеств вычисляются через дополнения.
А еще существуют неизмеримые по Лебегу множества, правда их можно построить только с помощью аксиомы выбора :)

Bhudh

Цитата: Agnius от февраля 18, 2021, 20:07можно доказать, что к определенному времени отрезок будет меньше любого положительного числа
Нельзя. Так как для любого сколь угодно малого положительного числа n можно предъявить меньшее число n/2 (n/10, n/гугоʌпʌекс), которое всё равно будет больше ноля.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

kemerover

Цитата: Agnius от февраля 18, 2021, 20:07
Хотя я не совсем согласен с тем, что он не мог их совершать целенаправленно. Почему? Мог. И можно доказать, что к определенному времени отрезок будет меньше любого положительного числа, а значит ноль
Если Ахиллес совершает именно сокращение дистанции в 2 раза как задачу, то получится "противоречие", а не 0. 0 будет только в пределе, который не достижим, потому что действия Ахиллеса определены только на полуинтервале [0; время встречи в пределе) — там, где это сокращение дистанции возможно.

Я тут 4 года назад упомянул лампу Томсона, на этом примере легче понять, что имеется ввиду. Представьте лампу, которая выключена в момент 0, через 1 минуту она включается, потом через полминуты снова выключается, потом через четверть минуты опять включается, потом через восьмую часть минуты выключается и так далее. В каком состоянии будет лампа на второй минуте ровно? Ответ такой, что состояние это не определено. Это показывает, что возможность совершения бесконечного количества действий за конечное время в физическом мире не является данностью, а значит и утверждать, что мы можем интерпретировать любое действие как бесконечный набор поддействий, как это делает Зенон, мы не можем без каких-то на то оснований.

Agnius

Цитата: Bhudh от февраля 18, 2021, 21:17
Нельзя.
Можно, определение предела по Коши почитайте :)
Цитата: Bhudh от февраля 18, 2021, 21:17
Так как для любого сколь угодно малого положительного числа n можно предъявить меньшее число n/2 (n/10, n/гугоʌпʌекс), которое всё равно будет больше ноля.
Вы не поняли, из утверждения, что если для числа х>=0 верно, что оно меньше любого положительного числа, то отсюда следует, что оно равно нулю. Иначе в противном случае можно было бы предъявить положительное x/2, и получить противоречие . Нам известно, что для некоторого момента времени T верно утверждение - в момент T-1/2^n расстояние будет 1/2^n, и можно доказать, что в T оно будет равно нулю. Действительно, если оно будет больше нуля, тогда нашелся бы такой момент времени T1<T, при котором расстояние равно нашему ненулевому расстоянию в T, но т.к. оно только уменьшается, то получаем противоречие, следовательно в T расстояние равно нулю.
Цитата: kemerover от февраля 18, 2021, 22:26
0 будет только в пределе, который не достижим, потому что действия Ахиллеса определены только на полуинтервале [0; время встречи в пределе) — там, где это сокращение дистанции возможно.
Можно определить значение в правой выколотой точке, в математике это называется замыканием множества
Цитата: kemerover от февраля 18, 2021, 22:26
Представьте лампу, которая выключена в момент 0, через 1 минуту она включается, потом через полминуты снова выключается, потом через четверть минуты опять включается, потом через восьмую часть минуты выключается и так далее. В каком состоянии будет лампа на второй минуте ровно? Ответ такой, что состояние это не определено.
А вот вам задача Харди - за минуту до полудня в корзину кладутся шары с номерами 1 и 2, и тут же вынимается шаг с номером 1, за полминуты до полудня в корзину кладутся шары с номерами 3 и 4, и вынимается шар 2, за одну четверть до полудня кладутся шары 5 и 6, и вынимается шар 3 и т.д. Вопрос, сколько шаров будет в корзине в полдень?
Ответ - ноль, т.к. шар с номером n будет вынут за 1/2^n минуты до полудня, хотя количество шаров стремится к бесконечности при приближении к полудню (что означает, что функция в полдень терпит разрыв)
Цитата: kemerover от февраля 18, 2021, 22:26
Это показывает, что возможность совершения бесконечного количества действий за конечное время в физическом мире не является данностью, а значит и утверждать, что мы можем интерпретировать любое действие как бесконечный набор поддействий, как это делает Зенон, мы не можем без каких-то на то оснований.
Неверный вывод, вот правильный - не для всех бесконечных действий можно определить конечный результат

Bhudh

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55Нам известно, что для некоторого момента времени T верно утверждение - в момент T-1/2^n расстояние будет 1/2^n, и можно доказать, что в T оно будет равно нулю.
А как оно дойдёт до T, если при каждой итерации оно не может до него дойти?

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55Вопрос, сколько шаров будет в корзине в полдень?
Ответ - ноль, т.к. шар с номером n будет вынут за 1/2^n минуты до полудня, хотя количество шаров стремится к бесконечности при приближении к полудню (что означает, что функция в полдень терпит разрыв)
:fp:
Значение функции y = 1/x в точке x = 0 будет 0⁈
Это с каких же пор разрывные функции имеют значение в точке разрыва
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Agnius

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 16:12
А как оно дойдёт до T, если при каждой итерации оно не может до него дойти?
А нам и не нужно доходить по итерациям, можно определить значение в T как я указал (это называется замыкание, присоединение всех предельных точек).
И в теории множеств есть ординал w (омега), который идет после всех натуральных чисел :)
Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 16:12
:fp:
Погуглите задачу от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"
Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 16:12
Значение функции y = 1/x в точке x = 0 будет 0⁈
Нет, там выколотая точка, но ничто нам не мешает доопределить там функцию любым числом. В данном случае доопредление возникает само естественно (т.к. я показал, что никакого шара в урне не останется к полудню)
Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 16:12
Это с каких же пор разрывные функции имеют значение в точке разрыва
Функция y=1 на x в (-беск.,5) y=2 на x в [5, беск.) определена в точке разрыва



kemerover

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55
Можно определить значение в правой выколотой точке, в математике это называется замыканием множества
Можно ещё задать комплексное время и комплексное положение черепахи и Ахиллеса. Но это не будет иметь никакой физической интерпретации, так же как и необоснованное замыкание множества.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55
А вот вам задача Харди - за минуту до полудня в корзину кладутся шары с номерами 1 и 2, и тут же вынимается шаг с номером 1, за полминуты до полудня в корзину кладутся шары с номерами 3 и 4, и вынимается шар 2, за одну четверть до полудня кладутся шары 5 и 6, и вынимается шар 3 и т.д. Вопрос, сколько шаров будет в корзине в полдень?
Ответ - ноль, т.к. шар с номером n будет вынут за 1/2^n минуты до полудня, хотя количество шаров стремится к бесконечности при приближении к полудню (что означает, что функция в полдень терпит разрыв)
Состояние в полдень не определено. Определено лишь состояние для любого времени до полудня.
Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 14:55
Неверный вывод, вот правильный - не для всех бесконечных действий можно определить конечный результат
Я имел ввиду, что такой переход надо обосновать, если он возможен. Нельзя по умолчанию его считать правомерным.

Agnius

Цитата: kemerover от февраля 19, 2021, 20:59
Но это не будет иметь никакой физической интерпретации, так же как и необоснованное замыкание множества.
Оно обосновано из физических соображений непрерывности
Цитата: kemerover от февраля 19, 2021, 20:59
Состояние в полдень не определено. Определено лишь состояние для любого времени до полудня.
Ошибаетесь, определено. Можно доказать, что множество шаров в корзине в полдень пусто, т.к. не будет содержать никакого шара.
Цитата: kemerover от февраля 19, 2021, 20:59
Я имел ввиду, что такой переход надо обосновать, если он возможен. Нельзя по умолчанию его считать правомерным.
Тут два разных вопроса - вопрос о непрерывности и вопрос о конечном значении счетного числа итераций. По первому обоснования физические, по второму логические теоретико-множественные.
Кстати, по поводу первого. Давайте-ка введем немного дополнительных условий - пусть ахиллес движется по тростинке, съедая ее, т.е. не может двигаться назад, и пусть после съедения упирается в дерево и прикрепляется к нему, т.е. не может двигаться вперед (достижение дерева соответствует догону черепахи). Тогда можно доказать, что конечный результат бесконечных операций будет ровно ноль, т.е. достижение дерева.
Вот вам с Bhudh упражнение.
Пусть для некоторой функции y=f(x) выполняется ряд условий
1. Она определена на [0,1] (условие того, что время мира всегда идет несмотря ни на что)
2. Она неотрицательна (условие того, что ахиллес упрется в дуб)
3. Она невозрастает (условие того, что ахиллес ползет по тростинке)
4. Нам известно, что на интервале [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1)) она равна 1/2^n для натуральных n=0,1,2,3 ...
Докажите, что в точке x=1 она равна нулю.
По рассуждениям Bhudh определить значение функции в x=1 мы не можем, т.к. будем бесконечно продвигаться по кончикам уменьшающихся интервалов  [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1))

Bhudh

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 22:14По рассуждениям Bhudh определить значение функции в x=1 мы не можем, т.к. будем бесконечно продвигаться по кончикам уменьшающихся интервалов  [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1))
Именно так. Любое рассуждение о пределах как-то упускает из виду тот факт, что переход к пределу — это, по сути, "квантовый скачок" в математике, а вовсе не логическое следование из бесконечной индукции.
И, кстати, Вы советовали почитать определение предела по Коши. Так из него вовсе не следует, что этот предел является собственно пределом бесконечной последовательности. Это лишь число, которое выбрано как заведомо меньшее любого результата данной последовательности. Но не сам этот результат.
Для последовательности [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1)) это асимптотический предел.
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Agnius

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 23:00
Именно так. Любое рассуждение о пределах как-то упускает из виду тот факт, что переход к пределу — это, по сути, "квантовый скачок" в математике, а вовсе не логическое следование из бесконечной индукции.
Так тут и никакого предела не нужно, я попросил вас доказать, что значение в x=1 равно нулю строго :)
Этим примером я продемонстрировал абсурдность вашей логики, что если мы нечто можем представить как бесконечную последовательность, то никогда нельзя с однозначностью говорить о конечном результате

Bhudh

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 23:31я попросил вас доказать, что значение в x=1 равно нулю строго
В точке x=1 значение функции ничему не равно, так как по условию задачи эта точка недостижима.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 23:31если мы нечто можем представить как бесконечную последовательность, то никогда нельзя с однозначностью говорить о конечном результате
Вы представили нечто как бесконечную асимптотическую последовательность и просите назвать значение в асимптоте.
Это у кого это тут "абсурдность логики"?
Пиши, что думаешь, но думай, что пишешь.
MONEŌ ERGŌ MANEŌ.
Waheeba dokin ʔebi naha.
«каждый пост в интернете имеет коэффициент бреда» © Невский чукчо

Agnius

Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 23:37
В точке x=1 значение функции ничему не равно, так как по условию задачи эта точка недостижима.
Она недостижима только при определенной процедуре, и это не противоречит тому, что можно однозначно найти ее значение
Цитата: Bhudh от февраля 19, 2021, 23:37
Вы представили нечто как бесконечную асимптотическую последовательность и просите назвать значение в асимптоте.
Это у кого это тут "абсурдность логики"?
Я ничего не представлял, я поставил задачу, из которой можно получить однозначный ответ

kemerover

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 22:14
Оно обосновано из физических соображений непрерывности
Из физических соображений следует лишь некорректность постановки задачи.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 22:14
Ошибаетесь, определено. Можно доказать, что множество шаров в корзине в полдень пусто, т.к. не будет содержать никакого шара.
А можно доказать, что это бесконечное счётное множество, ведь это простой предел арифметической прогрессии. Получается противоречие, а значит одна из предпосылок не верна.

Цитата: Agnius от февраля 19, 2021, 22:14
Вот вам с Bhudh упражнение.
Пусть для некоторой функции y=f(x) выполняется ряд условий
1. Она определена на [0,1] (условие того, что время мира всегда идет несмотря ни на что)
Ну это логика на уровне давайте допустим, что есть семь прямых красных линий, причём некоторые из них зелёные, и все они перпендикулярны... А после этого ломать голову как же это так возможно. Вот вы взяли за данность, что она определена на отрезке [0,1], а она не определена на всём отрезке, вот и всё противоречие.

Быстрый ответ

Обратите внимание: данное сообщение не будет отображаться, пока модератор не одобрит его.

Имя:
Имейл:
Проверка:
Оставьте это поле пустым:
Наберите символы, которые изображены на картинке
Прослушать / Запросить другое изображение

Наберите символы, которые изображены на картинке:

√36:
ALT+S — отправить
ALT+P — предварительный просмотр