Ахиллес и черепаха

[Wolliger Mensch]

Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то.

[Волод]

  Объяснения никогда не догонят понимание.

[Nevik Xukxo]

Так как Ахиллеса подстрелил Парис, то черепаху он никак не сможет догнать. Мёртвые не бегают.

[Awwal12]

Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то.

Парадокс в том, что по логическим рассуждениям Зенона Ахиллес не догонит черепаху никогда, что резко расходится с практическими наблюдениями.

Между тем, хотя при подходе Зенона для настигания Ахиллесом черепахи действительно потребуется бесконечное количество мысленных итераций, это тем не менее наступит за конечное время (поскольку временной промежуток, рассматриваемый в каждой итерации, прогрессивно уменьшается). По идее, это хорошо должна демонстрировать теория рядов, но это уже не ко мне. Ключевая причина парадокса - возможность разделить любой конечный ненулевой интервал на бесконечное количество частей (что кажется контринтуитивным).

[Волод]

Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то.

Парадокс в том, что по логическим рассуждениям Зенона Ахиллес не догонит черепаху никогда, что резко расходится с практическими наблюдениями.

Между тем, хотя при подходе Зенона для настигания Ахиллесом черепахи действительно потребуется бесконечное количество мысленных итераций, это тем не менее наступит за конечное время (поскольку временной промежуток, рассматриваемый в каждой итерации, прогрессивно уменьшается)....

Но всё равно черепаха остаётся чуточку впереди, если расстояние можно делить бесконечно.

[Nevik Xukxo]

Зависит ли скорость черепахи от её вида? Ведь могут быть какие-то ультрабыстрые (относительно других) черепахи?

[Мечтатель]

Думаю, объяснение можно найти в том, что и черепаха, и Ахиллес двигаются не с постоянной скоростью, а скачками. Скачок-шаг Ахиллеса более велик, и если их складывать, сумма рано или поздно превысит расстояние, преодолённое шагами черепахи.

[yurifromspb]

Между тем, хотя при подходе Зенона для настигания Ахиллесом черепахи действительно потребуется бесконечное количество мысленных итераций, это тем не менее наступит за конечное время (поскольку временной промежуток, рассматриваемый в каждой итерации, прогрессивно уменьшается). По идее, это хорошо должна демонстрировать теория рядов, но это уже не ко мне.

Временной промежуток конечен по условию задачи, этого не надо доказывать (поскольку никакое разбиение не меняет суммы).
Мне кажется, что парадокс в том, что мы незаконно разбиваем это пробегание на бесконечную цепь причин и следствий. Тут, как бы, либо пробегание это эээ "не непрерывно", либо, если оно "непрерывно", то причина каждого "кадра" не может лежать в предыдущем "кадре", поскольку в этом случае предыдущего кадра не существует, и причиной каждого кадра является всё пробегание целиком. Таково моё мнение, хоть и недостаточно хорошо отрефлексированное и выраженное.

P.S.
Сумму ряда данного явно: , можно найти и без "теории рядов"  , исходя из следующего наблюдения:

[Мечтатель]

Впрочем, если отойти от шагающих и бегущих существ, и представить, к примеру, две моторные лодки, двигающиеся с разной постоянной скоростью, возникает та же логическая проблема.

[Easyskanker]

Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то.

Да, бред полный, а не парадокс. Заявляю как человек, не раз обгонявший бабулек, имевших тысячешаговую фору

[Волод]

Народ, сколько раз ни читал про эту апорию, так и смог понять, где там парадокс. В кивипедии целые простыни из истории вопроса, но как-то всё не то.

Да, бред полный, а не парадокс. Заявляю как человек, не раз обгонявший бабулек, имевших тысячешаговую фору

ДВИЖЕНИЕ

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

Источник: http://pushkin.niv.ru/pushkin/stihi/stih-445.htm

[Easyskanker]

Однако ж Солнце движется по орбите вокруг центра галактики.

[Wolliger Mensch]

[Парадокс в том, что по логическим рассуждениям Зенона Ахиллес не догонит черепаху никогда, что резко расходится с практическими наблюдениями.

Да это-то всё понятно. Непонятны решения. Вот я себе представил эту ситуацию: Ахиллес действительно отстаёт от черепахи, пока расстояние между ними больше длины шага Ахиллеса. Но ведь в какой-то момент времени расстояние становится меньше длины шага Ахиллеса, и тогда он её этим своим шагом обгоняет и дальше убегает нафиг от черепахи. Собственно, так обгон и происходит в реальном мире.

С другой стороны, если у Зенона предполагается (?), что длина шага Ахиллеса бесконечно мала, чтобы он действительно бесконечно долго догонял черепаху, тогда сама апория теряет смысл: и Ахиллес, и черепаха просто стоят на месте.

[Awwal12]

Зенон исходил из преодолеваемого расстояния, а не из дискретных шагов, как я понимаю.

[Wolliger Mensch]

Зенон исходил из преодолеваемого расстояния, а не из дискретных шагов, как я понимаю.

Ну вот автомобили, у них круглые колёса, движение, вроде бы, не дискретное. Но принцип обгона остаётся тот же (независимо от способа обгона: либо колёса догоняющей машины вращаются с большей угловой скоростью, либо угловая скорость та же, но больше радиус колеса, либо то и другое одновременно): пока расстояние между машинами больше длины, догоняющей машины, догоняющая машина отстаёт, но когда расстояние становится меньше длины догоняющей машины, последняя либо обгоняет догоняемую, либо упрётся ей в зад и будет подталкивать. Получается, объекты у Зенона не должны быть безразмерным точками. Тогда действительно это чисто математическая приблуда, не имеющая никакого отношения к реальности.

[Волод]

Атомизм - вера в то, что существует нечто мельчайшее уже неделимое (как пиксель на экране) - это одна из реакций, один из ответов товарищу Зенону.

[Awwal12]

но когда расстояние становится меньше длины догоняющей машины, последняя либо обгоняет догоняемую, либо упрётся ей в зад и будет подталкивать.

Дефинируйте "догнать" и примените рассуждения Зенона к желаемым контрольным точкам объектов (например,  крайней передней точке догоняющей машины и крайней задней точке догоняемой). Ничего не изменится.

Парадокс коренится в самом методе рассмотрения.

[Bhudh]

Бесконечное число математиков заходит в бар.
Первый заказывает кружку пива, второй полкружки, третий четверть кружки...
— Понял, — говорит бармен и ставит на стойку две кружки пива.

[_Swetlana]

Это очень сложная вещь, потому что относится к основаниям математики, т.е. к выбору аксиом, на которых будет строится вся математика. То есть для конструктивиста ответ на заданный ТС вопрос будет один, для "стандартного" математика - другой, для "нестандартного" (пополняющего поле действительных чисел по какой-то метрике бесконечно большими и бесконечно малыми величинами) - третий.  Я совершенно не готова ответить на этот вопрос. Надо много читать, вспоминать, думать, готовить сравнительный анализ и "опровержение" с трёх разных точек зрения.

...первое, что мне щас приходит в голову: посколько в апории отрезки меряют, надо начинать с того, что мы вообще считаем измеримым множеством (хотя бы и меры нуль).

А вообще, в детстве (в 8 классе) читала Мартина Гарднера "Математические досуги", там этой апорией иллюстировали сходимость/расходимость числовых рядов. Книжка на полке, если как-нибудь перечитаю, отпишусь. Но там дело, конечно, не только в сходимости рядов.

[Karakurt]

Вычитаем скорости и имеем 0 и >0.

[Awwal12]

Вычитаем скорости и имеем 0 и >0.

Вы тоже обнаружили парадокс?

[Karakurt]

Наоборот. Очевидно, что его нет.

[Easyskanker]

Похоже на детский прикол с доказательством на пальцах, что дважды два равно пяти. Все греки, которых я знаю, имеют склонность к мошенничеству, и к непростому такому, с юморком. По этой апории очевидно, что имели и во времена Зенона. Если фундамент математики выстроен из таких вот вещей, то...

[Wolliger Mensch]

В общем, что я понял.
1) Есть две безразмерные точки, движущиеся с безразмерной дискретностью, первая точка движется быстрее, чем вторая, но обогнать или поравняться со второй никогда не сможет, там как банально нечем равняться и нечем обгонять — нет размера, поэтому она первая точка будет вечно догонять вторую, расстояние между ними будет вечно уменьшаться.
2) Любые материальные объекты не соответствуют условиям этой апории.

[_Swetlana]

Никто никуда не движется. Движение (по Зенону) вообще невозможно. В принципе.
Черепаха тоже никуда не движется, спит бабушка Тортилла.
Чтобы до неё дойти, нужно сначала преодолеть половину пути. А чтобы пройти половину, сначала нужно пройти четверть. И четверть за просто так тоже не пройдёшь. Вначале надо пройти осьмушку.