города Усть-Кута или города Усть-Кут

[olegKornilov]

аналогично: пусть x == "города";
х Шелехова или х Шелехов
х Зимы или х Зима?

[Wolliger Mensch]

Пользуйте поиском — обсуждали это много раз.

Приложение склоняется вместе с определяемым именем: из города Москвы, в селе Высоком, поэту Пушкину, с дядей Васей, в январе месяце, про маньяка-убийцу и т. п.

Не склоняется определение, если оно выделено кавычками. Также не склоняются префиксоиды, в том числе Усть- в названиях (тем более, что нарицательного *усть в общем языке нет).